一道数学竞赛题的多种解法

周　玲，　孙　琳

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)



一道数学竞赛题的多种解法

周玲，孙琳

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)

[摘要]给出了北京市第一届大学生数学竞赛一道试题的多种解法.

[关键词]数列极限； 夹迫原则； 递推方法； 压缩映象原理； 矩阵方法； 级数方法

北京市第一届大学生数学竞赛试题的第三题[1]是

文[1]给出的解法是，先假定该数列的极限存在并求出其值，然后利用数列极限的定义予以证明. 本文将给出该试题的另外解法，仅供大家教学中作为参考.

1利用数列的通项公式直接求极限

从而

yn+2-2yn+1-yn=0.

(1)

2利用判别数列极限存在的夹迫原则

所以

3利用关于xn的递推式

先介绍如下的

命题1设数列{xn}满足线性有理递推关系

(2)

若λ和μ是方程cr2+(d-a)r-b=0的两个不相等的实根，则

(3)

这是因为

注意到cλ2+(d-a)λ-b=0及cμ2+(d-a)μ-b=0，故上式可写成

4利用压缩映象原理

易知

5矩阵方法

用数学归纳法不难证明(过程从略)如下的

命题2设数列{xn}满足线性有理递推关系式(2)，若令

(4)

(5)

则

(6)

A的特征方程为

令

则有

从而

由(5),(6)，故有

6级数方法

故

由题设易知xn>2 (n=1,2,…)，从而

由级数收敛的定义，有

[参考文献]

[1]李心灿，季文铎，孙洪祥，等.大学生数学竞赛试题解析选编[M].北京：机械工业出版社，2011.

[中图分类号]O13；O151.2

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)05-0104-04

[基金项目]合肥工业大学教学改革研究项目(YJG2012Y12)

[收稿日期]2014-09-10