基于Floquet理论的旋转风机叶片动力失速气弹稳定性研究

李迺璐 ， 穆安乐， Balas M J

(1.扬州大学 水利与能源动力工程学院，江苏 扬州　225127； 2. 西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，西安　710048；3. 美国安柏瑞德航空航天大学 航空学院，美国　32114)

基于Floquet理论的旋转风机叶片动力失速气弹稳定性研究

李迺璐1， 穆安乐2， Balas M J3

(1.扬州大学 水利与能源动力工程学院，江苏 扬州225127； 2. 西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，西安710048；3. 美国安柏瑞德航空航天大学 航空学院，美国32114)

大型风力发电机在大攻角处容易发生气流分离状态，并引发失速颤振。失速颤振会对大型风力机安全稳定的运行造成巨大的危害，不仅严重影响发电效率还会造成风机叶片的损坏。因此研究失速颤振问题非常重要。针对风机叶片失速气弹稳定性的研究问题，需要采用气动失速模型。目前实用性强的气动失速模型为ONERA模型[1]和Beddoes-Leishman(B-L)模型[2]。任勇生等[3-4]多次采用ONERA非线性失速模型模拟大攻角处的气动升力和升力矩，用于动力失速非线性气弹稳定性研究，但是都是针对静态气动特性，即非时变气弹系统。B-L 模型为半经验动态失速非定常模型[5]，考虑了附着流，前缘分离和可压缩性等动态翼型扰流物理特性，可以较好地模拟风机叶片非定常气动力与动态失速特性。刘廷瑞[6]基于此模型采用拟合气弹系数法分析了大型风力机叶片的气弹稳定性，但是分析对象为叶片在每个静态攻角处的系统气弹特性，并非针对攻角时刻变化的旋转叶片进行整体气弹特性分析。对于静态点的叶片气动负载计算无论在公式建模上还是微分方程求解上都相对简单一些，而针对旋转叶片的周期时变气动负载计算就较为困难和复杂，气动负载不仅需要满足旋转叶片的固有周期时变特性，又要能够描述叶片的动态失速特性及失速全过程。

关于风机叶片气弹稳定性的研究大多都针对静态叶片振动系统，即非时变线性气弹系统，所以特征值法被广泛应用于气弹稳定性分析中。文献[7]采用计算系统状态矩阵特征值的方法来分析风机叶片经典颤振系统的气弹稳定性；文献[4]利用特征值分析结果观察当风速改变时，叶片从稳定过度到发散的过程。文献[8]采用特征值技术进行叶片颤振性能的数值求解。特征值法的局限性在于只能分析非时变系统的气弹稳定性，针对旋转叶片这类时变气弹系统，传统的特征法不再适用。

针对上述问题，本文根据旋转叶片攻角周期变化的特征利用B-L模型计算出周期时变的动态失速气动负载，基于时变气弹系统模型，采用Flqouet理论进行系统的气弹稳定性分析，并通过时域响应加以验证。通过分析结果来揭示固有频率比和结构阻尼对旋转风机叶片失速颤振边界的影响。

1旋转叶片振动模型

1.1时变振动方程

考虑旋转叶片的翼型为UA97W300-I0，随着风机的旋转，叶片上的非定常气动力也跟着周期性变化，旋转叶片振动运动系统为挥舞扭转耦合的周期时变气弹系统。振动运动位移由挥舞弯曲位移h和扭转偏移角度θ表示(见图1)。b为叶片截面的半弦长，重心与弹性轴的距离为xθb, 叶片的振动受制于弯曲力Qh和扭转力Qθ。两自由度挥舞-扭转耦合的结构模型运行方程可表示为[9]：

(1)

式中：m为叶片截面的质量，Iθ为关于弹性轴的质量矩，Ch,Cθ为结构阻尼系数，Kh,Kθ为挥舞，扭转弹簧常量。弯曲力Qh和扭转力Qθ表示为：

(2)

