动静转换策略在高中数学解题中的应用

姜有东

（大连市第25中学，辽宁 大连 116113）

在以往的数学教学方式中，没有将培养学生的思维能力作为教学的重点。但是课程改革之后，教学要求将提升学生的思维能力作为教学目标。在高中数学当中，使用动静转换的思想，可以对题目的本质有清晰的把握，能对题意进行较深层的挖掘。

一、动静转换策略的特点

其可以用在多种类型题目的解决之中，能直接将思路转化成具体的解题方法，在一些具体问题的求解中发挥重要作用，和其他解题方式相比，其具备从整体性解决的优势。动静转换策略是抽象和具象方式结合的阶梯方式，可以被当成解题方法，也可以被用作寻找阶梯思路的技巧。这些策略本身可以被当做一些策略的结合，可以很快地找出科学的阶梯方法，而且解题的尝试次数非常之少，有效地提升了解题效率。

二、动静转换策略在高中数学解题中具体应用

1.以静制动

运动与静止都有一定的相对性，一个运动的物体M相对于静止的N而言，也可以当做N静止M运动，比如台风的中心处于平静状态，处于运动的事物其中一部分也会处于相对平稳的状态，可以寻找这些变化中不变的规律，以此入手作为解题的切入点，常常会找意料之外的解题方法。比如，小明在湖里游水，身上携带的玩具在C处掉落，逆流游了30分钟之后才发现玩具已经掉落，随后回头寻找，最终在C处下游的3千米的D处找到玩具，求湖水流速。经过分析之后，可以将湖水的流速设定为x千米/小时，小明的游泳速度是y千米/小时，小明向上游游动了30分钟，则游动的距离是（y−x）千米，游泳回去的距离是[（y−x）+3]千米，往回游动到找到玩具所花费的时间是小时，将水壶飘动的时间当做等量关系，可以得到等式，对方程进行求解，最终求得方程的结果x=3千米每小时。但是，在使用这种方式进行求解的过程中，会出现比较繁复的求解过程，并没有体现出动和静之间的转换。经过总结之后，认为可以利用动静转换的策略解答此题。首先先通过想象架设湖水是静止的，小明游了30分钟之后才发现玩具丢失，于是转身沿着原来的轨迹向回游去，由于水是静止的，因此玩具还应该停留在被丢失的原处，小明回到玩具丢失的地方依旧需要30分钟的时间，这样来往总共花费了60分钟的时间，也就是正好1个小时的时间。然后再以运动的方式思考问题，由于玩具处于运动状态，随着湖水的流动已经移动了3千米的距离，这3千米的距离一共花费了60分钟，因此可以求出玩具移动的速度是3÷1=3千米/小时。得到的结果和上述传统方法得到的结果一样，说明计算方式无误。实际上，使用动静转换策略主要将分析重点集中在动和静的转换上，并不局限于某个场景，也可以想象这件事发生在一列快速行驶的列车上，在其中一节车厢丢了东西，然后走了一段时间之后发现东西丢失，然后转回头去寻找。

2.静中寻动

如果一个物体已经静止，那么其在静止之前的运动情况和运动到某个非常特殊点的信息就非常重要，这种思考方式让静止状态的物体具备的运动的意义。在高中数学题目之中，一些题目之中会出现很多参数，这样按照传统方式计算起来非常麻烦，也容易在计算中造成失误。因此，在实际解题的过程中，可以利用思维想象几个参数处于运动状态，从而产生新的变量，寻找到解题的切入点。比如，已经知晓 e、f、g、E、F、G都是正数，并且E+e=F+f=G+g=m，证明Ee+Ff+Gg＜m2.使用以往的解题方式可以得出如下证明过程：不妨设 A＞B＞C＞0,c＞b＞a＞0,

于是由排序不等式及均值不等式得Ee+Ff+Gf≤Ee+Ff+Gg≤(E+e)2/4+(F+f)2/4+ (G+g)2/4=(3/4)m2＜m2，(注 : 以 上 最 后 一 步 不 能 取 等 号)∴Ee+Ff+Gg＜m2。这种方式明显过于繁复，步骤过多，可以考虑使用动静转换的方式的进行解答，根据已知条件进行转换，可以得出e-m+E=0，也就是ex2-mx+E=0，得到的根为1，=m2-4eE≥0，能得出4eE≤m2，同理可以推出 4fF≤m2，4gG≤m2，也就相应地得到 Ee+Ff+Gg≤3/4m2＜m2，这样的推理明显节省了计算步骤，而且让人的思维更加地灵活。

3.动中求静

事物的运动和静止都有相对性，特殊情况下静止会朝着运动转化，一些数学问题在静止的情况也可以按照计算方式计算出结果，但是整个过程过于繁琐，这个时候转换一下思路，以动态的方式思考问题，就可在运动状态中的特殊情况考虑求解，很多问题就可以在这种情况下得到解决。比如，在正方体ABCD-A1B1C1D1当中，O是底面ABCD的中心，M则是A1B1上的一个点，N则是DD1的中点，求出OM和AN之间的夹角。

如果使用常规方式结题思路如下：

∵A1B1⊥面 ADD1A1，AN 面 ADD1A1，

∴A1B1⊥AN.

设面A1B1O和面ADD1A1相交于A1S，面A1B1O与面BCC1B1的交线为B1H，则S、H就是AD和BC的中点，

∴AN⊥A1S.

∵A1S∩A1B1=A1，∴AN⊥面 A1SHB1，

∵OM 面A1SHB1，∴AN⊥OM.

∴线OM与直线AN所成的角是直角，也就是90°

因此答案是：90°

但是对以上是结题方法进行分析可知，整个解题过程不仅需要依靠已知条件，还需要通过思考补充一些引申条件，使得整个解题过程较为繁复，花费较长的解答时间，影响答题效率，因此可以考虑动静转换的方式进行解答。具体如下：由于OM线段处于运动状态，其长度一直处于变化之中，解答三角形问题经常用到的余弦定理在这里也就失效了，可以考虑将动态的线段转化为静态，可以直接将OM看成AA1D1D上面的一条固定的斜线，A1S就是面AA1D1D的射影，由于AN和A1S呈现出直角的关系，这个时候参照三垂线定理的内容，即可以判定OM和AN之前是垂直关系，两者之间的夹角也就是90°。这种将动态线段转换成静态固定线段的结题方式，让原本复杂的问题简单化，而且求解过程并不影响结果的准确性，整个求解过程依然符合数学原理，是遇到复杂运动类数学问题的有效解题手段。

总结

动静转换策略具有很强的目的性，并没有细致地遵循逻辑规则，很多情况下都会出现跳跃性，在实际使用过程中常常会将学生的学习经验和主观判断作为解题的参考，通过方式的选用对习题从整体上进行思考。教师要注重培养学生的动静转换能力增强学生的思维能力。

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