椭圆性质及其应用的探究和推广

张敏山西省大同市同煤一中数学组

椭圆性质及其应用的探究和推广

张敏
山西省大同市同煤一中数学组

在高考中，圆锥曲线这一章节一直是一个热点，而椭圆又是圆锥曲线学习中的一个基础。所以，教师在教学的过程中，应该能够根据学生的情况确定自己的教学方法，让学生能够牢固的掌握椭圆的性质，并且进行探究和推广。

椭圆性质；探究；推广

圆锥曲线在高考中是较为重要的一格章节，学生和教师都应该重视这部分的学习。目前在高中数学课堂的教学中，鼓励教师可以通过各种创新方式让学生主动学习钻研数学题目，感受到数学本身真正的魅力。在椭圆的学习过程中也是如此，教师不妨尝试利用简单的数学题目，让学生自己推算出椭圆的性质，总结数学知识。

一、椭圆的定义及性质

1.椭圆的定义

在我们教学内容中，关于椭圆是这样进行定义的：在某一平面内到两个定点F1,F2的和为定值的点的集合。其中，F1与F2被称为焦点，这两个点之间的距离被称为焦距，而椭圆上的点到焦点的距离之和2a就是定长。

2.椭圆的性质

对于焦点在X轴，圆点在坐标轴中心的椭圆X2/a2+Y2/b2=1（a> b>0）有以下几个性质：（1）|X|≤a，|Y|≤b；（2）椭圆具有对称性，对称轴为X轴、Y轴，对称中心为原点o（0，0）；（3）椭圆的四个顶点为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴的长度为2a，短轴的长度为2b；（4）设点p为椭圆上的一点，PF之间最大的距离为a+c，PF之间最小距离为a-c；（5）椭圆的离心率为e=c/a，且离心率范围在0 至1之间。

二、典型例题分析

椭圆的相关性质并不难理解，重要的是将性质能应用在解题过程中。在教学过程中，教师选择的题目应该由易到难，先让学生掌握好椭圆基本性质后，再去进行一些拓展和延伸。简单的关于椭圆性质例题主要可以分为两类，一是利用椭圆的斜率、长短轴、顶点坐标等等已知条件，推算出关于椭圆的标准方程，二是利用椭圆的标准方程推算长短轴、斜率、顶点等等。

下面是两道关于椭圆的性质的典型例题。

例一：已知椭圆的中心在坐标原点上，长轴在X轴，离心率e= √3/2，已知一点p（0，3/2）到椭圆上的点的最远距离为√7，求该椭圆的方程，并求点p到椭圆上距离为√7的点的坐标。

分析：这道例题除了需要了解椭圆的性质以外，还要求学生能够了解距离公式，最大值等知识点。解决这道例题共有两种方法，一是可以利用椭圆的标准方程，二是可以选择椭圆的参数方程。需要学生拥有较强的综合分析能力和较高的逻辑推理能力。关键时教师可以进行一定的引导。另外，在求d的的最大值时，应该要提醒学生要注意讨论b的取值范围。

例二：椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）与x轴正向相交与点F，若这个椭圆上总有一点P，使OP⊥FP，求该椭圆离心率的取值范围。

分析：在这道例题中，因为点O与点F为固定点，而P点为动点，所以我们可以考虑将P点坐标作为参数，将OP⊥FP转变成关于点P坐标的一个等量关系，在将坐标的范围建立关于a、b、c的不等式，从而得到关于离心率的取值范围。在这道题中，为了减少参数，我们应该考虑利用椭圆的参数方程。

三、椭圆性质推广实例分析

在学习的过程中，虽然主体是学生自己，但是作为数学教师，我们应该积极的对学生进行引导，完善他们的解题思路。

有这样一道高考题目：已知椭圆x24+y23=1，并且椭圆经过点（1,32），点E与点F为椭圆上的两个动点。那么，如果直线AE斜率与AF的斜率为相反数，求直线EF斜率的值。

这道题目想要进行解答就必须需要学生们自己进行思考。而教师在为学生讲解这道题目是应该明白以下几个目的：

1.通过例题鼓励学生多尝试使用不同的方式进行解答，巩固基础知识，扩宽思维方式。

2.点A不断移动时，EP的斜率会不会发生改变？或是是否在那个点上斜率才发生改变。

3.结果所得的理论是不是能够应用在双曲线或是抛物线上呢？

这道题解题不是最终的目的，更重要的是让学生在学习的过程中巩固椭圆性质并进行应用和推广。

如果学生在课堂前的准备充分，那么可以发现有很多的解题方法：点差法、参数法或是利用方程组。题目看似会在解题中存在困难，但是如果能够对题目认真的进行研读，很容易就会有自己的思路。

教师在解题的过程中也应该主动引导学生进行思考，直线EF的斜率值与点A有什么关系？这个为题开始只能依靠学生的猜测，有的学生可能会提出借用供给进行测量，而教师应该对学生进行鼓励，让学生思考如何进行证明。

学生在推算的过程中，对相关问题的探究、证明，让学生真正的能够够利用数学思维，将几何与代数相结合，并为自己的解题过程积累了经验。对于椭圆的相关性质掌握的更为牢固，解题的速度和正确率也会得到提升。

四、椭圆性质教学反思

在课堂中，教师在教学的过程中应该主动引导学生进行思考，而不是将知识点死板的灌输给学生，要在课上给留给学生充分思考的时间。这样的方法看似很耽误课堂时间，但并不是如此，课上学生思考的过程也是学习的过程，对于椭圆性质由学生自己进行思考可能会掌握的更加牢固。而教师在教学的过程中应该将过去的解答题目变成思路引导，并且鼓励让学生利用多种方法进行解题。这样的方法学生的思考能力很容易被提升，从而学生的学习能力和学习效率也会得到提升。

椭圆相对于圆这一章节来说难度有了一定的提高，但是，椭圆的部分内容又是为以后双曲线等相关知识点学习的基础。所以，教师在教学的过程中，一定要利用各种适合自己学生情况的办法让学生掌握相关的知识点，并且能够根据基础知识做出一定拓展应用。

[1]徐德同.离心率相同的椭圆性质初探--对《数学通报》2092号问题的探究[J].数学通报.2014(05)

[2]蔡欣.从类比推理的视角认识椭圆的几个性质[J].中学数学月刊.2014(02)

[3]玉邴图.让课堂教学充满探索与交流--圆锥曲线“准点”的教学实录[J].中学数学.2009(07)