式中：ρ为空气密度，V为相对风度，Cl,θ,Cm,θ为气动升力和气动力矩系数,包含Cl,θ,Cm,θ的时变项表示旋转叶片的周期时变气动力变化，将由非线性气动失速模型来模拟，弯曲力和扭转力的常量项是由UA97W300-I0翼型为非对称翼型而产生的气动力。这是由于非对称翼型叶片的静态气动力在攻角为零并非为零。根据UA97W300-I0翼型的静态气动升力和气动力矩求得攻角为零时的气动系数为0.246 3和-0.145 6。

图1　叶片截面结构模型Fig.1 The structural model of the blade section

1.2标量化振动方程

(3)

2Beddoes-Leishman气动失速模型

2.1B-L非线性气动失速模型

振动模型中的非定常气动力由Beddoes-Leishman 气动失速模型来提供。B-L模型可用于计算旋转叶片气动失速时的气动负载。B-L非线性气动失速模型的方程式为[10]：

(4)

式中前两个方程式(x1,x2)为动态势流特性，后两个方程式(x3,x4)为动态气流分离特性。x4=1表示完全附着流，x4=0为完全分离流。b1,b2,A1,A2分别为时间迟延和幅值常量。Tu,Tp,Tf为时间常量，有效攻角αE=α3/4(1-A1-A2)+x1+x2。由此为基础非定常气动力可表示为：

(5)

式中:CLdy为气动升力系数，CMdy为气动力矩系数，为了研究旋转叶片处于失速状态的系统气弹稳定性，使叶片攻角周期性变化在大攻角范围内，如[7° 13°],对应计算得到的旋转叶片周期时变气动升力(见图2)。图2可知攻角变化范围位于深度失速区，发生了强烈的动态失速，涡流分离使得升力显著上升高于静态值，在气流流动完全分离后，需要一定时间恢复到初始状态。

图2　旋转失速叶片非定常气动升力Fig.2 Unsteady aerodynamic lift of the stall rotating blade

2.2气动模型线性化

为了方便进行系统气弹稳定性分析，需要将B-L非线性气动模型线性化。假设气动模型的状态量可以表示为一个静态项和一个动态项之和xi(t)=xi0+εxi1(t),i=1,2,3,4。泰勒级数展开所有的非线性项，得到线性化方程为[11]：

(6)

(7)

3Floquet理论

3.1旋转叶片气弹系统方程

结合振动方程式(3)和气动方程式(6)、式(7)，可以得到旋转叶片气弹系统的方程。定义系统状态量为：

气弹系统状态方程的同质部分可表示为：

(8)

式中：

(As, Bs) 来自振动模型的状态方程式(3)，分别为振动模型状态矩阵和输入矩阵，(Aa(t), Ba(t), Ca(t), Da(t))为气动失速模型的状态方程矩阵式6)和式(7)。由于篇幅，就不在这里展开表述。由于风力机叶片周期旋转，气动力也跟着周期性变化，气弹系统为周期时变系统，即A(t)=A(t+T),T为叶片旋转周期。

3.2Floquet理论

Floquet理论用来分析周期时变系统的稳定性。对于时变系统，每个时间点对应的系统特征值已经不能够代表系统的稳定性。Floquet理论的基本原理是通过建立Lyaponov-floquet转换矩阵，将时变系统的状态变换矩阵转化为常量矩阵，以此来判定周期时变系统的稳定性。

文本中的旋转叶片气弹系统式(8)为周期时变系统，具有周期时间T。线性时变方程式(8)的解可以用状态变换矩阵Φ(t,0)来表示[12]：

q(t)=Φ(t,0)q(0)

(9)

Floquet理论的本质就是将周期系统的状态变换矩阵分解为一个周期时变矩阵和一个常量矩阵的指数函数形式：

(10)

(1) Φ(0,0)=I,

(2) Φ(t2,t1)Φ(t1,t0)=Φ(t2,t0),

(4) P(0)=P(T)=I,

Φ(T,0)=VΣV-1,Σ=diag(σi)

(11)

(12)

由于P(t)是有界限的，系统q(t)的稳定性由A的特征值，即特征指数λi来判定。特征指数和特征乘数之间的关系如下：

(13)

