高中数学向量的教学认识及其教育价值
2016-01-19王峻峰
王峻峰
在新课改背景下的向量教学中，高中数学教材分别设置了平面向量与空间向量两部分。受到传统向量应用教学的局限思维影响，很多教师认为向量知识主要应用于几何问题，用于简化几何问题，拓宽解题思路上。因此，向量教学也偏向于几何问题解决技巧教学，忽视对其教育价值的使用。在本文中，我们将从高中数学向量教学的认识出发，对其教育价值进行讨论。
一、向量的认识
向量具有显著的应用价值，在数学、物理及现代科技中都有着广泛的应用。
1.物理学背景
向量表示具有大小和方向的基本量，常用箭头表示，在物理学中称为矢量。矢量在重力场、电场等处有着直接应用，位移、力、速度、加速度等物理概念都具有矢量的性质。矢量的运用贯穿于物理学科发展的始终，渗透在众多物理学分支学科中。这些矢量模型都是数学向量的经典原型，为学生们今后的数学向量学习提供了丰富的物理依据。
2.几何学背景
向量具有大小和方向，而几何学的主要研究内容就是物体的形状和位置，大小可以表示几何形状，方向可以表示几何位置，这两者之间密切相关。在几何学中，直线、平面及其位置关系都可以利用向量的方向性来表示;线段长度、平面面积和几何体积则可以利用向量的大小及其运算法则表示。因此，在高中数学向量的教学中，教师必须引导学生将向量知识向几何意义方向过渡，帮助学生掌握向量与几何学的关系。
3.代数学背景
代数学的主要研究内容包括运算及其基本规律，传统的代数运算包括加减乘除等，而这些运算在向量中同样存在。向量运算除了加减乘除外，还包括向量积（点乘）、数量积（叉乘）等。这些代数运算法则及其规律赋予了向量知识新鲜血液，催生了一系列特定的向量结构。
二、向量的教育价值
1.联系其他学科，实现背景教学
向量知识不仅仅为数学学科所使用，在物理学中同样有着重要的教育价值。在向量知识的实际教学过程中，必须注重对应的学科联系性教学，帮助学生全面掌握向量知识。
例如，在必修四的向量加法运算教学中，我们可以利用位移合成的原理来导入加法运算法则。我们假设一个物体从点A运动到点B，再从B点运动到C点，则整个过程中AB与BC两端位移的位移和是从A点到C点的位移。以此为背景，我们可以导入向量加法的三角形原则和平行四边形原则。在向量数乘的教学上，我们可以利用位移的数乘来作为导入背景，通过位移数乘的直观性教学，帮助学生认识向量数乘运算法则。在向量的数量积教学中，我们利用外力做功的物理学背景进行教学。对此，我为学生们设置了如下的背景，一物体受力为F，若在θ角方向上的位移为S，试问外力做功为多少？由角度可知，在位移方向上的外力为F1，则在沿位移方向上的外力做功为F1S，则此时外力对物体做功为FScosθ。通过物理背景的融入，我们将数量积的决定因素展示给了学生们。
2.综合各类知识，实现方法教学
从我们对向量知识的认识可知，向量的教学可以有效地将几何与代数知识相联系，实现各类知识之间的联系性教学，帮助学生掌握其中的数学方法。向量作为联系代数与几何的媒介，很多向量问题可以利用代数与几何的知识来综合解决，有利于培养学生的数形结合思想。
【例题】（2012年兴化市）如下图A、B、C是直线l上的三点，P是直线外一点，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，则 _____（用a表示）。
【分析】本题属于向量积求解问题，结合几何图形与代数法则，我们可以从以下方法中寻求突破。首先，我们可以利用代数知识进行求解，以PA、PB作为坐标轴，建立坐标系。于是，我们设A（m，0）、B（0，n），则C点坐标为（-m，2n），根据AB=BC=a，可以进一步求出A、B两点的坐标。最后，利用向量积的代数运算法则，我们可以得到 。此外，我们可以利用几何的方法进行求解，点C在直线AP上的投影为D，则△DPC为等腰直角三角形。利用上图所示三角形中线与中位线的知识，我们可得出PC= PD=
PA、2PB=CD=PB=PA。最后，利用勾股定理，我们可以求出PA与PC。利用几何关系，可得到 。
3.发展计算能力，深化向量价值
与初中数学相比，高中数学对学生计算能力的要求进一步提高，需要学生对数学知识有着深入的掌握。从单纯的数字向字母、多项式和矩阵方向发展，数学计算也是朝着复杂化与多样化方向发展。在数字与字母的组合下，数运算、多项式运算为A×A=A的形式，数与多项式的运算为A×B=B的形式。向量运算除了以上的类型，还包括较为特殊的数量积运算，即是A×A=B的形式。在向量运算背景下，我们得以实现对长度、面积和体积等度量单位的计算问题，向学生们展现了不一样的计算类型。
总之，向量在物理、数学和现代科学技术中都有着广泛的应用，对学生综合能力培养有着重要的作用。在新课改背景下，我们必须精确定位学生需求，进一步深化学生对向量知识的认识与理解。
（作者单位：江苏省射阳县高级中学）
