从一例看“消参数”技巧的把握

引入、设立参数，并利用参数解题是我们常用的解决数学问题方法，特别是在解析几何问题中，此方法被经常提及，这种方法使得数学中一些动态几何问题的解决变得简单、容易了. 而参数的设立、引入往往不是难点，参数的退却、消去才是解题的难点.

根据笔者学习数学的经验，在数学解题过程中，参数消去主要是在两个时间节点上；其一，是在解题过程的中途，此时若在一个关系式中，参数t比较容易与x、y分离出来，即可以用变量x、y表示出来，得到t=h（x，y）形式，然后把它代入另一个含有x、y、t的关系式中的t，经过同解变形化简，就达到了消去参数t的目的；其二，是在解题的后半部，在上一参数与变量分离的方法很难实现的时候，只得把x、y表示成规范的参数方程形式，即x=f■（t），y=f■（t），此时，按照一般的消元方法（如加减消元法、代入消元法、公式消元法等）处理.

两者选谁，孰好孰差？很难定论，关键看题目内容、解题过程；不过，大多数的试题，它的消元方法是单一的，只能选取一种方法（大多是后一方法），选取另一个方法，就会走不通.

不管怎么样，参数进入与退却，都要注意参数以及变量的取值范围是不能变的.

为此，笔者以对下面的试题解答过程中如何消去参数为例，把这种深刻体会写出来供读者阅读、思考，来获得一个正确的解题认知.

■ （2013年安徽理18）设椭圆E：■+■=1的焦点在x轴上.

（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的标准方程；

（2）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某条定直线上.

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图1

分析 （1）椭圆E的标准方程是■x2+■y2=1.

（2）设P（x0，y0），由题意可以给出F1（-■，0），F2（■，0），则PF2的直线方程为y=■（x-■），得Q0，■. 由F1P⊥F1Q得■·■=-1，即y■■=x■■-（2a2-1）.

当a■

方法一：化为规范的参数方程形式. 直接将y■■=x■■-（2a2-1）代入方程■+■=1得x0=a2，y■=1-a2，消去a2得点P在x0+y0=1的定直线上，其实，就在不包括端点的线段x0+y0=1x0∈■，1上.

方法二：不化为规范的参数方程形式，而是直接去消参数a2，即直接由y■■=x■■-（2a2-1）得a2=■代入方程■+■=1中的a2，化简得x■■-2x■■y■■+y■■-2（x■■+y■■）+1=0；

这是一个一般的老师、学生很难进行因式分解的式子，解题就会进入一个去向不明、岔口多甚至是死的胡同. 考试花了时间，也难能有结果.

其实，上式可以凑项为（x■■-y■■）2-2（x■■-y■■）+1=4y■■，再分解为（x0+y0-1）·（x0+y0+1）（x0-y0-1）（x0-y0+1）=0. 结合题意条件，有x0、y0∈（0，1），上式只能推出x0+y0-1=0，即得点P在x0+y0=1的定直线上，准确地说就在不包括端点的线段x0+y0=1x0∈■，1上.

解后反思 上面两种消参数方法，显然方法二从消去参数角度来说相对简单一点；客观上，这种方法在平时也经常用，主观上来说，该试题确实存在一个诱惑人这样做的地方：在由y■■=x■■-（2a2-1）容易得a2=■，能很快速进入消元的状态.当然，消去参数后，对方程（x■■-y■■）2-2（x■■-y■■）+1=4y■■进行同解变形化简却是个难点，也是一般采用方法二所要碰到的问题.

由此题的两个解题过程的深刻体验，消去参数的过程应该根据题设条件、解题过程、含参形式等灵活把握，准确选择，一路不通，就走另一路. ■