基于微分求积法的轴向流作用下二维板复杂响应研究

第一作者董宇男，博士生，1988年生

通信作者杨翊仁男，教授，博士生导师，1959年生

邮箱：yangyiren05@126.com

基于微分求积法的轴向流作用下二维板复杂响应研究

董宇，杨翊仁，鲁丽

(西南交通大学力学与工程学院， 成都610031)

摘要：研究轴向流作用下两端简支二维板线性稳定性及非线性复杂响应。用微分求积法对流场方程及二维板连续型运动方程统一离散，通过流固耦合边界条件将流场势函数用板的横向振动位移变量表示，获得二维板横向振动位移变量控制方程。通过特征值分析获得复频率及临界流速随流道高度变化。通过对壁板非线性动力响应数值模拟，采用分岔、相平面及庞加莱截面图等揭示壁板将发生的周期运动、拟周期、混沌等多种运动形式表明，壁板由周期倍化分岔或拟周期运动通向混沌。

关键词：二维壁板；轴向流；周期倍化分岔；混沌；微分求积法

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-04-10

中图分类号:U270.11文献标志码：A

基金项目：国家自然科学

Complicated responses of a two-dimensional plate under action of an axial liquid flow with differential quadrature method

DONGYu,YANGYi-ren,LULi(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract:The complicated responses of a two-dimension simply supported plate under action of an axial liquid flow were studied. The nonlinear governing motion equations of an elastic plate under action of an axial liquid flow were derived based on the potential theory. The differential quadrature method was introduced to formulate the discretized forms of the equations of motion for the system. The flow potential function was expressed as a function of structural transverse vibration displacements, the governing equations of the plate’s transverse vibration displacements were then solved with numerical methods. The complex frequencies versus flow velocity and critical velocities were obtained for various dimensionless channel heights. Calculations of bifurcation diagrams, phase-plane portraits and Poincaré maps for the plate’s responses confirmed definitively the existence of chaos and other complicated responses in terms of fluid velocity and excited amplitude. The vibration responses of the plate led to chaos from period-doubling bifurcations or quasi-periodic motion.

Key words:two-dimensional plate; axial flow; doubling-period bifurcations; chaos; differential quadrature method

板状叠层结构在反应堆结构一体化设计中应用广泛。该结构特点为相邻两平行板间存在流道，供冷却液流动，属典型的轴向流作用下流固耦合系统。流体流动会导致叠层板状燃料组件产生静态或动态失稳。实验中当流速足够大时，会观察到会导致板状结构破坏的屈曲失稳或颤振失稳[1-2]。源于此，轴向流作用下板状结构的流致振动问题颇受关注。Miller[3]首次对叠层板状燃料组件的流致振动稳定性进行研究，采用宽梁理论及Bernoulli定理，获得简单的叠层板结构屈曲失稳临界流速计算式。Guo等[4-5]研究矩形组件在刚性水槽中的稳定性，采用Galerkin法将连续结构离散化，基于势流理论获得作用于结构的流体力。

对板状层叠结构，板与板之间常为非线性支承，而非线性支承影响往往会使结构产生较多复杂现象，对结构振动及稳定性影响不可忽视。因此，板状层叠结构非线性模型响应研究对探索板状结构流致振动的失稳机理有重要作用。鲁丽等[6]研究在流动压力作用下，考虑具有立方非线性支承板状梁的Hopf分岔现象。Li等[10]基于微分求积法，考虑流体的可压缩性，对所建亚音速流下壁板的流固耦合控制方程进行离散，再通过对整体离散方程进行特征值分析方法判断流固耦合系统的稳定性。

本文基于势流理论建立轴向流作用下二维板流固耦合系统控制方程，用微分求积法对流场及板的控制方程统一离散。通过耦合边界条件，将流场势函数用板的横向振动位移变量表示，获得仅关于板的横向振动位移变量控制方程。考虑二维板具有非线性弹簧与阻尼运动约束及简谐激振力，对线性流固耦合系统进行稳定性分析，验证本方法的准确性，再通过四阶龙格库塔法对非线性系统控制方程进行积分，数值分析非线性系统出现的周期振动及混沌运动在内的各种复杂响应。主要考查激振力幅值与来流速度对系统响应影响。

1运动微分方程与边界条件

考虑图1的单侧二维轴向流中两边简支板结构模型，板与流道固定边间距为d，板长l，板厚hp，单位长度质量ρp，D=Eh3p/[12(1-v2)]为板的抗弯刚度，E，v分别为壁板弹性模量、泊松比，w(x,t)为板的横向位移。在流道轴向流中，流体侧向流动可忽略，因此，设流道中流体为二元不可压缩流理想流体，即流道可采用二维小扰势流模型，U0为来流流速，ρ为流体密度，φ为流道中流体小扰动速度势。

图1　轴向流中壁板模型 Fig.1 Schematic of the plate in axial flow with the rigid wall

模型中壁板中点的非线性弹簧约束考虑为立方非线性，弹簧约束力与壁板位移关系表达式为

(1)

式中：δ(·)为Dirac函数；k1,k3分别为弹簧的线性、非线性刚度系数。

对二维板结构，由于板的侧向宽度较小，可用欧拉梁模型模拟，考虑非线性弹簧支承，简谐激振力及引入阻尼作用，运动方程为

p(x)cos(ωt)-Δp

(2)

