一类特殊的Volterra型积分方程的解的存在性
2016-01-13叶陆红杨海洋
叶陆红, 杨海洋
(安庆师范学院 数学与计算科学学院,安徽 安庆 246133)
一类特殊的Volterra型积分方程的解的存在性
叶陆红, 杨海洋
(安庆师范学院 数学与计算科学学院,安徽 安庆 246133)
摘要:本文主要应用压缩映像原理讨论了一类特殊的Volterra型积分方程的解的存在性问题,获得解的存在性条件,并举例说明了其应用。
关键词:积分方程;解;不动点;映射
积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程,数学、自然科学和工程技术领域中的许多问题都可以归结为积分方程问题。积分方程理论的发展,始终与数学物理问题的研究紧密相连,它在工程、力学等方面有着极其广泛的应用。
“积分方程”一词是雷蒙德于1888年首先提出的。19世纪的最后两年,瑞典数学家弗雷德霍姆和意大利数学家V.沃尔泰拉开创了研究线性积分方程理论的先河。从此,积分方程理论逐渐发展成为数学的一个分支。 1899年,弗雷德霍姆在给他的老师米塔-列夫勒的信中,提出如下的方程
1900年,弗雷德霍姆在其论文中把上方程称为“积分方程”,形如
和
的积分方程,依次称为第一种沃尔泰拉积分方程和第二种沃尔泰拉积分方程。它与弗雷德霍姆积分方程的不同之处,仅在于它的积分上限是变量x,且σ≤y≤x≤b,此处σ,b是常量。沃尔泰拉积分方程可视为弗雷德霍姆积分方程的核K(x,y)当y>x时为零的情形。最早被研究的一个带弱奇性核的沃尔泰拉积分方程,是阿贝尔方程,它是N.H.阿贝尔于1823年在求一个质点的落体运动轨迹与时间的关系中得到的。
随着计算技术的发展,作为工程计算的重要基础之一,积分方程进一步得到了广泛而有效地应用。如今物理问题变得越来越复杂,积分方程变得越来越有用。 它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如,对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成,对一般线性算子理论的创立,以至于对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。
解的存在性理论是常微分方程最基本和最重要的理论之一,它一般通过构造逐步逼近函数序列来说明其解的存在性。本文主要应用压缩映像原理来讨论积分方程
(1)
的解的存在性问题,其中f(x)在[a,b]上连续,K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的连续函数,λ为常数。
定义1[1]设R是按距离ρ的度量空间,A是R到自身的一个映照,若存在α∈[0,1)使对一切x,y∈R有ρ(Ax,Ay)≤αρ(x,y),则称A是R上的一个压缩映照。
定义2[1]设A是R到自身的一个映照,若x∈R使Ax=x,则x是A的一个不动点。
引理1[1]在完备的度量空间中的压缩映照必有唯一的不动点。
引理2[1]设度量空间R完备,B是R到R的映照,若存在一个自然数n,使Bn是R上的一个压缩映照,则B在R中必有唯一的不动点。
定理设f(x)在[a,b]上连续,K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的连续函数,若|λ|足够小,则方程(1)存在唯一的连续解。
证明构造C[a,b]到C[a,b]映射:
B∶φ∈C[a,b]→Bφ∈C[a,b]
其中f(x)在[a,b]上连续,K(x,ξ)是a≤x≤b,a≤ξ≤b上的连续,故有界,即存在正的常数M使|K(x,ξ)|≤M。
∀φ1(x),φ2(x)∈C[a,b],当x∈[a,b],有:
|Bφ1(x)-Bφ2(x)|=
|λ|M(b-a)‖φ1-φ2‖
下面利用归纳法证明:当x∈[a,b]时,有
当n=1显然成立。设上式对n成立,下面证明对于n+1也成立。
事实上,
|Bn+1φ1(x)-Bn+1φ2(x)|=
取自然数n使:
则
α‖φ1-φ2‖
由引理知,方程(1)在C[a,b]中必有唯一解。
注方程(1)解的存在性还可以通过构造逐步逼近函数序列
来证明。
下面举例说明以上定理的应用。
例讨论积分方程
(2)
的解的存在性,其中y(t)∈C[0,1],λ为常数,|λ|<1。
分析此方程等价于:
z(t)=e-tx(t),ξ(t)=e-ty(t)
令
则
即T是压缩映射,压缩常数|λ|<1,因而T有唯一的不动点,即积分方程
在C[0,1]上有唯一的不动点,因此原方程在C[0,1]上有唯一解。
下面介绍用逐步逼近法求解方程的过程。
定义C[0,1]上映射:
取k(t,s)=et-s,φ0=0,φn=Knφ0,则有
φ1(t)=y(t)
一般地有
所以,kn(t,s)由递推关系确定:
k1(t,s)=k(t,s),
函数列{φn(t)}是[0,1]上的连续函数,并且在[0,1]上均匀收敛于φ*(t),故对给定正数ε只要取n使
有
即积分方程的第n次逼近解φn的误差小于ε。
参考文献:
[1] 夏道行.实变函数与泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2010:68-77.
[2] 张恭庆.泛函分析讲义[M]. 北京:北京大学出版社,2003: 10 .
[3] 东北师大数学系.常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社,2005:78-90.
[4] 王高雄.常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社,2006:75-89.
[5] 张海,舒阿秀.Banach不动点定理的注记及应用[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2005,16(4):97-100 .
Existence of Solutions for a Class of Special Volterra Integral Equations
YE Lu-hong, YANG Hai-yang
(School of Mathematics and Compution Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)
Abstract:By means of contraction mapping principle, we discuss the existence of solutions for a class of special Volterra integral equations, and obtain the existence conditions of solutions, and give an example to illustrate its application.
Key words:integral equations, solutions, fixed point, mapping
文章编号:1007-4260(2015)02-0007-03
中图分类号:O175
文献标识码:A
作者简介:叶陆红,女,安徽潜山人,硕士,安庆师范学院数学与计算科学学院讲师,研究方向为微分方程理论及其应用。
基金项目:安庆师范学院青年科研 (KJ201107),安徽省高等学校省级教学研究项目(2012jyxm364)和安徽省高校自然科学研究一般项目(AQKJ2014B010)。
收稿日期:2014-08-28