由此可得到一个计算特征指数的方法：

ζi+jωi

(14)

式中：j2= -1，当σi为复数时，λi也为复数且有一对对应的共轭复数值。然而当σi为实数时，λi通常为复数但不一定会有共轭复数值。

3.3模型分析

将Floquet理论应用于系统模型分析包括三个步骤：

(1) 计算一个周期时间的状态转换矩阵Φ(T,0)

根据方程式(8)和方程式(9), 可以通过对下式进行积分得到状态转换矩阵：

(15)

式中状态转换矩阵有线性独立的初始值为Φ(0,0)=I，单位矩阵。

(2) 计算特征乘数σi

根据式(11), 通过对Φ(T,0)的特征值分析计算可以得到模型矩阵V和特征乘数矩阵∑。

(3) 计算每个特征指数中的实部(阻尼值)和虚部(频率值)

根据式(14), 阻尼系数值可以表示为：

(16)

频率值可以表示为：

(17)

系统模型的稳定性由特征指数中的阻尼值来判定：当ζi<0时，系统响应渐进稳定；当ζi=0时，系统响应临界稳定；当ζi>0时，系统响应不稳定，此时ωi>0时 系统响应为不稳定震荡，ωi=0时系统响应发散。

4数值分析

4.1特征指数分析和时域响应

本文中采用的结构参数为b=0.190 5 m,m=15.57 kg,xθ=0.192,μ=111.54,M=0.3,rθ=0.42[13]。给定挥舞/扭转固有频率ωh/ωθ=0.2, 结构阻尼ζh=ζθ=0, 应用floquet理论采用特征指数来分析系统的气弹稳定性，并利用系统时域响应进行验证。

图3 旋转叶片时域响应(ωh/ωθ=0.2,V*=1.7

当到达颤振速度时，系统出现了不稳定颤振，此时特征指数出现了正实部如图6所示。当V*增加到5时，系统时域响应进一步不稳定震荡，特征指数同时进一步向右平面移动如图8所示。当振后速度达到V*=16时，挥舞自由度的特征指数都在右半平面水平轴上，扭转自由度的特征指数在右半平面内，表明系统发散不稳定；此时系统的时域响应在自由度最大变化范围内发散，而传统的特征值维持在零附近。

因此，旋转叶片时变气弹系统的稳定性无法通过传统特征值来判定，而Floquet理论的特征指数可以准确地指示出系统的气弹稳定性，其结果得到系统时域响应结果的验证。

图5 旋转叶片时域响应(ωh/ωθ=0.2,V*=3.3=V*f)Fig.5Timeresponsesoftherotatingbladesystematωh/ωθ=0.2,V*=3.3=V*f图6 特征指数和传统特征值分析结果(ωh/ωθ=0.2,V*=3.3=V*f)Fig.6Characterisitcexponentsandconventionaleigenvaluesanalysisatωh/ωθ=0.2,V*=3.3=V*f

图7 旋转叶片时域响应(ωh/ωθ=0.2,V*=5>V*f)Fig.7Timeresponsesoftherotatingbladesystematωh/ωθ=0.2,V*=5>V*f图8 特征指数和传统特征值分析结果(ωh/ωθ=0.2,V*=5>V*fFig.8Characterisitcexponentsandconventionaleigenvaluesanalysisatωh/ωθ=0.2,V*=5>V*f

图9 旋转叶片时域响应(ωh/ωθ=0.2,V*=16>V*f)Fig.9Timeresponsesoftherotatingbladesystematωh/ωθ=0.2,V*=16>V*f图10 特征指数和传统特征值分析结果(ωh/ωθ=0.2,V*=16>V*f)Fig.10Characterisitcexponentsandconventionaleigenvaluesanalysisatωh/ωθ=0.2,V*=16>V*f

