二重数值积分公式的构造

陈亚婷，郝粉霞,张雅静，王会英

(河北农业大学理学院， 河北保定　071001)

二重数值积分公式的构造

陈亚婷，郝粉霞,张雅静，王会英

(河北农业大学理学院， 河北保定071001)

摘要：为解决二重积分的近似计算问题，利用一个高精度的数值积分公式，推广到二重积分，并对该公式进行了余项研究和误差分析，最后通过几个典型的例子验证公式的有效性．

关键词：数值积分公式；二重积分； 高精度

DOI：10.3969/j.issn.1000-1565.2015.02.002

中图分类号：O241.4

文献标志码：志码：A

文章编号�编号 1000-1565(2015)02-0118-04

Abstract:In order to solve the double integral approximation problem, a high order numerical integral formula was applied to extend it to the double integrals. Then，analyze the remainder and error of this formula. Finally, the high validities of this formula are proved by several typical examples .

收稿日期:2014-09-29

基金项目：保定市科学技术研究与发展指导计划项目(14ZN001)； 河北省教育厅研究项目(z2014142)；保定市科学技术研究与发展指导计划项目(12ZS006)

Construction of double numerical integration formula

CHEN Yating，HAO Fenxia, ZHANG Yajing，WANG Huiying

(College of Science，Hebei University of Agriculture，Baoding 071001，China )

Key words: numerical integration formula；double integrals；high order accuracy

MSC 2010：65D30

第一作者:陈亚婷(1981-)，女，河北张家口人，河北农业大学讲师，主要从事计算数学方向研究.

E-mail: sxchenyating@hebau.edu.cn

随着科学技术和计算机技术的日益发展，定积分和重积分的计算问题被广泛地应用在信号处理、小波分析、自动控制、人工神经网络等科学工程领域．一元函数的数值积分的近似计算已经得到较好的解决，比如Newton-Cotes公式、Gauss公式等[1-3]．但是二元函数的数值积分以及二元以上的数值积分也会遇到类似的问题需要解决．文献[4-10]给出了一些二元函数的数值积分的构造方法和近似算法．

本文在文献[11]的基础上，利用该文构造的一元函数的数值积分公式，构造了一个二元函数的数值积分公式，并通过实际算例证明了该公式的有效性，可以很好地应用在实际问题中．

1构造公式

根据文献[11]可知，如果被积函数f(x)在积分区间[a，b]上足够光滑，并且在[a，b]上每一点处的二阶导数都可求得，可构造如下的数值积分公式：

(1)

该求积公式具有7次代数精度，且余项

(2)

(3)

余项

下面求g0，g1，g2和g″0，g″1，g″2：

在[c(xi),d(xi)]应用公式(1)得

(4)

余项

f(xi,d(xi))d″(xi)+fx(xi,d(xi))d′(xi)+fy(xi,d(xi))d′2(xi)-f(xi,c(xi))c″(xi)-

(5)

f(xi,d(xi))d″(xi)+2fx(xi,d(xi))d′(xi)+fy(xi,d(xi))d′2(xi)-f(xi,c(xi))c″(xi)-

2fx(xi,c(xi))c′(xi)-fy(xi,c(xi))c′2(xi)．

余项

把gi，g″i，i=0,1,2代入公式(3)得二重积分的数值计算公式，其中余项

(6)

于是有如下结论：

定理1设函数f(x,y)在D={(x,y)|a≤x≤b,c(x)≤y≤d(x)}上充分光滑，c(x)，d(x)在[a,b]上连续且可微， 则公式有如下误差估计：

(7)

特别地 ，当D为矩型区域：D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}时，

(8)

其中

(9)

(10)

2数值计算

由于积分区域为矩形区域，则可利用公式(8)—(10)计算可得

已知真值II=0.397 273 627 998 12.

