理想流体近似的讨论

赵 斌

(南京工程学院数理部　江苏 南京　211167)



理想流体近似的讨论

赵 斌

(南京工程学院数理部江苏 南京211167)

摘 要：针对大学物理中的理想流体模型进行了讨论，从热力学方程和纳维-斯托克斯方程出发，给出了理想流体模型的近似过程，澄清了理想流体模型的概念，阐明了理想流体的运动过程是等熵过程．通过对造成熵增(耗散)项的物理分析，本文给出了理想流体近似可以视为冷流体近似的观点．

关键词:理想流体纳维-斯托克斯方程傅里叶热传导定律牛顿粘性定律

流体是人类生活和生产中经常遇到的物质形式，气体、液体、等离子体都可以视为流体．流体力学是研究连续介质的宏观运动规律以及它与其他运动形态之间的相互作用，它的理论是基于连续介质假说．从流体力学的观点来说，除了固体外，其他存在形式物质的宏观运动和相互作用都可以用流体力学的理论来近似描述．因此流体力学几乎渗透到了各个学科和工程应用领域之中．

在大学物理的知识体系中，一些教材中也对流体力学的知识进行了介绍，其中理想流体像质点、刚体等一样是一个重要的物理近似模型，一些大学物理的课本中，其定义为完全不可压缩的无粘滞性的流体[1～3]．这一定义是不对的，从概念上说，流体力学分类中就有可压缩理想流体和不可压理想流体之分．这一定义当然没有给出理想流体力学的本质内涵，也会使得学生在将来进一步学习流体理论时产生歧义性和矛盾．笔者认为需要对理想流体的概念以及流体力学描述方程进行澄清，以免造成概念的混淆，同时也加深我们在教学中对流体力学的认识．为此我们需要对理想流体模型的近似过程进行梳理．

描述流体运动的动力学方程有欧拉流体力学方程，纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程，Burnett和Super-Burnett方程等[4]．其中欧拉方程也称为理想流体方程．理想流体是流体理论中一个理想极限模型，其定义为运动过程中可以忽略粘滞和热传导效应的流体[4,5]，当然理想流体的运动行为可以用欧拉方程来描述．在大学物理教材中流体力学介绍的知识点也主要是围绕不可压缩理想流体展开的．

下面我们从实际使用较为广泛的纳维-斯托克斯方程出发，对理想流体模型的近似过程进行分析和讨论．流体动力学方程实质是描述流体元的质量守恒、动量守恒、能量守恒的方程组

(1)

(2)

(3)

其中ρ是流体的质量密度，u，p，e分别是流速、压强、单位质量的内能．χ为粘滞应力张量，q为热流．常用的应力张量可以表示为P=-pI+χ，I为单位张量．在纳维-斯托克斯方程中假设了χ与速度梯度张量成正比，即牛顿粘性定律；q与温度梯度成正比，即傅里叶热导定律q=-κ▽T．这些定义关系也称本构方程．当然对于上述动力学方程组计算，还需要状态方程才能够封闭可解．这3个方程又分别称连续性方程、运动方程、能量方程．为了下面讨论的方便，将能量方程改写成

(4)

由热力学的知识，假设我们考察的流体系统选取ρ,S为状态参量，S为流体介质的熵(单位质量)，内能可以表述为e=e(ρ,S) ，则有

(5)

利用热力学关系

上式正是热力学第一定律

(6)

(7)

由连续性方程(1)有

(8)

代入方程(7)得到，

(9)

这样能量方程(4)可以写成

(10)

∫ΩdΩ▽·(κ▽T)=∫AdA·(κ▽T)=0

即热传导不会增加系统的热能，这里Ω是整个流体系统的总体积, 其闭合的外表面为A．但是可以证明，从整体上看流体系统，热传导总是会导致整个系统的熵增．这里为了证明叙述的简洁，我们只考虑方程(10)中的热传导项

(11)

这一方程可以写成

(12)

对整个流体体积积分，方程左边即为系统熵的体积分, 即系统总熵；方程右边在考虑系统无流边界后，只剩下∫ΩdΩκ(▽T)2/T2，这一积分总是大于零(因为热导系数κ>0)．从热力学的观点来看，粘滞系数和热导系数为正，也正是热力学第二定律的要求，即纳维-斯托克斯方程是内在本质上是满足热力学第二定律的．

是忽略了流体元微观粒子的无规热运动，或者说是趋于零的冷流体近似．

参 考 文 献

1王海婴，大学基础物理学.北京：高等教育出版社，2000.95

2周丰群,大学物理学(上).成都：四川大学出版社，2001.219

3刘扬正，张伟强.大学物理(上).北京：科学出版社，2011.77

4S.查普曼，TG.考林著. 非均匀气体的数学理论.北京：科学出版社.1985

物 理 新 解

5L.D.Landau，E.M.Lifshitz.FluidMechanics, 2nded.,NewYork：PergamonPress. 1987.2

DiscussiononIdealFluidApproximation

ZhaoBin

(DepartmentofMathematicsandPhysics,NanjingInstituteofTechnology，Nanjing，Jiangsu211167)

:Theapproximationofidealfluidaredocumentedinthisarticlewhicharenotwelldefinedinsomecollegephysicstextbooks.Fromthepointofviewthermodynamics,thedissipationoffluidnaturallyarisesfromtherandommotionofmicroscopicparticleoffluid.Therefore，theapproximationofidealfluidmaybeexplainedthatfluidisregardedascoldone.

Keywords:ideal fluid；Navier-Stokes equation；Fourier conduction law； Newton viscosity law

收稿日期：(2015-10-14)