4.2挥舞/扭转固有频率比的影响

当其他参数保持不变，考虑固有频率比的影响，图11展示了4个不同挥舞/扭转固有频率比(分别为ωh/ωθ=0.2, 1, 1.5, 2.5)时，旋转叶片的气弹稳定性随着标量风速的变化从渐进稳定过渡到颤振不稳定的变化过程。图中采用特征指数来表示振前速度和颤振速度下的系统稳定性：不同固有频率下，振前速度时的系统特征指数实部都在左半平面；颤振速度下的系统特征指数均有实部在右半平面。图12展示了颤振速度下不同固有频率比时系统的特征指数，表明在固有频率比较低(ωh/ωθ=0.2)和较高(ωh/ωθ=2.5)时, 旋转叶片的气弹稳定性接近，而固有频率比处于中间值(ωh/ωθ=1)时，系统有较大的正实部值，气弹稳定性较差。

图11　不同固有频率比的特征指数(V*

4.3结构阻尼对颤振边界的影响

在结构阻尼系数分别为ζh=ζθ=0，ζh=ζθ=0.001的情况下，旋转叶片的颤振边界(见图13)。由图13可知，在无结构阻尼的情况下，旋转叶片气弹系统在固有频率比较低和较高时候有较高的颤振速度，在中间值1时有最小的颤振速度，表明在挥舞固有频率和扭转固有频率相差较大时系统有较好的气弹稳定性，在两者固有频率接近的时候系统有较差的气弹稳定性。此结论与图12的结论一致，得到验证。在有结构阻尼的情况下，旋转叶片的结构阻尼可以明显提高在任意固有频率比情况下的颤振速度，大大增强旋转叶片的气弹稳定性。

图12　颤振速度下不同固有频率比时的特征指数Fig.12 Characterisitc exponents at flutter speed for different ratio between flapwise and torsional natural frequency

图13　不同结构阻尼下的颤振边界Fig.13 Flutter boundary at different structure stiffness

5结论

本文将挥舞扭转耦合的标量化叶片振动模型与非线性动力失速B-L模型相结合，提出了一个旋转叶片时变气弹系统，用以旋转叶片的气弹稳定性研究。B-L模型能够较好的描述旋转叶片的周期时变动态失速特性，采用Floquet理论分析旋转叶片气弹系统渐进稳定、颤振和发散等特性，并通过时域响应进行了验证，表明了Floquet理论的可靠性和准确性。通过Floquet理论的特征指数计算结果揭示了旋转叶片失速颤振边界的特性以及结构阻尼对颤振边界的影响。

参 考 文 献

[1] Chaviaropoulos P K. Flap/lead lag aeroelastic stability of wind turbine blade section[J].Wind Energy,1999(2):99-112.

[2] Galvanetto U, Peiro J. An assessment of some effects of the nonsmoothness of the Leishman-Beddoes dynamic stall model on the nonlinear dynamics of a typical aerofoil section [J]. Journal of Fluids and Structures, 2008(24):151-163.

[3] 任勇生，林学海. 风力机叶片挥舞/摆振的动力失速非线性气弹稳定性研究[J]. 振动与冲击，2010，29(1):121-124.

REN Yong-sheng, LIN Xue-hai. Flap/lead-lag nonlinear aeroelastic stability of a wind turbine blade system during dynamic stall[J].Journal of Vibration and Shock,2010,29(1):121-124.

[4] 任勇生，刘廷瑞, 杨树莲. 风力机复合材料叶片的动力失速气弹稳定性研究[J]. 机械工程学报，2011，47(12): 113-125．

REN Yong-sheng，LIU Ting-rui，YANG Shu-lian． Aeroelastic stability analysis of composite wind turbine blade dynamic stall[J]．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2011，47(12): 113 -125．

[5] Leishman J G, Beddoes T S. A semi-empirical model for dynamic stall[J]. J. Am Helicopter Soc 1989, 34(3): 3-17.

[6] 刘廷瑞，任勇生，杨兴华. 基于拟合气弹系数的气弹稳定性分析[J]. 太阳能学报，2010, 31(4):153-516.

LIU Ting-rui, REN Yong-sheng, YANG Xing-hua. Aeroelastic stability analysis based on fitted aerodynamic coefficients[J]. Acta Energiae Solaris Sinica, 2010, 31(4):153-516.

