浅谈数形结合思想及其在高中数学教学中的应用

邹青

摘 要：新课标对数形结合法在高中数学教学中应用有明确的要求，充分利用这种结合来寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。本文根据作者自身多年教学实践经验，就高中数学教学中常见的数形结合技巧及其在具体的教学内容中的应用等进行了探讨，以期该方法在教学中可以得到重视。

关键词：数形结合法;高中数学;教学应用;实例分析

1前言

数学是高中课程中重要的一门学科，一直以来也是重点考察的科目。数学也是我们解决实际问题的工具，当今科学技术飞速发展，数学的作用也越来越重要。作为教师，我们应该深刻认识到，在数学教学过程中，尤其是高中阶段的数学学科，不仅使学生进行基础数学知识的构建，还要加强学生数学能力的培养和数学思想方法的应用。因此，要注重数学思想方法在教学的各个环节中的应用。教师们都知道，对高一的学生而言，高中数学课堂的特点是知识容量大、知识层次深、内容抽象的特点，一部分学生对数学的学习没有信心，甚至没有了兴趣。

2数形结合法简述及其应用策略

数与形是数学中的两个最古老而又最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。高中数学研究的对象可分为两大部分，即数与形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”这也说明了数与形反映了事物两个方面的属性。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，也就是通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

高中数学中的数形结合方法主要涉及以下方面：曲线与方程的对应关系;函数与图像的对应关系;实数与数轴上的点的对应关系;所给出的等式或代数式的结构含有明显的几何意义等;以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数、空间点的坐标等。高中数学解题主要通过坐标联系、审视联系、构造联系3 种途经。

首先，教师在课堂讲授时就要强调数形结合方法中“数”与“形”的转换是必须等价的，先要让学生在明白解题过程中是用代数还是用图形解题比较简单，然后开始数与形的转换，在这个转换过程中应注意各种条件的等价。其次，针对同一题，教师要展示数与形的不同解题方法，对代数的抽象特点与几何图形直观特点分别进行探究，分析它们在解题时各有优势;针对题型的不同，比如填空选择题时，画简单图像表示代数关系就可，解答题时要精确些，要明确画图的步骤，如此教学，久而久之，学生也会形成这种解题的思想，也培养了学生良好的解题习惯。

3教学实践中的若干应用分析

作为教师要以教材为本，深入挖掘、概括和提炼高中教材中的数形结合思想方法，通过课堂使得学生了解并形成一种用数形结合思想方法解决数学问题的习惯。在教学过程中可以让学生归纳总结学习过程中数形结合思想方法的实际应用，激发学生的求知欲和好奇心，增强学生的学习信心。数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：解决集合问题、解决函数问题、解决方程与不等式的问题、解决三角函数问题、解决线性规划问题、解决数列问题、解决解析几何问题解决立体几何问题等等。下面首先看一个数形结合法在求最值教学中的应用。

实例1 求函数最值问题

求函数[y=sinx-2+cosx]的最小值

这道题目用一般代数方法求解较困难，但是变换一下得出下式（1）便转化为求A（[cosθ，sinθ]），B（2，0）的斜率k的最小值了，如图1所示：

[y=sinx-0cosx-2?k=y'-0x'-2]           （1）

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图1

A为圆[x2+y2=1]的任意一点，当AB为圆的切线时，k取得最值，进一步可得[x2+y2=1y=k（x-2）]，方程相切只有一个解则易得[k=±33]，取最小值为[-33]。这道题主要是要看出表达式所体现的斜率的含义，然后通过数形结合法便轻松解答出最小值。

三角函数是描述周期运动的重要数学模型。它也是非常重要的函数，是描述一般周期函数的基础，三角函数是数形结合的产物，下面来看一个例题。

实例2 比较三角函数值的大小

比较[cos25°]和[sin25°]的大小关系

对于这一题，我们在教学时可以循序渐进，逐渐引导学生进入数形结合思想，但一开始我们还是用常规的方法。

方法1：[cos25°=cos（90°-65°）=sin65°]，而[y=sinx]在[0，[π2]]为单调递增，故可得[cos25°>sin25°]。

方法2：做出两个函数简图，如图2所示，由图可知[cos25°>sin25°]：

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图2

方法3：做出一个单位圆，如图3所示，图中[sin25°=AB]，[cos25°=OA]，在三角形OAB中，[AB<OA]，故[cos25°>sin25°]。

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图3

通过这一个题目的讲解，三种方法中有两种用了数形结合法，但是同数不同形，两种数形结合方法中的方法2和方法3均较方法1简单，直接明了。同时方法2和方法3也说明了数形结合方法并不是唯一的，可以通过多种表达形式去完成解题，所以灵活掌握数形结合方法对提高我们的题解效率，开阔解题思路显得十分重要。

4结语

初中的数学的教学内容一般来说较为具体，练习大多是模仿，而高中的数学就内容突然变得抽象，强调对数学概念的理解基础上的运用，要求学生有较高的运算、思维和空间想象能力。因此学生对于高中数学的学习要有一个适应过程，教师更要帮助学生渡过这个难关，利用数形结合思想方法有利于进行初、高中数学教学的过渡衔接。通过数形结合方法引导学生由静态思维方式变为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题。在教学中应用数形结合方法时提高分析问题、解决问题的能力，应让学生了解所谓数形结合方法就是找准数与形的连接点，根据它们的属性，将数与形巧妙地结合起来，就成为解决问题的关键所在。根据之前所举的例题我们知道，数形结合的思想方法可以增强解决问题的灵活性。数形结合方法在教学中有着重要的地位。

参考文献：

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[2]王俊平.数形结合的原则与途径[J].高中数学教与学，2006，（02）.

[3]罗贤明.从“数形结合”谈辩证思维能力的培养[J].铜仁学院学报，2007，（01）.

[4]叶立军.数学方法论[M].杭州：浙江大学出版社，2008.

[5]宋宇.数学思维与生活智慧[M].北京：中国和平出版社，2006.