从一道高考题来谈论怎样培养学生的能力

吴志强四川省绵阳中学

从一道高考题来谈论怎样培养学生的能力

吴志强
四川省绵阳中学

中学数学教育是一个很复杂很专业的一门学科。也是中学生感到最难学的一门学科。经过多年的学习，很多学生只知道其然，不知道其所以然。能够做题，不会思考。提高学生的推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想是我们中学数学老师的主要任务。我们从一个典型题目出发，寻求多种思考方式，多种解题技巧，让学生在这些思想方法中得到锻炼，得到提升。

例（2014四川理21题）已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a,b∈R，e=2.71828∙∙∙为自然对数的底数。

（Ⅰ）设g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值。

（Ⅱ）若 f(1)=0，函数 f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围。

解：（1）因为 f(x)=ex-ax2-bx-1所以g(x)=f′(x)=ex-2ax-b 又g′(x)=ex-2a

因为x∈[0,1]，1≤ex≤e所以：

所以函数g(x)在区间[0,1]上单增，gmin(x)=g(0)=1-b

，则1<2a

于是当 00，

所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单减，在区间[ln(2a),1]上单增，

gmin(x)=g[ln(2a)]=2a-2aln(2a)-b

所以函数g(x)在区间[0,1]上单减，gmin(x)=g(1)=e-2a-b

综上：g(x)在区间[0,1]上的最小值为：

本文重点研究第（Ⅱ）问。

分析一：本问是函数 f(x)在区间(0,1)内有零点，求参数a的取值范围,即等价于 f(x)的一阶导数g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.借助于第(Ⅰ)问的解答可采用分类讨论的方式进行研究。

解法一、设 x0为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)=f(x0)=0可知，在区间(0,x0)上 f(x)不可能单调递增，也不可能单调递减。

则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负。

故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1。

同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2。

所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点。

此时g(x)在区间(0,ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a),1)上单调递增。

因此x1∈(0,ln(2a)] ，x2∈(ln(2a),1)，必有

g(0)=1-b>0，g(1)=e-2a-b>0。

由 f(1)=0，有a+b=e-1<2，有：

g(0)=1-b=a-e+2>0，g(1)=e-2a-b=1-a>0.

解得e-2

当e-2

若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0,1])，从而 f(x)在区间[0,1]上单调递增，这与 f(0)=f(1)=0矛盾，所以g(ln(2a))<0。

又g(0)=a-e+2>0，g(1)=1-a>0，故此时g(x)在(0,ln(2a))和(ln(2a),1)内各有一个零点x1和x2。

由此可知 f(x)在[0,x1]上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在[x2,1]上单调递增。

所以 f(x1)>f(0)=0，f(x2)

综上可知，a的取值范围是(e-2,1)。

点评：本问解答的难点之一是恰当运用第(Ⅰ)问的结论，以此搭建“桥梁”，寻找问题之间的联系；难点之二是怎样能够判断g(ln(2a))的正负，因为这是一超越不等式（不可能求出其解集）.大部分考生思维受阻，折戟在此.该点恰好是考查考生思维的深刻性和灵活性的一块试金石，只有极少部分的考生能够运用反证法的方法解决问题，所以创新意识的培养非一时之功。

分析二:思考用函数的方法去研究g(ln(2a))的值域,只要最大值小于零,则问题可获得圆满解决。

解法二、由g(ln(2a))=2a-2aln(2a)+a+1-e,a∈(e-2,1)

令h(x)=2x-2xln(2x)+x+1-e,x∈(e-2,1)

所以∀x∈(e-2,1),恒有h(x)<0

故对a∈(e-2,1)，恒有g(ln(2a))<0。

点评：要求考生善于挖掘题目的内涵，从而发现问题的本源，找到解决问题的方法.对考生灵活运用所学知识解决相关问题提出了很高的要求。

[反思与小结]

1.优秀的高考压轴题大多是低起点，宽入口，但落点高，对思维与创新能力有较高的要求。我们只要认真分析与研究，其解法决不只是”华山一条道”，而是“条条道路通罗马”，这也是优秀高考压轴题的一个共性。

2.新课程课标下的高考对学生的要求之一是创新能力，是在一次次探索中得到思维的灵动与创新.而高考考试题中的压轴题则是一座富含奇珍异珠的矿藏，我们应当以科学的态度，严谨治学的精神去审视。在高三数学教学中，运用好高考压轴题，充分挖掘它的典型性、示范性的功能.采用一题多解、一题多变、多题同解等方法实践，能够使学生思路开阔，举一反三，触类旁通，犹如醍醐灌顶，灵动学生的多元思维、创新思维。