APP下载

查漏补缺之立体几何

2016-01-18朱斌

数学教学通讯·初中版 2015年12期
关键词:异面二面角平行

朱斌

立体几何在高考中占有极其重要的地位,主要考查位置关系及有关的几何计算问题,其中位置关系、距离及角一直是考查的热点. 本文对立体几何知识作一梳理,希望对同学们有所帮助.

平面的基本性质

(1)如何证明若干点共线问题及点、线共面问题?

作答:______________________

(2)你知道如何证明三线共点吗?

作答:______________________

(3)如何用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图?

作答:______________________

(1)①证明若干点共线问题,只需证明这些点同在两个相交平面的交线内即可. ②证明点、线共面有两种基本方法:先用部分点、线确定一平面,再证余下的点、线都在此平面内;或者分别用部分点、线确定两个或多个平面,再证这些平面是重合的.

(2)证明三线共点,只需证明其中两线相交,然后证明另一条也过交点即可.

(3)步骤如下:①两坐标轴成45°(或135°);②平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半.

异面直线

(1)证明两条直线是异面直线的方法有哪些?

作答:______________________

(2)求两条异面直线所成的角的步骤是什么?

作答:______________________

(1)证明两条直线是异面直线,一般可利用异面直线的判定定理以及反证法.

(2)求两条异面直线所成的角的步骤:①找出或作出有关角的图形;②证明它符合定义;③求角.

空间的平行关系

(1)判定直线与平面平行的方法有哪些?

作答:______________________

(2)判定平面与平面平行的方法有哪些?

作答:______________________

(1)利用定义采用反证法;利用线面平行判定定理;利用面面平行性质定理.

(2)利用定义;利用判定定理;利用面面平行的传递性;利用线面垂直的性质.

空间的垂直关系

(1)判定线、面垂直的常用方法有哪些?你还记得线、面垂直的性质定理吗?

作答:______________________

(2)三垂线定理及其逆定理主要用于哪些方面?

作答:______________________

(1)①利用判定定理;利用平行线垂直平面的传递性;利用面面平行的性质;利用面面垂直的性质. ②过平面外一点,有且只有一条直线垂直于这个平面;垂直于同一条直线的两个平面平行.

(2)三垂线定理及其逆定理主要用于:立体几何的证明问题;立体几何的计算问题;二面角问题(主要是构造二面角的平面角).

空间向量及其运算

(1)如何求空间中任意一点A的坐标?

作答:______________________

(2)利用向量可以解决立体几何中的哪些问题?

作答:______________________

(1)过A作z轴的平行线交平面xOy于B,过B分别作x,y轴的平行线交x,y轴于C,D,则由■,■,■的长度和方向便可求得点A的坐标.

(2)利用向量可以解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题,应用的关键是建立正确的空间直角坐标系,难点是正确表示已知点的坐标.

空间的角

(1)两条异面直线所成的角的取值范围是多少?直线和平面所成角的取值范围呢?二面角的平面角的取值范围又是多少?

作答:______________________

(2)如何找直线和平面所成的角?

作答:______________________

(1)两条异面直线所成的角的取值范围是0,■;直线和平面所成角的取值范围是0,■;二面角的平面角的取值范围是[0,π].

(2)过直线上一点作平面的垂线或找直线上一点到平面的垂线,或找(作)垂面,将其转化为平面上的角(斜线和斜线在平面上的射影所成的锐角),然后用向量求解或解直角三角形.

空间的距离

你知道求点到面以及异面直线的距离公式吗?

作答:______________________

d=■(P为平面α外一点,a,n分别为平面α的斜向量和法向量,d为P到α的距离).

d=■(n是异面直线l1,l2公垂线上的方向向量,a为l1,l2上两点连线构成的向量,d为l1,l2的距离).

(1)你还记得球的表面积和体积公式吗?球的截面圆有哪些性质?

作答:______________________

(2)如何求球面上A,B两点的距离?

作答:______________________

(1)①S球面=4πR2;V球=■πR3. ②球心和截面圆圆心的连线垂直于截面;球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=■.

(2)求球面上A,B两点的距离的一般步骤是:①计算线段AB的长;②计算∠AOB(注意结果是用角度表示的还是用弧度表示的),∠AOB=α;③求过A,B,O的大圆的劣弧■的长l(O是球心),l=αR. ■endprint

猜你喜欢

异面二面角平行
向量的平行与垂直
立体几何二面角易错点浅析
平行
综合法求二面角
逃离平行世界
求解异面直线夹角问题的两个路径
求二面角时如何正确应对各种特殊情况
求二面角的七种方法
六种方法破解高考异面直线所成的角
再顶平行进口