运用数学阅读进行有效的概念教学

叶育新

数学概念是数学基础知识的重要组成部分。是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在大脑中的反映。在数学概念课的教学中，充分重视学生的数学阅读有助于深化对概念的内涵理解，提高实践运用能力。本文以人教版六上“倒数的认识”一课为例，谈一谈如何运用数学阅读进行有效的概念教学。

一、提供材料，排除认知干扰

学生在进行数学学习时，通常会基于已有的知识和经验理解某些数学概念，有时候这种理解仅仅是从自己生活经验和情境出发，形成所谓的“前概念”，对正确理解新知识产生干扰。因此，教师要了解学生“元认知”，排除“前概念”对数学教学的负面影响。在“倒数”一课中，教师可先在黑板上板书“倒数”二字，问学生：“这个词你会读吗？”学生一般会呈现三种读法，即dǎo shù、dào shǔ、dào shù。教师可先排除第一种读法，告诉学生：“数学上有一种数叫导数，它的读法才是dǎo shù。”接着呈现《现代汉语词典》中对“倒数”的两个解释：逆着顺序数，读作dào shǔ;如果两个数的积是1，其中一个数就叫作另一个的倒数，读作dào shù。让学生根据阅读材料对本节课学习的倒数的读法进行猜测和判断，在学生回答的基础上进行总结，明确读法。上述教学流程中，教师先后两次提供阅读材料（第一次为课题板书，第二次为词典解释），及时干预“前概念”对新课学习的干扰。

二、观察归纳，初步形成概念

小学数学教材中的概念，主要表现形式为描述式和定义式。由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。“倒数”一课的教学，在学生了解倒数的读法以后，教师可以进一步提出：“到底倒数是一种怎样的数呢？”教师可以通过课件呈现四道算式： × 、 × 、5× 、 ×12，让学生先计算、再观察，看看其中有什么规律。这里的观察其实就是一个数学阅读的过程，阅读的对象是四个算式，阅读的主要形式是观察：教师可根据学生的具体情况，从运算的类别、因数的个数、因数的特征、算式的结果等维度进行数学阅读提示和指导。学生通过观察、交流和讨论，得出这四个算式的共性：“都是乘法算式”“都有两个因数”“这几个算式的结果都是1”“因数的分子分母正好颠倒了位置”。这些共性就是学生数学阅读的结果，前三个共性体现了倒数概念的本质属性，而第四个共性则是倒数概念的非本质属性。需要注意的是，学生在形成倒数概念的过程中容易被第四个共性所误导，容易局限于“分子分母颠倒位置”的外在形式，狭隘地理解倒数的概念内涵。因此，教师可先让学生尝试自己归纳倒数的概念，在众说纷纭、意见不一致时回到教材，通过阅读教材中的结论来揭示倒数的数学定义：“乘积是1的两个数互为倒数”。在上述教学过程中，教师为学生提供的数学阅读材料有助于他们进行观察、比较、分析、综合，诱使学生萌发猜想，引出规律，完善结论。这样的设计既体现了编者的意图，又符合学生的认知特点。

三、分析比较，正确理解内涵

在学生初步感知倒数概念后，教师可以让学生自己举例说明倒数的概念，也可抓住关键词语有针对性地提供补充阅读材料，让学生对照概念进行分析比较。可展示 + =1， - =1， ÷ =1等三道算式，目的在于让学生辨析“乘积是1”的概念内涵;展示 × × =1这个反例可以强化学生对“两个数”这一前提的认识;对于“互为”两字，既可以结合实例帮助学生加深理解，如 × =1可以说“ 的倒数是 ”，也可以说“ 的倒数是 ”，也可以通过让学生回忆已学过的数学概念中的类似例子来进行类比，如互相平行、互相垂直、因数和倍数等。在上述阅读过程中，学生的主要行为是进行比较、辨析，在概念判断的过程中正确理解倒数概念内涵，在举例类比的过程中实现概念的同化和顺应。

