2016年高考数学模拟金卷（一）

2016-01-18陈开懋

数学教学通讯·初中版 2015年12期

关键词：研究室过点象限

陈开懋

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在复平面内，复数■所对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合A={xy=■}，B=x■>0，则（CRA）∩B等于（）

A. {x4≤x<6} B. {xx≥4}

C. {x2

3. 一组长数据x■（1≤i≤8）从小到大的茎叶图为：

40 1 3 3 4 6 7 8

在图1所示的程序框图中■是这组数据的平均数，则输出的s2的值为（）

A. 7 B. 8

C. 9 D. 56

4. 如图2，一个正三棱柱的侧（左）视图是边长为■的正方形，则它的外接球的表面积等于（）

A. 8π B. ■

C. 9π D. ■

5. （理）下列四个命题中，正确的是（）

A. 对于命题p：？埚x∈R，使得x2+x+1<0，则？劭p：？坌x∈R，均有x2+x+1>0

B. 函数f（x）=e-x-ex切线斜率的最大值是2

C. 已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且p（-2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ>2）=0.2

D. 已知函数f（a）=■sinxdx，则ff■=1-cos1

（文）命题“若α≠■，则tanα=1”的逆否命题是（）

A. 若α≠■，则tanα≠1 B. 若α=■，则tanα≠1

C. 若tanα≠1，则α≠■ D. 若tanα≠1，则α=■

6. 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y（单位：万元）与年产量x（单位：吨）之间的关系可近似地表示为y=■-30x+4000，则每吨的成本最低时的年产量为（）

A. 240 B. 200 C. 180 D. 160

7. （理）我省选派6名教师（其中4名男教师，2名女教师）到A，B，C三个乡村中学支教，每个乡村2名，且2名女教师不在同一乡村，也不在C村，某男教师甲不在A村，则共有（）种选派方法.

A. 4 B. 12 C. 18 D. 9

（文）设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①■>■；②aclog■（b-c）. 其中所有的正确结论的序号是（）

A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③

8. 如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为■（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如■=■+■，■=■+■，■=■+■，…，则第10行第

4个数（从左往右数）为（）

A. ■

B. ■

C. ■

D. ■

9. 已知A1，A2是椭圆■+■=1（a>b>0）长轴的两个端点，B是它短轴的一个端点，如果■与■的夹角不小于■，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A. 0，■ B. ■，1

C. ■，1 D. ■，1

10. 对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-2.2]=-3. 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值为（）

A. 847 B. 850 C. 852 D. 857

二、填空题：本大题理科共6小题，考生共需作答5小题；文科共5小题，每小题5分，共25分.

（一）必做题

11. 某机构调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程是■=0.254x+0.32. 由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_____万元.

12. （理）设k是一个正整数，1+■■的展开式中x3的系数为■，则函数y=x2与y=kx-3的图象所围成的阴影部分的面积为__________.

（文）设向量a=（1，2m），b=（m+1，1），c=（2，m），若（a+c）⊥b，则a=_______.

13. 已知点P的坐标（x，y）满足x+y≤4，y≥x，x≥1，过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交于A，B两点，则AB的最小值为__________.

14. （文）函数y=x+■（x≥3）的最小值为__________.

15. （文）如图4，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于（2，1）时，■的坐标为______________.

（二）选做题：请理科考生在第14、15、16三题中任选两题作答，若三题全做，则按前两题结果计分.

14. （理）（选修4-1：几何证明选讲）如图5，已知圆O的直径AB=5，C为圆周上一点，BC=4，过点C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD=________.

15. （理）（选修4-4：坐标系与参数方程）若直线l的极坐标方程为ρsinθ+■=■，则极点到直线l的距离是__________.

16. （理）（选修4-5：不等式选讲）若存在实数x使x-a+x-1≤3成立，则实数a的取值范围是__________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （文）17. （理）（本小题满分12分）如图6，角θ的始边在x轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈0，■，△AOB为正三角形.

（1）若点C的坐标为■，■，求cos∠BOC的值；

（2）记f（θ）=BC2，求函数f（θ）的解析式和值域.

17. （文）（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

■

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.

（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. （将频率视为概率）

18. （理）（本小题满分12分）研究室有甲、乙两个课题小组，根据以往资料统计，甲、乙两个小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为P1=■，P2. 现假设每个课题研究都有两项工作要完成，并且每项工作的完成互不影响，若在一次课题研究中，两个小组完成任务项数相等且都不少于一项，则称该研究室为“先进和谐研究室”.

（1）若P2=■，求该研究室在完成一次课题研究任务中荣获“先进和谐研究室”的概率；

（2）设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐研究室”的次数为ξ，当E（ξ）≥2.5时，求P2的取值范围.

18. （文）（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD；上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.

（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；

（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：cm），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

19. （理）（本小题满分12分）如图8，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=■CD=2，点M在线段EC上.

（1）当点M为EC的中点时，求证：BM∥平面ADEF；

（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为■时，求三棱锥M-BDE的体积.

19. （文）20.（理）（本小题满分12分）已知各项都是正数的等比数列{xn}，满足x■■=x■■=x■■（n∈N？鄢）.

（1）证明：数列■是等差数列；

（2）若■=1，■=15，当m>1时，不等式an+1+an+2+…+a■>■（logm+1x-logmx+1）对n≥2的正整数恒成立，求x的取值范围.

20. （文）21. （理）（本小题满分13分）已知点Q位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）的距离与到直线x=-3的距离之和等于4.