考虑剪切效应时双模量梁的自由振动

吴　晓, 黄志刚, 杨立军

(湖南文理学院，湖南　常德　415000)

考虑剪切效应时双模量梁的自由振动

吴晓, 黄志刚, 杨立军

(湖南文理学院，湖南常德415000)

在土木、机械等实际工程中，振动问题是较为常见的力学现象。在结构的振动过程中，结构的形状、承载力会在极短的时间内发生急剧的变化，对结构的工作性能和使用寿命会产生严重的影响。因此，工程设计人员对结构的振动问题一直极为关注。大量的试验和研究表明，材料在绝对值相同的拉应力或压应力作用下，会发生绝对值不同的拉应变或压应变，即材料具有明显的拉压弹性模量不同的双模量性质。事实上，许多工程材料都在不同程度上表现出双模量特性，如混凝土、复合材料等材料。工程设计中对材料的双模量特性一般不予区分，现仍沿用经典弹性理论分析计算双模量结构，在某些情况下会因本构关系不符合造成较大误差，有可能成为工程结构失效的隐患。所以，在梁、弹性平面等问题的结构中，已经开始考虑材料的双模量特性。文献[1-2]采用有限元法分析了双模量材料板的变形，文献[3-5]研究了双模量材料的本构关系及简单的弹性平面问题，文献[6-7]研究了双模量材料的简单桁架问题，文献[8]研究了双模量圆板中心在冲击载荷作用下的弹性计算，文献[9-13]研究了双弹性模量材料板的弯曲问题，文献[14]研究了不同模量弯压柱的解析解并证明了轴向力对双模量梁中性轴位置有影响，文献[15]研究了拉压不同模量横力弯曲梁的解析解，文献[16]研究了不同模量弯曲梁的自由振动。本文利用双模量材料纯剪切应力状态单元体，推导出了双模量材料剪切弹性模量表达式，在考虑剪切效应的基础上，研究了双模量梁自由振动问题。

1双模量材料剪切弹性模量

在实际工程中，由于结构受力多以平面应力状态居多，所以本文仅以双模量材料结构的平面应力状态为例，讨论其应力与应变关系。当双模量材料结构处于平面应力状态，其受力单元体如图1所示。

对于图1所示双模量材料平面应力状态单元体，可知其应力与应变关系分别为

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

式中：E1、μ1为拉伸弹性模量、泊松比，E2、μ2为压缩弹性模量、泊松比。

图1　双模量材料单元体Fig.1 Unit body of bimodulous material

图2(a)所示双模量材料圆轴扭转时，可知其受力单元体为图2(b)所示纯剪切状态，所以由材料力学理论可以得到

(2)

式中：d为圆轴直径。

图2　双模量扭转模型Fig.2 Bimodulous torsion model

利用式(1b)或式(1c)及式(2)可以求得

(3)

由材料力学应变公式可得以下各式

(4a)

(4b)

利用式(3)、式(4)可以求得

(5)

由于γxy=τ/G，双模量材料剪切弹性模量为

(6)

2确定中性轴位置

因为双模量连续梁在外载荷作用下会形成拉压弹性模量不同的拉伸区和压缩区，所以研究双模量梁的变形还需要确定其在外载荷作用下的中性层位置。由弹性理论可知双模量梁弯曲时其拉压区应力和应变关系为

(7)

假设图3所示双模量梁在任意载荷作用下发生弯曲变形，且使梁产生的弯矩全都是正弯矩或全都是负弯矩时，以A点为力矩支点可知

(8)

图3　载荷作用下双模量梁Fig.3 Bimodulous beam under loads

由式(8)可以求得简支梁的支反力为

(9a)

(9b)

双模量梁的支座约束反力确定后，即可写出双模量梁任意截面的弯矩表达式M(x)。

双模量梁弯曲时其横截面内力应满足以下关系

(10a)

(10b)

可把式(7)代入式(10)中得到下式

(11)

文献[14]已经证明了轴向压力对双模量梁中性轴的位置有较大影响。以上推导的双模量梁中性轴位置公式与文献[15]的结果一致，由此可知作用在双模量梁上的横向载荷，对任意边界条件下的双模量梁中性轴位置无影响。

3振动微分方程

假设双模量梁坐标方向如图3所示。横坐标轴与梁振动时的每个周期的前半波梁段，在初始状态即未振时的中性轴重合。由材料力学理论可知双模量梁的弯矩及剪力表达式分别为

(12)

由材料力学理论可知梁微段平衡方程为

(13a)

(13b)

利用式(12)、式(13)可以得到双模量梁的振动微分方程为

(14)

假设双模量梁无外载荷作用即q=0，可令横振位移的表达式为

y(x,t)=Y(x)sin(ωt+φ)

(15)

把式(15)代入式(16)中可得

(16)

由式(16)可以求得双模量梁自由振动振形函数为

Y(x)=A0sinαx+B0cosαx+C0shβx+D0chβx

(17)

