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非齐次树上连续马氏信源的若干强偏差定理

2016-01-28陈秀引金少华刘伟娜

大学数学 2015年5期

陈秀引, 王 东, 金少华, 刘伟娜

(1.河北工业大学理学院,天津300401; 2.河北工业大学廊坊分校,河北廊坊065000)



非齐次树上连续马氏信源的若干强偏差定理

陈秀引1,王东2,金少华1,刘伟娜1

(1.河北工业大学理学院,天津300401;2.河北工业大学廊坊分校,河北廊坊065000)

[摘要]通过构造适当的非负鞅,将Doob 鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究,研究给出了一类非齐次树上r重连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理.

[关键词]非齐次树; 鞅; 马氏信源; 强偏差定理

1引言

树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一.强偏差定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一.文献[1] 研究给出了Bethe树上非齐次马尔科夫随机场的一类强偏差定理.本文通过构造适当的非负鞅,将Doob 鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究, 研究给出了一类非齐次树上r重连续马氏信源熵密度的若干强偏差定理.

2定义

……………………………

(m-1)={m-1,2m-1,3m-1,…,(n+1)m-1,…}.

当n∈(i)时,令Nn+1=αi(αi均为正整数且不同时为1),i=0,1,2,…,m-1, 就得到了一类特殊的非齐次树Tα0,α1,…,αm-1. 以下恒以T表示树Tα0,α1,…,αm-1.

(1)

(2)

(3)

(4)

且上述树T上的非齐次马氏信源的联合密度函数为

(5)

(6)

(7)

本文引入如下似然比

(8)

和对数似然比

φn(ω)=lnZn(ω).

(9)

(10)

定义2.2设λ为一实数,对任意的

(11)

为函数-lnfk+r(Xξk,…,Xξk+r)的Laplace变换.

3主要结果及其证明

(12)

(13)

(14)

证由(6)式,有

(15)

由(12)式、(13)式和(14)式有

(16)

其中

(17)

=1.

(18)

从而由(16)式和(18)式,有

(19)

(20)

(21)

其中

(22)

(23)

并且

(24)

(25)

(26)

(27)

由上极限的性质和(27)式,有

(28)

在(28)中取λ=0,有

φ(ω)≥0,ω∈A(0)∩D.

(29)

(i) 当-λ0<λ<0时,将(28)式两端同除以-λ,有

(30)

由上极限的性质及不等式lnx≤x-1(x>0),有

(32)

(33)

(34)

由(32)式及(34)式,有

(35)

(36)

(37)

(38)

由(37)式,有

(39)

由(38)式和(39)式,有

(40)

(ii) 证明类似于(i)的证明.

[参考文献]

[1]Yang W G.. A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree, Stochastic Analysis and Applications, 2012, 30(2):220-237.

A Class of Strong Deviation Theorems of Continuous Markov Information

Source on a Non-homogenous Tree

CHENXiu-yin1,WANGDong2,JINShao-hua1,LIUWei-na1

(1. College of Science, Hebei University of Technology, Tianjin 300401,China;

2. Langfang Branch, Hebei University of Technology, Langfang 065000,China)

Abstract:Through constructing a non-negative martingale and applies Doob's martingale convergence theorem to the research of a.e. convergence, a class of strong deviation theorems of the entropy density of r-ordered continuous Markov information source on a non-homogenous tree are given.

Key words:non-homogeneous tree ; martingale ; Markov information source ; strong deviation theorem

[中图分类号]O177.91

[文献标识码]A

[文章编号]1672-1454(2015)05-0001-05

[基金项目]河北省高等学校科学技术研究重点项目(ZD2014051)

[收稿日期]2015-07-19