大学生物理竞赛试题赏析(Ⅳ)——波动与光学部分

大学生物理竞赛试题赏析(Ⅳ)
——波动与光学部分

刘家福张昌芳

(装甲兵工程学院物理室北京100072)

摘 要：本文首先对全国部分地区大学生物理竞赛中波动与光学试题所占的比例、各知识点的分布情况进行统计、分析，然后对波动与光学试题的解题方法、试题特点进行剖析，最后概括性地介绍旋转矢量法的应用.

关键词：大学生物理竞赛波动与光学试题《基本要求》旋转矢量法

收稿日期：(2014-06-20)

目前，国内每年举办的跨省市的以大学生为参赛对象的物理类竞赛，有全国部分地区大学生物理竞赛、全国大学生物理实验竞赛、全国大学生物理学术竞赛、军队院校大学生物理科技创新竞赛等.其中，由北京物理学会和北京高校物理教学研究会举办的全国部分地区大学生物理竞赛历史最为久远，规模不断壮大，之所以经久不衰，乃赖于其影响和意义[1,2].笔者10余年来始终关注该项赛事，搜集、研究了其所有试题.本文是笔者对历届波动与光学试题进行研究的总结，主要是对波动与光学试题进行统计、分析，并对试题的典型解题方法、特点进行剖析，希望能为日常教学、参赛选手的学习准备及竞赛辅导工作提供参考.

1波动与光学试题及其在竞赛中的占比

教育部教指委2010年编制发布的《理工科类大学物理课程教学基本要求》[3](以下简称《基本要求》)将大学物理课程内容分解为11个板块，“振动和波”、“光学”分别为其第2和第5板块.张三慧先生曾将这两个板块集于教材的一册出版[4]，取名《波动与光学》.本文借用此名，所分析的即是以振动、波动及光的现象、性质、规律为研究对象的试题.

基于同样的原因[2]，本文所采用的试题样本为非物理类A组试题，剔出了其中的实验题，而且将每一届的理论题总分数均折合为100分.

在表1中，我们列出了历届竞赛波动与光学试题的总分数.其中，“沪津”指1988年上海、天津两市的大学生物理竞赛；第2届竞赛中，有1道力学的题目和1道振动的题目二选做一，本文统计时我们选做了振动题目.

表1　历届大学生物理竞赛波动与光学试题的总分数统计

从表1的数据看，即使第2届不选做振动题而选做力学题，波动与光学试题的最高(第6届)、最低(第8届)占比相差也接近5倍，各届的占比忽上忽下，没有任何规律可循.全部31套试题中，波动与光学试题的平均占比为21.9%.《基本要求》建议《波动与光学》授课不少于28学时，而整个课程不少于126学时，竞赛中波动与光学试题的分数占比与《基本要求》建议的《波动与光学》学时占比相当.

2波动与光学试题各知识点的分布

《基本要求》将《波动与光学》内容分解为A，B两类(A类为核心内容，本科生学习大学物理课程应达到的最低要求；B类为扩展内容，体现加强基础教育，增强学生发展潜力)共36条.在31套试题中，有5条A类知识点(简谐运动的能量；一维简谐运动的合成、拍现象；惠更斯原理、波的衍射；光在球面上的反射和折射；薄透镜)和7条B类知识点(非线性振动简介；声波、超声波和次声波，声强级；显微镜、望远镜、照相机；晶体的X射线衍射；全息照相；光的双折射现象；光与物质的相互作用：吸收、散射和色散)没有直接考核.第6届考核了一个光波的多普勒效应问题(占2.8分，不在《基本要求》的范围内，不纳入统计).表2列出了其他各条内容在历届竞赛中所占比重的平均值.