式中：A0、B0、C0、D0均为常数。

对于简支双模量梁的自由振动，可知其边界条件为

(18)

把式(17)代入式(18)中可以得到简支双模量梁自由振动时沿x轴方向的振型函数为

(19)

简支双模量梁的固有频率表达式为

(20)

对于简支双模量梁固有振动，由于每个周期的前半波梁段的中性轴与x轴方向重合，所以振型函数为式(19)。而每个周期的前半波梁段中性轴的波型与后半波梁段的波型相反，由此导致每个周期的前半波梁段的拉伸区、压缩区与后半波梁段的拉伸区、压缩区也相反，前半波梁段中性轴与后半波梁段中性轴之间的距离相差(h1-h2)，所以后半波梁段中性轴的波型函数为

(n=2,4,…)

(21)

所以，简支双模量梁自由振动时，n为奇数时的梁段中性轴的波型表达式为式(19)，n为偶数时的梁段中性轴的波型表达式为式(21)。

对于边界条件为其它支承双模量梁的自由振动，利用其边界条件及式(17)，采用上述方法同样可以确定双模量梁自由振动的振型函数及固有频率。

4算例分析

下面把不考虑剪切效应对双模量梁自由振动影响时的频率，与考虑剪切效应对双模量梁自由振动影响时的频率均列在表1中。

表1　简支双模量梁固有频率w (rad/s)

注：在表1中，括号[]中数据为E1=E2=172 GPa、m1=m2=0.34时简支单模量梁固有频率，括号()中数据为E1=E2=295 GPa、m1=m2=0.395时简支单模量梁固有频率，无括号数据为简支双模量梁固有频率。

对表1进行分析可以看出：双模量梁固有振动频率与单模量梁固有振动频率的误差均在12%或16%以上，超过了工程允许的误差，这说明拉压弹性模量相差较大时，双模量梁固有振动不宜采用单弹性模量经典弹性理论，而应采用双弹性模量弹性理论，否则会引起较大的误差。不考虑剪切效应对双模量梁固有振动影响时的频率与考虑剪切效应对双模量梁固有振动影响时的频率，当简支双模量梁固有振型为1、2阶数时，两者误差分别为1.0%、3.0%，均在工程允许误差的范围内; 当简支双模量梁固有振型为3阶数以上时，两者误差分别为6.0%超过了工程允许的误差。并且随着简支双模量梁固有振型阶数升高，两者误差越来越大，当简支双模量梁固有振型为10阶数时两者误差达47%。这说明剪切效应对双模量梁固有振动低阶振型时的频率影响不大，对高阶振型时的频率是随着振型阶数升高影响越来越大。所以，对双模量梁固有振动高阶振型时的频率计算，必须要考虑剪切效应的影响

5结论

(1) 拉压弹性模量相差较大时，双模量梁固有振动不宜采用单弹性模量经典弹性理论，而应采用双弹性模量弹性理论，否则会引起较大的误差。

(2) 剪切效应对双模量梁固有振动低阶振型时的频率影响不大，对高阶振型时的频率是随着振型阶数升高影响越来越大。双模量梁固有振动高阶振型时的频率计算，必须要考虑剪切效应的影响。

(3) 双模量梁自由振动时，奇数波型与波型振型是不连续的存在间断点。

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第一作者 吴晓 男，博士，教授，1965年生

摘要：研究了考虑剪切效应时双模量梁自由振动问题。利用双模量材料纯剪切应力状态单元体，推导出双模量材料剪切弹性模量表达式。在考虑剪切效应的基础上，建立双模量梁振动的微分方程，推导出了双模量梁振动问题的振型表达式，并讨论分析了剪切效应对双模量梁自由振动固有频率的影响。算例分析表明，对于某些双模量梁自由振动问题，剪切效应的影响是不能忽略的。得到了双模量梁自由振动时，奇数波型与波型振型是不连续的存在间断点的结论。

关键词：剪切效应；双模量；梁；自由振动；频率

Natural vibration of bimodulous beam considering shear effect

WUXiao,HUANGZhi-gang,YANGLi-jun(Hunan University of Arts & Science, Changde 415000, China)

Abstract:Considering the shear effect, the natural vibration of a bimodulous beam was studied. The vibration differential equation of the bimodulous beam was established, the mode shapes of the bimodulous beam were derived, and the influence of shear effect on natural vibration frequencies of the bimodulous beam was analyzed. The computational results indicate that the influence of shear effect can not be ignored in some cases. The conclusion is that the odd number modal shapes of bimodulous beams are discontinuous and there are discontinuity points on the odd number type of modal waves.

Key words:shear effect; bimodulous; beam; natural vibration; frequency

基金项目：中国航空规划建设发展有限公司资助项目(技13研-51)；国家自然科学基金资助项目(51178041)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2011JBM260)

中图分类号:O321

文献标志码：A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.24.026

收稿日期：2014-10-22修改稿收到日期：2014-12-18