商榷2015年高考题中表述欠严谨的10道题
2016-01-18
一年一度的高考是考生、老师、家长、学校乃至全社会关注的重点话题.2015年的高考已尘埃落定，笔者作为一名高中数学老师，也抓紧时间认真钻研了本年度的高考数学真题（文理共计31套，其中江苏文理同卷），发现了它们有试题常规、情景新颖、杜绝偏怪、难度在降低等特点，这也与新课改之精神、教育乃培养人的活动、数学本来应当是人人能够喜爱的美的科学合拍.但笔者发现有10道高考题在表述上欠严谨：虽然原题不会太影响考生正确答题，但作为高考题的权威性及引用的广泛性，还是要注意表述上的严谨.
■ （2015年高考湖北卷文科第4题）已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（ ）
A. x与y负相关，x与z负相关
B. x与y正相关，x与z正相关
C. x与y正相关，x与z负相关
D. x与y负相关，x与z正相关
解 A. 显然x与y负相关，又y与z正相关，所以x与z负相关.
商榷 高中生是在普通高中课程标准实验教科书《数学3·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）（下简称《必修3》）第86页接触到“正相关、负相关”这两个概念的：
从散点图（如图1所示）可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表（见《必修3》第85页的表2-3）中得出的结论.
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图1
另外，这些点散布的位置也是值得注意的. 它们散布在从左下角到右上角的区域. 对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. 还有一些变量，例如汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程，成负相关，汽车越重，每消耗1L汽油所行驶的平均路程就越短，这时的点散布在从左上角到右下角的区域内.
由此论述可知，“正相关、负相关”是呈相关关系的两个变量之间的关系. 而在本题中，满足关系y= -0.1x+1的两个变量x和y呈函数关系（即确定性关系）不是相关关系，在函数关系中，教科书中没有介绍两个变量之间“正相关、负相关”的含义（笔者在整个数学领域中也未听说过有此含义）. 建议把这道题的题干中的“y=-0.1x+1”改为“■=-0.1■+1”（改述后的解法及答案均不变）.
■ （2015年高考全国卷II理科第10题即文科第11题）如图2所示，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点. 点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（ ）
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A B
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C D
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图2
解法1 ？摇B.当点P在BC边上时，PB=OB·tanx=tanx，PA=■=■，所以f（x）=tanx+■0≤x≤■，显然f（x）单调递增且是非线性的，且f■=1+■. 当P位于边CD的中点时，x=■，且f■=PA+PB=2■，所以可知当点P从点B运动到点C时， f（x）从2增到1+■，当点P从点C运动到边CD的中点时， f（x）从1+■减到2■，且增减都是非线性的，结合图象可知选B.
解法2 B. 由题意可知， f■=2■， f■=1+■. 得f■ 商榷 建议把题2中的“长方形ABCD”改成“矩形ABCD”；“点P沿着边BC，CD与DA运动”改成“动点P从点B开始沿着折线BCDA运动到点A停止”（原说法是不清楚的：动点P从哪一点开始运动？运动到哪一点停止？是连续运动还是跳跃的运动？因为题目只说了“点P沿着边BC，CD与DA运动”）. 作为选择题，题2是可以勉强解答的；要是作为非选择题，题2将无从解答. ■ （2015年高考浙江卷理科第6题）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的个数. 命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）. （ ） A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 ■ 图3 解 A. 命题①显然成立，由图3可知d（A，C）表示的区域不大于d（A，B）+d（B，C）表示的区域，所以命题②也成立. 商榷 建议把题干改述为（若不改述，则题意不清，会使考生很茫然；因为有不少高考选择题是要求选出错误的选项，比如2015年高考中的福建卷理科第10题、陕西卷理科第12题）： 设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的个数. 命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）. 则下列结论正确的是（ ） ■ （2015年高考浙江卷文科第8题）设实数a，b，t满足a+1=sinb=t. （ ） A. 若t确定，则b2唯一确定 B. 若t确定，则a2+2a唯一确定 C. 若t确定，则sin■唯一确定 D. 若t确定，则a2+a唯一确定
解 B. 对于选项A，取t=■，b可取■或■，得b2不能唯一确定；对于选项B，由a+1=sinb=t，得a+12=t2，即a2+2a+1=t2，a2+2a=t2-1，所以若t确定，则t2确定，所以a2+2a唯一确定，得选项B正确；若t确定，由sinb=t，得sin2b=t2，所以cosb=±■，sin■= ±■=±■，不唯一确定，选项C中的结论不正确；若t确定，由a+1=t，得a+1=±t，所以a=-1±t，所以a2+a=（-1±t）2-1±t=t2？芎2t±t=t2？芎t，不唯一确定.
综上可知，只有选项B正确.
商榷 建议把题干改述为（改述的理由同上）：
设实数a，b，t满足a+1=sinb=t，则下列结论正确的是（ ）
■ （2015年高考广东理科第8题）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A. 至多等于3 B. 至多等于4
C. 等于5 D. 大于5
解 B. 正四面体符合要求，因此n可以等于4. 下面证明n=5不可能. 假设存在五个点两两距离相等，设为A，B，C，D，E.其中A，B，C，D构成空间的正四面体ABCD，设其棱长为a.设G为△BCD的中心，则不难算出AG=■a，BG=■a，且AG⊥平面BCD. 如果点E到A，B，C，D四点的距离相等，那么点E一定在直线AG上，且EB=a. 如果点E在线段AG上或线段GA的延长线上，那么在Rt△EBG中，EG=■=■a，AG=■a，此时A，E重合. 如果点E在线段AG的延长线上，此时EG=■a，EA=■a≠a.