式中：Δp≡p(x,y,t)为流道中流体对板产生的流体动压。

流体速度可写为

(3)

小扰动速度势在壁板上产生的流体动压由Bernoulli方程可得

(4)

轴向流中流体速度势φ须满足Laplace方程

(5)

引入无量纲参数

(6)

将式(6)中无量纲参数代入式(2)、(5)得无量纲控制方程为

(7)

板的简支无量纲边界条件为

(8)

流场的扰动速度势无量纲边界条件为

(9)

在弹性板上表面，流场及弹性板的相容条件为

(10)

2微分求积法离散

文献[11]给出微分求积法的基本原理及应用。本文所用网格点划分方式[11]见图2，边界采用δ(δ=10-5)邻接处理，节点分布形式为

图2　微分求积法离散网格划分 Fig.2 The mesh point distribution

(11)

式(7)用微分求积法格式离散后为

(12)

边界条件式(8)、(9)用微分求积法离散后得

(13)

联立式(10)、(11)，通过矩阵运算可得关于板的横向振动位移变量的非线性控制方程为

(14)

矩阵及矢量的具体表达式可由式(12)、(13)获得，非线性项仅存在于刚度项中；[KL]，[KNL]分别为刚度项中线性、非线性部分，在给定参数条件下，求解式(14)即能确定系统的动力特性。

3线性稳定性分析

(1)

Re(Ω)>0,(Im(Ω)≠0)

(15a)

系统发生颤振失稳；

(2)

Re(Ω)>0,(Im(Ω)=0)

(15b)

系统发生屈曲失稳。

图3　两端简支模型第1阶无量纲复频率随流速变化 Fig.3 The first frequencies of hinged model versus dimensionless flow velocity

表1　无量纲临界流速随流道高度及网格点数变化

4非线性响应数值模拟

采用4阶精度Runge-Kutta方法对控制方程进行数值积分以研究系统呈现的复杂响应。为获得准确的系统动态行为，计算时间足够长，使瞬态响应完全消除，本文给出以某参数为变量的分岔图，借助相图、庞加莱截面图判定系统响应性质。由于系统中含外激励项，将选择外激励周期为庞加莱截面选取条件。

4.1以来流流速为分岔参数的分岔分析

图5、图6分别为不同λ对应的相图及庞加莱截面图。由图6(a)可知，λ=4.2时庞加莱截面有三个点，可判定此时系统处于周期3运动，其相图见图5(b)。由图6(b)可知，λ=4.32时庞加莱截面呈现三个封闭曲线，可判定此时系统处于拟周期运动，其相图见图5(c)。由图6(c)可知，λ=6.25时庞加莱截面呈现成片的密集点结构，可判定此时系统处于混沌运动，其相图见图5(d)。图5(e)为λ=7.6时系统周期2运动相图，图5(a)、(f)为λ=3.87及λ=7.8时系统处于单周期运动相图，虽均为单周期运动，但运动特性却完全不同。

(a)　3.97<λ<8.94 (b)　4.02<λ<4.49 (c)　7.21<λ<8.49 图4　分岔图( -λ) Fig.4 Bifurcation diagrams

(a)　周期1解 (b)　周期3解 (c)　拟周期

(d)　混沌　　 (e)　周期2解 (f)　周期1解 图5　不同λ时的相图 Fig.5 Phase portraits for differentλ

(a)　周期3解 (b)　拟周期 (c)　混沌 图6　不同λ时庞加莱截面图 Fig.6 Poincaré maps for differentλ

4.2以外激励幅值为分岔参数分析

(a) 15

(a) 周期1解(b) 周期2解(c) 混沌

(d) 周期3解(e) 拟周期(f) 混沌图8 不同f时相图Fig.8Phaseportraitsfordifferentf

(a) 周期2解(b) 拟周期(c) 混沌图9 不同f时庞加莱截面图Fig.9Poincarémapsfordifferenf

图8、图9分别为不同f对应的相图及庞加莱截面图。由图9(a)知，f=21时庞加莱截面有2个点，此时可判定系统处于周期2运动，其相图见图8(b)。由图9(b)可知，f=38.5时庞加莱截面呈现3个封闭曲线，此时可判定系统处于拟周期运动，其相图见图8(e)。由图9(c)可知，f=41时庞加莱截面呈现成片的密集点结构，此时可判定系统处于混沌运动，其相图见图8(f)。图8(a)为f=19.1时处于单周期运动的相图，图8(c)为f=28时系统处于混沌运动的相图，图8(d)为f=37时混沌运动中周期3窗口时的相图。

5结论

本文通过用微分求积法统一离散二维板振动方程及势函数流场方程，分析轴向流作用下二维板线性系统稳定性及非线性系统复杂响应，结论如下：

(1)本文方法计算所得临界流速与文献结果吻合较好，表明了本文方法的有效性及准确性。

(2)随来流速度、激振力幅值变化，系统具有极复杂的动态响应，包括多种形式的周期、拟周期及混沌运动等。

(3)在来流速度与激振力幅值两参数区域内，系统以周期倍化分岔或拟周期过程通向混沌。

(4)若考虑更多更全面的非线性因素影响，其动力响应行为可能更复杂，尚待深入研究。

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