基于运动学基础知识的多普勒效应公式推导

基于运动学基础知识的多普勒效应公式推导*

黄海铭杨俊涛

(湖北汽车工业学院理学院湖北 十堰442002)

*湖北汽车工业学院“本科教学质量工程”研究项目，课题编号：JX201440，JX201441

摘 要：通过最基础的运动学知识，对机械波沿波源和观察者连线方向直线传播的多普勒效应公式进行了推导，所得结果与其他推导方法得到的结论一致，本推导方法所涉及的理论知识较为简单，显得浅显易懂.

关键词：多普勒效应波信号速度频率

作者简介：黄海铭(1978-)，男，副教授，主要从事磁性材料研究及物理教学.

收稿日期：(2014-12-25)

多普勒效应是指由于观察者(接收器)或波源，或二者同时相对于媒质运动，而使观察者接收到的波的频率与波源发出的频率不同的现象，这种现象在生活中可以被广泛地观察到.然而，目前使用的物理教材和参考资料中，对多普勒效应结论公式的推导主要是从波数、相位的角度得到，作为初学者而言，要理解其推导过程，还有一定难度.本文将从最基础的运动学规律出发，建立一种更容易理解的多普勒效应结论公式的推导方法.

1推导过程

为了简单起见，本文主要讨论机械波沿着波源和观察者连线直线传播的情况.如图1(a)所示，设在t=0时刻，波源和观察者之间相距x，从t=0时刻开始波源和观察者之间有相对运动.波源所发出的波信号在静止媒质中的传播速度大小为u，波源和观察者相对静止媒质运动的速度大小分别为vs和vo，波源发出波信号的周期和频率分别为T和f.下面以波源和观察者沿同向运动为例作推导.

如图1(b)所示，假设在t=tn时刻，波源发出第n个波信号，在0～tn时间内，波源运动的距离为vstn，观察者运动的距离为votn.从tn时刻波源发出第n个波信号开始到观察者接收到第n个波信号的时间间隔为

(1)

图1　波源和观察者在一条直线上运动

同样如图1(c)所示，假设在t=tn+1时刻，波源发出第n+1个波信号，在0～tn+1时间内，波源运动的距离为vstn+1，观察者运动的距离为votn+1.从tn+1时刻波源发出第n+1个波信号开始到观察者接收到第n+1个波信号的时间间隔为

(2)

以t=0时刻为参考，观察者接收到第n+1个波信号和第n个波信号的时间间隔T′为

T′=(tn+1+Δt2)-(tn+Δt1)

(3)

因为tn+1-tn=T，将式(1)和式(2)代入式(3)并整理得到

(4)

于是观察者接收到波信号的频率f′为

(5)

以上是以波源和观察者同向运动为例得到的多普勒效应公式，如果定义vow=u-vo为波信号相对于观察者的速度大小，vsw=u-vs为波信号相对于波源的速度大小，式(5)的结论对在波源和观察者连线情形下直线传播的其他多普勒效应也适用.

2结果讨论

在实际中，有可能出现波源或观察者静止时的多普勒效应，下面结合式(5)对这种情形作以下讨论：

(1)波源静止，观察者向着波源方向运动，此时有

vs=0vow=u+vovsw=u

(2)波源静止，观察者远离波源方向运动,此时有

vs=0vow=u-vovsw=u

(3)观察者静止，波源向着观察者方向运动,此时有

vo=0vow=uvsw=u-vs

(4)观察者静止，波源远离观察者方向运动,此时有

vo=0vow=uvsw=u+vs

3结束语

本文采用较为简单的运动学基础知识，对波信号沿着波源和观察者连线直线传播时的多普勒效应公式进行了推导，结论与其他方法得到的结论一致.但整个推导过程并不包含对初学者而言难以理解的波数、相位等概念，使得其推导过程更易于为读者所理解和掌握.

参 考 文 献

1张秀梅. 多普勒效应公式的一种新的推导方法. 锦州医学院学报, 2001 (2): 70～71

2黄伟, 陆天明. 巧推经典和相对论多普勒效应公式. 物理通报, 2010 (7): 95

3周美建. 浅谈多普勒效应. 物理教学, 2010 (12):16～18