综上所述可得，正整数n的取值至多是4.
商榷 建议把选项A、B中的“至多”均改为“最多”. 中国社会科学院语言研究所词典编辑室编《现代汉语词典》（商务印书馆，2012年第6版）第1677页对“至少”的解释是“表示最小的限度”，所以“正整数n至多等于4”的意思是“正整数n≤4，但等号不一定能取到”，而在本题中“正整数n≤4，等号一定能取到”，所以改动后的表述更准确（不改动也无错误）.
而对于2014年高考上海卷理科第13题“某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________.”若不把其中的“至少”改为“最少”，则答案可填闭区间[0，0.2]中的任一个数，就不一定是参考答案“0.2”.
■ （2015年高考江苏卷第9题）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
解 ■. 设新的底面半径为r，得■π×52×4+π×22×8=■πr2×4+πr2×8 ，即■πr2=■π+32π，解得r=■.
商榷 一般来说，在橡皮泥的重新制作过程中，体积会变化（但质量不变），所以建议把题中的“若将它们重新制作”改述为“若将它们重新制作（假设重新制作的过程中，橡皮泥的体积不变）”.
■ （2015年高考陕西卷文科、理科第22题）如图4所示，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.
（1）证明：∠CBD=∠DBA；
（2）若AD=3DC，BC=■，求⊙O的直径.
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图4
解 （1）因为DE为⊙O的直径，得∠BED+∠EDB=90°. 又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB切⊙O于点B，得∠DBA=∠BED，所以∠CBD=∠DBA.
（2）由（1）知BD平分∠CBA，得■=■=3，又BC=■，从而AB=3■. 所以AC=■=4，得AD=3. 由切割线定理得AB2=AD·AE，即AE=■=6，所以DE=AE-AD=3，即⊙O的直径为3.
商榷 建议把该题及其解答中的“直径”改为“直径的长”.
■ （2015年高考陕西卷文科、理科第24题）已知关于x的不等式x+a （1）求实数a，b的值； （2）求■+■的最大值. 解 （1）由x+a （2）由柯西不等式，得■+■=■+■=■·■+■≤■=2■=4，当且仅当■=■，即t=1时等号成立，所以（■+ ■）max=4. 商榷 解第（2）问中的“t”是变量还是常量呢？题目没作交代. 若“t”是变量，则解答同上；若“t”是常量，则答案为“■+■”（因为■+■是常量）. 所以建议把该题第（2）问改述为： （2）求函数f（t）=■+■的最大值. ■ （2015年高考广东卷理科第17题）某工厂36名工人的年龄数据如表1： （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值■和方差s2； （3）36名工人中年龄在■-s与■+s之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？ 解 （1）依题意知，所抽取的样本编号是一个首项为2公差为4的等差数列，得其所有样本编号依次为2，6，10，14，18，22，26，30，34，所以对应样本的年龄数据依次为44，40，36，43，36，37，44，43，37. （2）由（1）可得■=40，s2=■. （3）由（2）知，s=■，所以■-s=36■，■+s=43■. 因为年龄在■-s与■+s之间的共有23人，所以其所占的百分比是■≈63.89%（精确到0.01%）.
商榷 解答第（3）问时，必须要知道■与s的值，而在大前提及第（3）问的题设中均找不到，考生（也包括所有的答题者）在万般无赖的情形下，只有在第（1）问或第（2）问中找出这两个数据：果真在第（2）问中找到了！而后也做出了所谓正确的解答，也得出了理想的分数.
这好像就是出题者的意思. 但这是不对的，也是完全错误的！可把此题第（3）问改述为：
（3）36名工人中年龄在■-s与■+s（■，s的值见第（2）问）之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？
2011年高考广东卷理科第17题及2010年高考安徽卷理科第19题也都存在这种错误■.
■ （2015年高考广东卷文科、理科第20题）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.
（1）求圆C1的圆心坐标.
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.
解 （1）因为圆C1的方程即（x-3）2+y2=4，所以圆C1的圆心坐标是（3，0）.
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图5
（2）设线段AB的中点为M（x，y），可得C1M⊥AB即C1M⊥OM.
得点M在以OC为直径的圆x2+y2-3x=0上.
又点M在圆C1内，解方程组x2+y2-3x=0，（x-3）2+y2=4，得两圆的交点为■，±■■，进而可得所求轨迹C的方程为x2+y2-3x=0x>■.
（3）存在实数k满足题意.
如图5所示，曲线C是以C■，0为圆心、■为半径的圆弧■（不包括端点），且E■，■■，F■，-■■.
当直线L：y=k（x-4）与曲线C相切时，得■=■，k=±■.
又直线L：y=k（x-4）过定点D（4，0），所以k■=-k■=■= -■■.
再结合图5可得，当且仅当k的取值范围是-■■，■■∪-■，■时，直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点.
注：本题源于普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《选修2-1》）第37页习题2.1的A组第4题：过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
与《选修2-1》配套使用的《教师教学用书》（人民教育出版社，2007年第2版）第11页给出的《选修2-1》第40页给出的答案是“x2+y2-3x=0，■≤x≤3”. 笔者认为，由“弦AB”知点A，B不能重合，所以答案应当是“x2+y2-3x=0，■
商榷 应注意交点与切点是有区别的■：直线与圆相交时的公共点叫做交点，直线与圆相切时的公共点叫做切点，交点和切点统称为公共点. 所以建议把题10（即2015年高考广东卷文科、理科第20题）第（3）问中的“交点”改为“公共点”（改动后答案不变；若不改动，则答案为：当且仅当k的取值范围是-■■，■■时，直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点）. ■