[7] 任勇生，张明辉. 水平轴风力机叶片的弯扭耦合气弹稳定性研究[J]. 振动与冲击，2010, 29(7): 196-200.

REN Yong-sheng, ZHANG Ming-hui. Aeroelastic stability of a horizontal axis wind turbine blade with bending-torsion coupled [J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(7): 196-200.

[8] 任勇生，杜向红，杨树莲. 风力机复合材料柔性叶片的颤振分析[J]. 振动与冲击，2011, 30(9):64-69.

REN Yong-sheng，DU Xiang-hong，YANG Shu-lian． Flutter analysis of composite flexible wind turbine blades[J]． Journal of Vibration and Shock，2011，30(9): 64-69．

[9] Mahajan A J, Kaza K R V. Semi-empirical model for prediction of unsteady forces on an airfoil with application to flutter [J], Journal of Fluids and Structures,1993(7):87-103.

[10] Hansen M H, Gaunaa M,Madsen H A. A Beddoes-Leishman Type dynamic stall model in state-space and indicial formulations [R]. Riso National Laboratory, Denmark, 2004.

[11] Kallesoe B S. A low-order model for analysing effects of blade fatigue load control [J]. Wind Energy, 2006(9):421-436.

[12] Balas, M J, Lee Y J. Controller design of linear periodic time-varying system[C]// Presented on Proceddings of the American Control Conference, Albuquerque, NM, USA, 1997(5): 2667-2671.

[13] Li N, Balas M J. Aeroelastic control of a wind turbine blade using microtabs based on UA97W300-I0 Airfoil[J]. Wind Engineering, 2013, 37(5): 501-516.

第一作者 李迺璐 女，博士，副教授，1985年9月生

摘要：研究旋转风力机叶片动力失速气弹稳定性问题。叶片结构采用标量化的挥舞和扭转自由度耦合的振动运动模型，旋转风机叶片的气动力由Beddoes-Leishman失速模型来模拟，通过攻角在深度失速区域内的变化来计算出周期时变的非线性气动失速负载。在系统静平衡点附近对非线性气弹系统进行线性化，采用Floquet理论分析旋转叶片动力失速气弹稳定性，其结果得到系统时域响的验证。通过数值分析，揭示了挥舞扭转固有频率比和结构阻尼对颤振边界的影响。

关键词：旋转风机叶片；气动失速；Floquet理论；Beddoes-Leishman模型

Aeroelastic stability analysis on rotating stall blade of wind turbine based on floquet theory

LINai-lu1,MUAn-le2,BALASMJ2(1. Yangzhou University, Yangzhou 225127, China; 2. Xi’an Technology University, Xi’an 200215, China;3. Embry-Riddle Aeronautical University, FL 32114, USA)

Abstract:The aeroelastic stability of a rotating wind turbine blade under stall-induced vibration was studied. The blade structure was modelled as a normalized vibration system with a coupled motion between the two degrees of freedom of flapwise and torsional deflections. The periodic time-varying aerodynamic force on the rotating blade was determined by using the Beddoes-Leishman dynamic model via the computation of nonlinear aerodynamic stall load according to the variation of angle of attack in deep-stall range. Based on a linearized aeroelastic system, the aeroelastic stability of the rotating stall blade was analyzed in according with the Floquet theory, and the results were verified by comparing the system responses in time domain. It also reveals the effect of the ratio of flapwise to torsional natural frequencies and the structural damping on the flutter boundary.

Key words:rotating wind turbine blade; stall-induced vibration; Floquet theory; Beddoes-Leishman model

中图分类号:TK83

文献标志码：A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.24.014

收稿日期：2014-08-12修改稿收到日期：2014-11-06

基金项目：江苏省高校自然科学研究面上项目(14KJB480006);教育部留学回国人员科研启动基金资助项目；扬州大学科技创新培育基金(2014CXJ028);国家自然科学基金(51075326);美国能源部项目(DESC0001261)