表2《波动与光学》各知识点在竞赛试题中的平均占比

知识点类别平均占比/%简谐运动的基本特征和表述、振动的相位、旋转矢量法A0.54简谐运动的动力学方程A3.44阻尼振动、受迫振动和共振B0.87两个相互垂直、频率相同或为整数比的简谐运动合成B0.10机械波的基本特征、平面简谐波波函数A0.38波的能量、能流密度A0.11波的叠加、驻波、相位突变A0.76机械波的多普勒效应A0.69几何光学基本定律A0.13光在平面上的反射和折射A0.38光源、光的相干性A1.54光程、光程差的概念A0.49分波阵面干涉A1.25分振幅干涉A2.01迈克耳孙干涉仪B0.12

续表

统计发现，在历届试题中，“简谐运动的动力学方程”的平均占比最高(即使第2届不选做振动问题，也不影响这个知识点的“霸主”地位)，其他占比超过2%的依次是“偏振光的干涉和人工双折射”、“光栅衍射”和“分振幅干涉”.值得一提的是，《基本要求》将“偏振光的干涉”列为B类内容，而全部31套竞赛试题中竟然有13套考核了“偏振光的干涉”，与“简谐运动的动力学方程”试题出现的次数持平，竞赛在这里充分体现了《基本要求》所倡导的“增强学生发展潜力”的精神.

3简谐运动的地位及其基本方法

一个物体在平衡位置附近来回往复地做周期性运动，而且其相对平衡位置的位移随时间按余弦(或正弦)函数的规律变化，我们说这个物体在做简谐运动.在媒质中，做简谐运动的质元带动邻近的质元也做简谐运动，使得简谐运动模式传播出去，从而形成简谐机械波.机械波的干涉、衍射，在本质上都是简谐运动的叠加.在某一方向上，电场强度(磁场强度)随时间周期性地变化，形成电场强度(磁场强度)的振动；电场和磁场强度的振动传播出去，即形成电磁波.光波是电磁波，无论是光的干涉、衍射，还是偏振光的干涉，在本质上都是电场强度振动的叠加.因此，简谐运动在本文所讨论的内容范围内具有基础性的重要地位，这也是“简谐运动的动力学方程”这个知识点成为占比霸主的原因.

简谐运动系统的振幅和初相是随外界施以的初始运动条件而改变的，而角频率则决定于系统本身.分析简谐运动的角频率，有两种基本的方法.

【例1】如图1所示，倔强系数为κ的水平轻弹簧一端固定，另一端连接在质量为m的匀质圆柱体的轴上，圆柱可绕其轴在水平面上滚动.令圆柱体偏离其平衡位置，使该系统做简谐振动，设圆柱与地面之间无滑动，求系统的振动周期T[5].

图1

由于圆柱体受到的地面摩擦力未知，受力分析法在此题中无用武之地.考虑到圆柱体在地面上只滚不滑，其所受到的摩擦力不做功.将弹簧和圆柱体作为系统，没有外力做功，也没有非保守内力做功，系统的机械能守恒.所以，本题宜用能量法进行分析.

对于学生来说，“刚体”是他们在中学阶段没有接触到的概念，在学习刚体力学时比较吃力.本题中的圆柱体既有(中心轴的)平动，又有(绕中心轴的)转动，如何正确写出圆柱体的动能，是对大多数学生的一个挑战.本题既有这么一个难点，又考核了能量法的应用，具有一定的难度.

4波动与光学问题的特点

纵观30年的竞赛，大多数波动与光学试题都是纯理论性的，可以利用学习过程中所掌握的公式直接求解.但是，也有一些问题考核了学生对基本原理的领悟程度与分析、解决应用型问题的能力.

【例2】如图2所示，从远处声源发出的声波，波长为λ，垂直射到墙上，墙上有两个小孔A和B，彼此相距a=3λ.将一个探测器沿与墙垂直的AP直线移动，遇到两次极大，它们的位置Q1,Q2已定性地在图中示出，求Q1,Q2与A的距离[6].

图2

这个问题容易让人联想到杨氏双缝干涉，但又没有现成的公式可资利用.这就迫使我们去理解“探测器遇到极大”的含义.如果知道以下两点：(1)墙面是入射声波的一个波阵面，A和B是相位相等的两个子波源；(2)凡是与A，B的距离之差为λ的整数倍的点就是探测器遇到极大的点，这个问题就迎刃而解了.

