微尺度输流管道考虑热效应的流固耦合振动分析

第一作者梁峰男，博士，讲师，1979年8月生

微尺度输流管道考虑热效应的流固耦合振动分析

梁峰，包日东

(沈阳化工大学能源与动力工程学院，沈阳110142)

摘要：研究热环境中输送微流体的微尺度管道流固耦合振动问题。根据线性热弹性理论建立系统振动控制方程，并利用复模态法对其进行求解，得到了系统的固有频率和屈曲失稳临界流速，讨论了温度变化、微尺度效应及管道壁厚对系统振动特性的影响。研究结果表明：提高环境温度会降低系统的固有频率和临界流速；管道和流体的微尺度效应分别会使临界流速升高和降低，但微流体的这种影响会随着温度的升高而逐渐减弱并最终消失；管壁较薄(外径接近微尺度特征尺寸)时，壁厚的变化对固有频率的影响很大，而管壁较厚时，温度变化对固有频率的影响更为明显。

关键词：微尺度输流管道；流固耦合；热效应；温度；尺度效应

基金项目：国家自然科学基金(51275315)；辽宁省教育厅科研项目(L2013160)

收稿日期：2014-01-08修改稿收到日期：2014-03-12

中图分类号:O326文献标志码：A

Fluid-structure interaction of microtubes conveying fluid considering thermal effect

LIANGFeng，BAORi-dong(School of Energy and Power Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China)

Abstract:The fluid-structure interaction (FSI) properties of microtubes conveying micro-flow in temperature field were investigated. The governing equation of the system was established based on the linear thermoelastic theory and then solved by using the complex mode method. The natural frequencies and critical flow velocities for buckling instability of the system were obtained and the influences of temperature variation, micro size effect and tube thickness on the vibration characteristics were discussed. The results showed that increasing temperature decreases the natural frequencies and critical flow velocities; the size effect of microtube can increase the critical flow velocities, while the size effect of micro-flow decreases them, moreover, the size effect of micro-flow declines and even disappears with increase in temperatures; the variation of tube thickness greatly affects the natural frequencies when the thickness is smaller (the outer diameter of tube is close to the characteristic length of micro-structures), however temperature variation has dominant effect on the natural frequencies when the thickness is larger.

Key words:microtube conveying fluid; fluid-structure interaction; thermal effect; temperature; size effect

由于输流管道在工农业生产和国防科技中的广泛应用，人们在20世纪中期就开始对其流固耦合动力学特性进行研究[1-2]。而近年来，随着微电子技术和纳米科技的迅速发展，人们越来越关注微米级和纳米级载流结构的物理、化学和力学特性。在微机电系统(Micro-Electronic-Mechanical Systems，MEMS)中，微尺度输流管道常被用来制作微反应器、微传感器和一些储流和载流装置[3-4]，其振动稳定性直接决定着微装置乃至整个MEMS的稳定性。因此，深入研究微尺度输流管道的力学特性具有重要的工程实际意义。

作为一种流固耦合系统，流体流动诱发的振动仍是微尺度输流管道失稳的主要原因。但是，由于管道的几何尺寸已在微米级范围(一般为1~100 μm[5])，其刚度和固有频率等力学性能会因微尺度效应的出现而发生独特的变化。一些学者已在实验中观察到这种现象[6-8]。因此，直接将适用于大尺度流固耦合系统的经典连续介质力学理论用来分析微尺度管道的振动特性则可能出现大问题。如，Païdoussis等[9]和Rinaldi等[5]利用经典连续介质力学理论研究了微米输流管道的稳定性和分岔问题，但却无法分析微米尺度效应对系统振动稳定性的影响。鉴于此，Wang等[10]和Yin等[11]利用微尺度欧拉梁模型研究了微尺度效应对微米输流管道振动特性的影响，发现微尺度效应会增大管道的固有频率和临界流速。Xia等[12]利用微尺度Timoshenko梁模型对微米管道进行了振动分析，发现微尺度效应和泊松比对其振动稳定性影响很大。Wang等[13]在以上分析的基础上考虑了内部微流体的状况，对不同截面形状的微米管道及曲管的振动特性进行分析。Yang等[3]则研究了微尺度输流管道的非线性振动问题，发现管道非线性固有频率会随着管道外径的增大而降低，但其值始终大于线性固有频率。