前面已经提到，学生在初步感知倒数概念的过程中容易局限于“分子分母颠倒位置”的外在形式，而对倒数概念的本质属性有所忽略。教师可以结合阅读材料进一步提出问题：“从这些算式可以看出，互为倒数的两个数有什么特点？”有的学生基于分数的倒数说出：“分子分母颠倒位置。”有的学生可能会说：“两个数的乘积是1。”到底什么才是倒数的本质特征？可以让学生进一步观察课前的四道算式，并提出问题：“一个数的倒数一定是分数吗？”在观察、举例、讨论交流的过程中，学生不难发现，一个数的倒数可能是分数，也可能是整数（如 的倒数是12）。一个数的倒数可以是小数吗？在半信半疑间，教师可以让学生再次阅读5× =1这个算式，启发学生运用数的转化知识，转化出5×0？郾2=1，在此基础上，教师再次让学生列举关于倒数的例子，进行讨论交流。让学生感悟到，分数、整数和小数都可以找到它的倒数，“乘积是1”才是倒数概念的本质属性。

四、变式训练，深化理解内涵

在练习环节，除了基础练习，教师还可以通过提供阅读材料，进行一些变式训练来深化概念内涵的理解。教材第29页练习六判断题中的“0的倒数还是0”这样的题目，可以让学生运用倒数的概念进行举例说理，既可以分散教学难点，也可以深化他们对倒数概念内涵的理解。而课本第29页练习六第5题则通过提供阅读材料“因为 ×0？郾75=1，所以 的倒数是0？郾75”，让学生讨论“小红和小亮谁说的对”，这个讨论的实质在于“分数的倒数有没有可能是一个小数”，通过讨论，可以让学生认识到：“无论是分数 ，还是小数0？郾75，因为它们分别与 相乘的积都是1，所以，它们都是 的倒数”。也可以根据数的转化进行推理论证：“因为 的倒数是 ，而 =0？郾75，所以0？郾75也是 的倒数”。为了突出倒数概念的本质属性，教师可以有针对性地补充一些判断题让学生阅读后进行判断：“ 和 互为倒数”“0？郾1和10互为倒数”“7和 互为倒数”等。如果学生仅仅在形式上观察这些阅读材料，很容易出现误判，教师可以适机引导学生展开讨论甚至辩论。通过讨论，让学生深刻体会到，判断两个数是不是互为倒数，关键是看它们的乘积是不是1。在上述教学过程中，教师通过提供阅读材料，创设思维情境，让学生从不同的角度去理解概念的本质属性，伴随着阅读过程的是质疑、辨析、对比等思考过程，让学生进一步深化了对概念内涵的理解。

五、实践应用，完善认知结构

教学中除了要重视数学概念的形成和获得外，还要加强数学概念的应用，以进一步增强学生的实践意识，完善认知结构。倒数的认识是学生学习分数除法的基础和前提，因此教材安排在第三单元“分数与除法”的起始课。为了体现知识的联系，教材第29页第4题专门设置了3组题目，让学生通过分别计算有联系的除法（9÷4）和乘法（9× ），并比较算式的大小。目的在于渗透转化思想和倒数知识在分数除法计算中的应用，为下一节课的学习孕伏方法。此外，为了提供应用能力，使学生初步学会运用所学的数学知识解决一些简单的实际问题，教师还可以设置一些拓展题，如“根据8×A= ×B=1？郾25×C=1，请将A、B、C按照从小到大顺序排列”。学生在解决这个问题时要经历两个过程，首先是应用倒数的知识分别求出A、B、C的大小，然后再将A、B、C按照从小到大顺序排列。这样，引导学生在“用数学”中学数学，体会数学的应用价值，增进其对数学的理解和应用数学的信心。

数学阅读在数学学习的过程中占有重要的地位。在概念的学习过程中，教师应重视引导学生抓住关键词语，结合具体的阅读材料理解概念的内涵，并进行适当的阅读技能指导。从学生的学情出发，教师应重视挖掘并提供有价值的数学阅读材料，以帮助学生排除认知干扰，正确理解学习内容。教师还应结合阅读材料，创设知识应用情境，组织开展观察、比较、讨论、归纳、辨析等有效的数学学习活动，不断深化学生对数学知识的理解。

（作者单位：福建省福州市林则徐小学）endprint