【例3】如图3所示，波长为λ的两个相干的平行光束1和2分别以入射角θ,φ入射在屏幕面MN上，求屏幕上干涉条纹的间距[5].

图3

这个问题也没有现成的公式可以套用，会令那些学死知识的学生不知如何下手.其实，如果掌握了如下基本原理：(1)平行光束的波阵面是与光的传播方向垂直的平面；(2)两束相干光在相遇点的相位差为2π的整数倍时，产生干涉明条纹；(3)相邻的两条明条纹对应的相位差之差为2π(或-2π)，这个问题就成了简单的几何问题了.

以上两道试题要求学生根据最基本的原理分析、解决问题，而不能直接套用公式获得问题的答案.

波动与光学试题中，还有一些与生活、实践、工程技术紧密联系的题目，考核学生灵活、综合应用所学知识的能力，考查学生严谨认真科学态度的养成.

图4

【例4】如图4所示，标准声源发出频率ν0=250.0Hz的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，当在音叉的臂上粘一小块橡皮泥时，拍频将增加，则音叉的固有频率是多少？将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在L=0.34m和1.03m时产生相继的两次共鸣，求声波在空气中的传播速度[5].

这个问题的原题只是一个填空题，但它考核了几个方面的内容：“拍”的概念，粘橡皮泥对音叉固有频率的影响，声速的测量技术.其中，“拍”的概念在历届竞赛试题中仅此出现一次(尽管它属于《基本要求》的A类知识点)；这种测量声速的技术简单实用，后续的大学物理实验课程中很可能就有这个实验.根据本题的数据求声速，需要用到驻波的性质.然而，题目中根本没有出现“驻波”一词，能不能将驻波与本题联系起来，以及是不是掌握了驻波的性质，则是对学生能力的考核.

另外，如果音叉的固有频率是251.5Hz，粘上一块不是特别小的橡皮泥后，使得音叉的频率下降3Hz以上，拍频也增加了.这样会出现不同的测量结果.

关于多普勒效应的学习，教科书里大多讲的是波源、观察者(或二者之一)沿着他们的连线相对运动的情况，而很少涉及不是沿着连线相对运动的情况.

【例5】(第16届竞赛)飞机在空中以速度u=200m/s做水平飞行，它发出频率ν0=2 000Hz的声波，静止在地面上的观察者在飞机越过其上空时，测定飞机发出声波的频率，他在4s内测出的声波频率由ν1=2 400Hz降为ν2=1 600Hz，已知声波在空气中的速度v=300m/s，由此求飞机的飞行高度h[7].

这个问题中，飞机在空中飞行，其相对观察者运动的方向与声波向观察者传播的方向不同.分析这样的问题，就需要学生平时有所积累，有这方面的经验，或者在竞赛时能够灵活运用，敢于创新.

题中说观察者测得频率为ν2和ν1声波的时间间隔是4s，稍不细心的学生就容易认为飞机在发出这两个声波信号的时间内飞行了800m.这是解本题时最容易出错的地方，正因为容易出错，所以出现了不同的答案[7，8].

众所周知，遍布在城乡公路上的测速仪利用的是多普勒效应.实际上，测速也有别的办法，第3届竞赛就给出了另一种办法.

【例6】一房屋座落在一条东西向公路的南面距公路100m的地方，屋内的电视机正接收远处电视台的讯号，讯号频率为60MHz，方向如图5所示[5].一汽车沿公路自东向西匀速行驶，使屋内电视讯号的强度发生起伏变化.当汽车行经房屋正北面O点的瞬时，屋内电视讯号的强度起伏为每秒两次，求汽车的行驶速率.

图5

本题自然用不到多普勒效应，因为没有频率的变化，只有电视讯号强度的变化.电视讯号的强度决定于直接来自电视台和由汽车反射而来的讯号干涉的结果，干涉结果决定于汽车的位置，汽车的运动影响干涉结果，从而将电视讯号强度的变化与汽车的运动联系了起来.电视讯号的强度“起”，意味着干涉相长；“伏”意味着干涉相消；“强度起伏为每秒两次”，即直接来自电视台和由汽车反射而来的讯号到达电视接收机的波程差对时间的变化率为讯号波长的2倍.