由于微尺度效应的作用，微尺度输流管道会对周围环境的温度变化有特殊的反应，而其又常常工作在各种温度环境中，因此深入研究热效应对微尺度输流管道动力学特性的影响具有重要意义。从目前的研究成果来看，对大尺度管道和纳米管的热弹性振动问题的研究比较多见，如，Qian等[14]利用线性和非线性热弹性理论分析了热载荷作用下简支输流管道的振动稳定性问题。Chang等[15-16]分别研究了弹性介质中输流单壁和双壁碳纳米管的热弹性振动问题。Ansari等[17]则对输流单壁碳纳米管的考虑热效应的非线性振动问题进行了研究。但对于微尺度输流管道考虑热效应的振动稳定性问题还鲜有研究。鉴此，根据线性热弹性理论，利用复模态法计算输送微流体的微尺度管道系统的固有频率和屈曲失稳临界流速，并详细讨论温度变化、微尺度效应及管道壁厚对系统振动稳定性的影响。

1系统力学模型和控制方程

两端固定输送微流体的微尺度管道力学模型见图1。假定管道只发生横向面内振动y(x,t)，x轴为管道轴线，t为时间变量，U为管内流速。根据修正的耦应力理论[10]及微流体的流速形态[13]，由牛顿法可推导出无热效应时该管道横向振动的控制方程[13]：

(1)

式中：E、I、G、A、m分别为管道的杨氏模量、截面惯性矩、剪切模量、横截面积、单位长度的质量，l为表征管道微尺度效应的参数[7]；M为管内流体单位长度的质量，f为表征流体微尺度效应的参数[13]。对于热环境中的微尺度管道，根据线性热弹性理论[14]可得到由温度变化引起的反力为：

Nt=-Pt(∂2y/∂x2)

(2)

式中：Pt=-EAαT，α为轴向热膨胀系数，T为相对室温的温度增量。将式(2)代入式(1)中可得到考虑热效应的微尺度管道的控制方程为：

(3)

图1　微尺度输流管道的力学模型 Fig.1 Mechanical model of microtubes conveying fluid

在方程(3)中，若l=Pt=0，f=1，则方程(3)退化为经典的欧拉梁模型管道的控制方程。

定义如下无量纲变量和参数：

(4)

式中:L为管道两支承端之间的长度。将式(4)代入式(3)可得到无量纲形式的控制方程：

(5)

式中()′和(·)分别表示∂()/∂ξ和∂()/∂τ。

2复模态法求解

设方程(5)的第n阶解为复数形式：

ηn(ξ,τ)=φn(ξ)eiωnτ

(6)

式中:ωn和φn(ξ)分别为第n阶固有频率和相应的振型函数，i为虚数单位。将式(6)代入方程(5)中可得到：

(7)

两端固定的边界条件为：

(8)

方程(7)为4阶齐次常微分方程，设其解为：

φn(ξ)=C1n(eid1nξ +C2neid2nξ +C3neid3nξ +C4neid4nξ ) (9)

式中:djn,j=1, 2, 3, 4 满足下面的特征方程：

(10)

将式(8)代入式(9)中可得到关于C1n～C4n的线性方程组：

(11)

式(11)若存在非零解则系数矩阵行列式为零，由此条件及式(9) ~ 式(11)即可解出ωn和φn。

3结果分析

通过数值算例来分析温度环境中热效应对微尺度输流管道固有频率和临界流速的影响。算例中的管道以环氧树脂为材料，并采用以下几何和物理参数[13-14]：管道密度ρt=1.22 g/cm3，内径Di=15 μm，壁厚h=7.5 μm，长径比L/Do=100(Do为外径)，E=1.44 GPa，泊松比ν=0.38，α=1.1×10-5℃-1，内流密度ρw=1 g/cm3，流速U=10 m/s。管道微尺度特征尺寸l值可通过下式确定[7,10]：l=bh/[3(1-v)]0.5，式中bh为管道的高阶弯曲参数，其单位与长度单位一致，并由管道材料及管道的梁式结构可确定其值为：bh=24 μm，于是可计算出l=17.6 μm。圆截面流体微尺度参数f=4/3。

