复变函数与积分变换的MATLAB解法与可视化的教学改革研究
2016-01-19王璐
王璐
摘要： 本文研究了利用MATLAB解决复变函数和积分变换的问题，并且通过MATLAB强大的绘图功能将结果绘制出来，使很多难以理解的复杂函数以图像形式显示出来，形象、直观，有利于提高学生的学习效率，提高教学质量和教学效果。
关键词：复变函数;MATLAB;教学改革
《复变函数与积分变换》课程是电子、通信、信号处理等理工科必修的基础课，数学理论的抽象和求解过程的烦琐，常常会使学生产生畏惧从而失去兴趣，使教学效果大打折扣，成为后续专业课程学习的“拦路虎”。本文讨论了利用MATLAB解决在《复变函数与积分变换》学习中遇到的一些问题。由于相关书籍大多只介绍MATLAB的基础用法，基础多而实际应用少，其中利用MATLAB求解复变函数和积分变换的研究就更少，本文的研究重点就在于此。利用MATLAB解决《复变函数与积分变换》中的问题，可以节省人力计算，提高学习效率。通过MATLAB将计算结果和复杂函数以图像的形式绘制出来，一方面有利于教学，另一方面可提高学生利用MATLAB编程的能力，为今后学习打下良好基础。
1 MATLAB求解复变函数
MATLAB提供了大量的数学函数，可大大减少手工计算量。复变函数求导，用到的函数是diff（function，variable，n），而复变函积分用到的函数是int（function，variable，a，b）。留数的计算可分为两类。第一类是指复变函数的分子和分母都是多项式的形式，函数命令为 [R，P，K]=residue（B，A）。第二类指复变函数的分子和分母不是多项式的形式 。例如：求f（z）在点的留数。程序如下：
>> syms z
>>f=（z^2-exp（z））/（z^2-1）
>> r=limit（（z-1）*f，z，1）
>> g=limit（（z+1）*f，z，-1）
泰勒级数能够将解析函数展开成幂级数 [3 ]，这给解析函数的研究带来极大方便。例如：求f（z）的泰勒级数展开， z<1 ，程序如下：
>> syms z
>> f=1/（1-z）;
>> taylor（f，10，z）
应用MATLAB的绘图功能可以方便而且直观地绘制图形，绘制复变函数图像的命令是plot（ ）和ezplot（ ）。例如：绘制复变函数z=t+ietsint的图像，程序如下（图像如x y图1所示）：
>>syms z t
>> t=0：0.01：2*pi;
>> x=t;
>> y=exp（t）.*sin（t）;
>> z=x+i*y;
>> plot（z）;
勒让德函数的图像如图2所示，贝塞尔函数的图像如图3所示，诺依曼函数的图像如图4所示。
2 MATLAB求解傅里叶积分变换
傅里叶变换是信号处理等学科的基础，通过傅里叶变换可以获取信号的频谱信息，使频域信号处理更为方便和直观。MATLAB求傅里叶变换的函数格式为fourier（f，u，v）。例如：求高斯分布函数f（z）=e- t的傅里叶变换，程序如下：
（a）傅里叶变换前时域图 （b）傅里叶变换后频域图
3 MATLAB求解拉普拉斯积分变换
拉普拉斯变换在物理、力学以及工程技术中都有很广泛的应用，基本格式是。例如：求单位阶跃函数的象函数。程序如下（图像如图6所示）：
>> syms t s
>> h=heaviside（t）
例如：求指数函数f（t）=4e2 t，t>0的拉普拉斯变换，程序如下（图像如图7所示）：
>>syms t f F p
>> f=heaviside（t）*4*exp（2*t）;
本文研究了MATLAB在《复变函数与积分变换》中的典型应用，利用MATLAB简化繁琐的求解过程，并把求解结果用可视化、动态化的形式直观地表现出来，既能提高学生的学习兴趣，又有利于理解问题的本质以及解的意义。
参考文献：
[1]贺凯.MATLAB在复变函数与积分变换中的应用[J].沙洲职业工学院学报，2006，（9）.
[2]石博强，赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京：中国铁道出版社，2005：181-182.
[3]周梦，高宗升.现代数学基础[M].北京：北京航空航天出版社，2008：55-57.
■ 编辑∕高 伟