这个问题给学生提供了另一种测速方法，有利于开阔学生的眼界，培养创新意识.同时，本题也考核了学生将物理语言“翻译”成数学语言的能力.

【例7】(第9届竞赛光学题[5])图6所示为一种制造光栅的原理图，激光器发出的光束(波长为600nm)经分束器得到两束相干的平行光，这两种光分别以0与30°的入射角射到感光板H上，形成一组等距的干涉条纹.经一定时间的曝光和显影、定影等处理后，H就成为一块透射光栅，其光栅常数等于干涉条纹的间距.为了在第一级光谱能将500.00nm和500.02nm的二谱线分开，求所制得的光栅沿x方向应有的最小宽度.

图6

这个问题不仅考核了光栅的分辨本领，而且考核了上述分析的干涉条纹间距问题，同时还让学生了解到一种制造光栅的原理.

5旋转矢量法的应用

在平面上，始端O点和长度保持不变,矢端以恒定的角速度ω沿逆时针方向做圆周运动的矢量A称为旋转矢量，如图7所示.

图7

在t时刻，旋转矢量与Ox轴的夹角为(ωt+φ)，矢端在Ox轴上的投影坐标为x=Acos(ωt+φ).这恰是在Ox轴上振幅为A,角频率为ω,初相为φ的简谐运动的表达式.因此，可以用旋转矢量表示简谐运动，旋转矢量的长度、旋转角速度、初始时刻与Ox轴的夹角分别对应简谐运动的振幅、角频率、初相这“三要素”.

旋转矢量与简谐运动的曲线描述相对应；利用旋转矢量，可以很直观地理解简谐运动的合成；旋转矢量还可以用来分析简谐波；尤其是在分析光栅衍射时，旋转矢量的运用有助于理解光栅方程(主极大的必要条件)dsinθ=kλ(k=0,±1,±2,…)及“相邻的两条主极大明条纹之间，有N-1条暗纹,N-2条次极大明纹”的道理.

总之，旋转矢量法在波动与光学的学习过程中随处都能够发挥重要作用，学生如果能够掌握旋转矢量法，在分析和理解上述各问题时将会得心应手.

6结语

本文对全国部分地区大学生物理竞赛波动与光学试题进行了统计，分析了各条知识的占比情况，剖析了波动与光学试题的典型解题方法、特点，并介绍了旋转矢量法的应用.波动与光学试题要求考生不仅需具有扎实的知识基础，而且应掌握最基本的原理、最有效的方法并用以分析、解决问题.掌握旋转矢量法，在波动与光学的学习及分析、解决问题的过程中，往往会收到事半功倍的效果.

参 考 文 献

1刘家福，张昌芳. 大学生物理竞赛及其试题特色. 物理与工程，2008，18(4)：65

2刘家福，张昌芳.大学生物理竞赛试题赏析(Ⅰ)——力学部分. 物理通报，2014(10)：54～56

3教育部高等学校物理学与天文学教学指导委员会物理基础课程教学指导分委员会. 理工科类大学物理课程教学基本要求(2010年版). 北京：高等教育出版社，2010. 1

4张三慧. 大学物理学(第4册)波动与光学(第2版). 北京：清华大学出版社，2000. 1

5工科物理编辑部. 全国部分地区非物理类专业大学生物理竞赛题解汇编(第1～13届). 工科物理，1997(S1):15,5,100,26,92

6工科物理编辑部. 全国部分地区非物理类专业大学生物理竞赛题解(第14届). 工科物理，1998,8(3)

7工科物理编辑部. 全国部分地区非物理类专业大学生物理竞赛题解(第16届). 工科物理，2000,10(3)

8李长江. 大学生物理竞赛试题解答与分析. 北京：中国建材工业出版社，2004. 158