直线、平面垂直的判定与性质2

王建华

直线与平面垂直的判定与性质，一直是高考考查的重点. 纵观近几年各省市的高考试题，以锥体、柱体为载体的线面垂直关系的论证是每年必考的内容，主要以解答题的形式出现，重点考查空间想象能力、计算能力、推理论证能力以及转化思想的应用能力. 有时，还会以选择题或填空题的形式重点考查对垂直相关概念和定理的正确理解.

重点难点

本部分内容包括线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质.

重点：（1）理解线面垂直的定义，掌握线面垂直的判定定理和性质定理，掌握面面垂直的判定定理和性质定理；（2）能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.

难点：掌握线线垂直、线面垂直和面面垂直这三种垂直关系的相互转化.

方法突破

一、一种关系——垂直问题的转化关系

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垂直关系证明的基本思想是转化，即由线线垂直得线面垂直（线面垂直的判定定理），由线面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得线面垂直（面面垂直的性质定理），由线面垂直得线线垂直（线面垂直的定义）. 垂直关系的证明就是在这些性质定理和判定定理的使用中，将各种垂直关系不断进行转化.在处理实际问题的过程中，我们常常需要先从题设条件入手，明确已有的垂直关系，再从结论分析待证的垂直条件，从而搭建起已知与未知之间的“桥梁”.

二、三类证法

1. 证明线线垂直的方法

（1）定义：两条直线所成的角为90°.

（2）平面几何中证明线线垂直的方法：如勾股定理、三角形全等、直线斜率的乘积为-1等.

（3）线面垂直的性质：a⊥α，b？奂α？圯a⊥b.

（4）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α？圯a⊥b.

2. 证明线面垂直的方法

（1）定义：a与α内任何直线都垂直？圯a⊥α.

（2）线面垂直的判定定理1：m，n？奂α，m∩n=A，l⊥m，l⊥n？圯l⊥α.

（3）线面垂直的判定定理2：a∥b，a⊥α？圯b⊥α.

（4）面面平行的性质：α∥β，a⊥α？圯a⊥β.

（5）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β=l，a？奂α，a⊥l？圯a⊥β.

3. 证明面面垂直的方法

（1）定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角.

（2）面面垂直的判定定理：a？奂α，a⊥β？圯α⊥β.

典例精讲

■ 对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题：

①若m∥α，m⊥n，则n⊥α？摇；

②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；

③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；

④若m⊥α，m∥n，n？奂β，则α⊥β.

？摇其中真命题的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

破解 画一个正方体作为模型（如图1），设底面ABCD为α.

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图1

当A1B1=m，B1C1=n，显然符合①的条件，但结论不成立；

当A1A=m，AC=n，显然符合②的条件，但结论不成立；

与底面ABCD相邻三个面可以两两垂直，但任何两个都不平行，所以③不正确；

由面面垂直的判定定理可知，④是正确的.

只有④正确，故选A.

■ 如图2，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）平面BEF⊥平面PCD.

■

图2

思索 （1）面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直. 本题中由平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD以及PA⊥AD可推出PA⊥底面ABCD.

（2）证明面面垂直，应先转化为证明线面垂直，再把证明线面垂直转化为证明线线垂直. 若由已知条件所得的其他线面垂直的结论，常常利用其性质辅助证明线线垂直.如第（1）问的结论就对第（2）问的证明起辅助作用.

破解 （1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA？奂平面PAD且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB⊥AD，而且易知四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由（1）知PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又BE⊥CD，BE∩EF=E，所以CD⊥平面BEF. 又CD？奂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

■ 如图3甲，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图3乙.

■

图3

（1）求证：DE∥平面A1CB；

（2）求证：A1F⊥BE；

（3）线段A■1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.

思索 证明空间中的线线垂直可转化为证明线面垂直. 考查直线与平面平行、直线与平面垂直关系的相互转化，考查空间想象能力和推理论证能力.

破解 （1）略.

（2）由已知得AC⊥BC，且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A■■D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A1F. 又A■1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A■1F⊥BE.endprint

（3）线段A1B上存在点Q，可使A1C⊥平面DEQ. 理由如下：如图4，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP.

由（2）知，DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A■1C，又P 是等腰三角形DA■1C底边A■1C的中点，所以A■1C⊥DP. 因为DE∩DP=D，所以A■1C⊥平面DEP，从而A■1C⊥平面DEQ. 故线段A■1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.

变式练习

1. 已知下列命题（其中a，b为直线，α为平面）：

①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；

②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；

③若a∥α，b⊥α，则a⊥b；

④若a⊥b，则过b有且只有一个平面与a垂直.

上述四个命题中，真命题是（ ）

A. ①② B. ②③

C. ②④ D. ③④

2. 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）

A. l1⊥l4？摇 B. l1∥l4？摇

C. l1与l4既不垂直也不平行

D. l1与l4的位置关系不确定

3. 如图5，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1.

■

图5

（1）求证：BC⊥AF；

（2）试判断直线AF与平面EBC是否垂直，若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.

4. 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2■，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=■.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积.

■

图6

参考答案：

1. D

2. D

3.？摇（1）因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF.因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC. 由已知可得AB⊥BC且EA∩AB=A，所以BC⊥平面EABF. 又AF？奂平面EABF，所以BC⊥AF.

（2）直线AF垂直于平面EBC. 证明如下：由（1）可知，AF⊥BC. 在四边形ABFE中，AB=4，AE=2，EF=1，∠BAE=∠AEF=90°，所以tan∠EBA=tan∠FAE=■，故∠EBA=∠FAE. 设AF∩BE=P，因为∠PAE+∠PAB=90°，故∠PBA+∠PAB=90°，则∠APB=90°，即EB⊥AF. 又因为EB∩BC=B，所以AF⊥平面EBC.

4. （1）因为BC=CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB=∠ACD，故BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD. 从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.

（2）三棱锥P-BCD的底面BCD的面积S△BCD=■BC·CD·sin∠BCD=■×2×2sin■π=■. 由PA⊥底面ABCD，得VP-BCD=■S△BCD·PA=■×■×2■=2. 由PF=7FC，得三棱锥F-BCD的高为■PA. 故VF-BCD=■·S△BCD·■PA=■×■×■×2■=■. 故VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2-■=■. ■endprint