3结果与讨论

通过上面的数值计算结果表明：在计算二重数值积分时，本文构造的二重数值积分公式能很好地作为积分值的近似，而且精确程度较高．特别是积分区域为矩形区域时计算更为简便．当然，如果积分区域为Y-型区域也可通过类似的方法求得积分值；如果积分区域是其他复杂的区域，则可把该区域分割成若干个X-型区域和Y-型区域，然后一一利用公式积分求和即可．本文的优点在于利用了较少的条件构造了一个精确程度较高的二重数值积分公式，由此用较少的计算量就可以达到精度的要求，同时，所得到的积分公式还易于编程，因而在实际计算中有广泛的应用．该公式还可以进行复化，由此得到更高精度的数值积分公式，但是相对而言，复化公式较为复杂，是需要进一步研究的内容．

积分的计算是非常重要的计算，积分的数值算法在积分中显得尤为重要．本文在文献[11]的基础上，利用该文构造的一元函数的数值积分公式，利用了较少的条件构造了一个精确程度较高的二元函数的数值积分公式，所得到的积分公式易于编程，因而在实际计算中有广泛的应用．

参考文献:

[1]李庆扬，王能超，易大义．数值分析[M]．北京：清华大学出版社，2008 .

[2]杨涛，王爱茹，王增辉．计算方法[M]．北京：中国水利水电出版社，2005.

[3]陈公宁，沈家骥.计算方法导引[M]. 北京：北京师范大学出版社，2009.

[4]吴新元，吴宏伟.一个新的高精度二重数值积分公式[J]．计算物理，1991,8(4):437-441.

WU Xinyuan ,WU Hongwei. A high accurate numerical integration formula[J]. Journal of Computational Physics，1991,8(4):437-441.

[5]陈付龙.二元数值积分的计算方法[J]．计算机工程与应用，2007,42(19):32-34.

CHEN Fulong. Two-dimensional numerical value integral's computing method[J]．Computer Engineering and Applications, 2007,42(19):32-34.

[6]朱振广.复杂区域上的二重积分数值计算的一种方法[J]．辽宁工学院学报，2004,24(2):52-54.

ZHU Zhenguang. A method of estimating multivariable integral on complex region[J]．Journal of Liaoning Institute of Technology, 2004,24(2):52-54.

[7]王勇，熊华.多重Newton-Cotes积分及其系数[J]．西华师范大学大学学报：自然科学版，2010,31(3):271-274.

WANG Yong, XIONG Hua.Multiple Newton-Cotes integral and the coefficients [J]．Joumal of China West Normal University:Natural Sciences，2010,31(3):271-274.

[8]徐伟，郑华盛，李曦．一类高精度数值积分公式的构造[J]．数学的实践与认识，2012,42(18)：207-215.

XU Wei, ZHENG Huasheng, LI Xi. Constructions of new high accurate numericalintegration formula[J]．Mathematics in Practice and Theory，2012,42(18)：207-215.

[9]许江浩，陈志坤，刘斌．一个高精度数值积分公式[J]. 四川理工学院学报，2011,24(2)：168-170.

XU Jianghao, CHEN Zhikun, LIU Bin.A higher order accuracy numerical quadrature rule[J]．Journal of Sichuan University of Science & Engineering:Natural Science Edition, 2011,24(2)：168-170.

[10]郑华盛，唐经纶，危地．高精度数值积分公式的构造及其应用[J]．数学的实践与认识，2007,37(15)：141-148.

ZHENG Huasheng, TANG Jinglun, WEI Di. Constructions of high accurate numerical integration formula and its applications[J].Mathematics in Practice and Theory，2007,37(15)：141-148.

[11]陈亚婷，冀德刚，贾鹂，等. 利用二阶导数构造的数值积分公式[J]．河北大学学报：自然科学版，2014,34(04):347-350.

CHEN Yating，JI Degang，JIA Li, et al. Numerical integration formula by second derivative[J]．Joumal of Hebei University：Natural Sciences，2014,34(04):347-350.

(责任编辑：王兰英)