图2给出了温度环境中，不同温度增量T下微尺度输流管道系统无量纲第一阶固有频率ω1(最低共振频率)随流速的变化。图中，当u=0时，ω1为不同温度增量下空管的第一阶固有频率。而随着流速的增大，固有频率逐渐降低直至为零，此时系统将发生屈曲失稳(管道屈曲变形)，而此时的流速即为临界流速ucr。从图中可以看出，考虑热效应时管道的固有频率(对于一个给定的流速值)和临界流速要比不考虑热效应(T=0)时有所降低，而且，随着温度的升高，固有频率和临界流速都会降低。这说明提高环境温度会降低微尺度输流管道的屈曲稳定性。

图3利用不同模型分析了微尺度管道在输送不同尺度流体时其临界流速随温度的变化。由图3可知，随着温度的升高，各种模型的临界流速值均下降直至为零，但在相同温度下，实际微尺度管道(l=17.6 μm)的临界流速明显高于经典欧拉梁模型(l= 0)。对于经典模型，当温度增量约为28℃时，临界流速就降为零，此时管道已经失去载流能力，而实际微尺度管道该临界温度增量值约为75℃，接近经典模型的3倍。可见仍然用经典欧拉梁模型进行计算所引起的巨大误差。此外，图3中还反映出，对于实际微尺度管道，当内流为微流体(l=17.6 μm，f=4/3)时，在相同温度下其临界流速值要低于内流是大流体(l=17.6 μm，f=1)的情况，说明流体微尺度效应会降低系统稳定性。但微流体的这种影响会随着温度的升高而逐渐减弱，当T=75℃时，微流体的影响彻底消失。

图2 不同温度增量T下微尺度输流管道第一阶固有频率随流速的变化Fig.2VariationofthefirstnaturalfrequencyofmicrotubesconveyingfluidwithflowvelocityfordifferenttemperatureincrementT图3 不同模型微尺度输流管道临界流速随温度增量的变化Fig.3Variationofcriticalflowvelocityofmicrotubesconveyingfluidwithtemperatureincrementbyemployingdifferentmodels图4 不同温度增量T下微尺度输流管道第一阶固有频率随管道壁厚的变化Fig.4VariationofthefirstnaturalfrequencyofmicrotubesconveyingfluidwithtubethicknessfordifferenttemperatureincrementT

图4分析了保持管道内径(Di=15 μm)和长径比(L/Do=100)不变时管道壁厚和环境温度对输送微流体的微尺度管道第一阶固有频率的影响。由图4可知，在管道壁厚较小(h<20 μm)时，壁厚变化对固有频率有很大影响，管道固有频率会随着壁厚的增加迅速降低，而且，外径Do越接近微尺度特征尺寸(l=17.6 μm，即壁厚越接近1.3 μm)，固有频率变化越剧烈。这是管道微尺度效应作用的结果；而在壁厚较大(h>20 μm)时，随着壁厚的增大，外径越来越远离微尺度特征尺寸，壁厚变化对固有频率的影响越来越弱最后几乎可以忽略，此时温度的变化对固有频率的影响逐渐占据主导地位，而且壁厚越大温度越高，温度的影响越明显。这是由于管道的几何尺寸已经远离微尺度范围而逐渐接近大尺度，管道开始逐渐具有大尺度管道的特性。

4结论

应用线性热弹性理论分析了热环境中输送微流体的微尺度管道的流固耦合振动问题,得到以下结论：

(1)提高环境温度会降低系统的固有频率和临界流速，也即降低了系统屈曲稳定性。

(2)在相同的温度环境中，实际微尺度管道的临界流速要高于经典的欧拉梁模型管道。管道和流体的微尺度效应分别会使临界流速升高和降低，但流体微尺度效应的这种影响会随着温度的升高而逐渐减弱并最终消失。

(3)在其他条件一定的情况下，管壁厚度和环境温度的变化会间接地对系统固有频率产生一定的影响。

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