计算数学研究中理论分析与实践的辩证关系

黄海洋+关宏波+刘泽

摘要：从计算数学研究出发，阐述计算数学与实践相结合的辩证关系，分为“计算数学源于实践” “计算数学必须要接受实践的检验”和“计算数学能够应用于实践”三个部分，强调数学不能做假大空的研究，必须与实践相结合，才能成为真正有用的科学。

关键词：计算数学；实践检验；辩证关系

哲学是一些科学研究的根源，其思想具有宏观性，而数学的研究具有高度的抽象性，是一种文化体系，是研究客观世界数量关系和空间形式的自然科学，是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。哲学是自然知识、社会知识和思维知识的概括和总结，是研究世界观的学问，是世界观和方法论的统一，是人类思维的结晶与提炼。正如文献[1]中论述，数学和哲学同为两门最古老的学科，在人们不断认识大自然，认识自我的过程中都发挥了重要的作用，也都得到了极大的发展。数学与哲学都具有高度的抽象性，他们之间存在着密切的联系。从古至今，数学都始终影响着哲学。数学的发展，加深了对哲学基本规律的理解，丰富了哲学的内容。数学有严密的逻辑性，这使得哲学家都重视对逻辑的研究和运用，哲学家经常用数学的研究成果来论证他们的哲学思想，或者是对数学的一些研究成果进行抽象概括，建立哲学理论，推动哲学的发展。反言之，数学历来都是哲学研究的对象，哲学作为世界观，对数学发展起着指导和推动作用。从古代常量数学到现代数学理论的形成过程中，哲学在揭示其内涵方面都起到了重要的作用。例如，柏拉图的理念论哲学、马克思主义哲学等都对数学的发展有非常大的影响。

R. Murawski在文献[2]中对哲学家Bornstein的逻辑与数学品质的一些主要观点进行了重述，如集合论的一些概念原理，以及欧式几何与非欧几何中的一些区别进行了阐述。文献 [3] 和 [4] 都是从数学史的角度介绍了数学与实践的关系。文献 [5] 对数学工作者提出加强数学素养的要求，注重数学的应用，不做伪科学。文献 [6] 主要突出数学基础研究与工科专业知识之间的联系，特别强调数学基础课的讲授与教研一定要与工科应用结合起来，注重其在实践中的应用。

在日常的计算数学研究中，针对不同的实际模型问题，要给出相应数值算法的同时，须严格按照因果关系导出该数值解与精确解之间的误差，并找出计算网格剖分加密时，所增加的工作量与误差之间的关系。也就是说，当工作量增加时，所得到的误差精度也应该指数倍的提高，如果工作量增加了很多，误差虽然有所减少，但是减小得不够剧烈，这说明算法也是不成功的。工作成本与误差精度之间的关系，称之为收敛阶，当收敛阶越高，说明我们的算法就越优越。另一方面，在实际研究中，必须利用一个或多个现实中的例子，按照给出的理论算法，编写程序验证该算法是否有效可行，与理论分析是否吻合。如果与理论分析不吻合。那就要检查是程序编写是否有误，理论分析是否严禁，并说明相互之间的辩证关系。直到数值计算与理论分析的误差在容许范围之内时，才能够说明该方法是可以被实践检验的，诚如“实践是检验真理的唯一标准”。实践实际上是认识的起点，最终也必将是认识的归宿所在。现将计算数学与实践的论证关系分三个方面阐述如下：

一、 计算数学源于实践

目前，计算数学中经常针对一些重要的数学物理方程或模型进行数值计算和数值模拟，如计算数学中经常处理的二阶膜问题、四阶板问题、抛物方程、Maxwell方程、磁流体方程和最优控制问题等都是源于现实生活、工程领域及物理现象的，都有其实际的应用背景，即我们的研究是源于实践的。

关于数学演变的数学故事及数学研究已有很多，被数学教师经常用于课堂上的是关于数论的进化过程，由最初原始人用于对所获得猎物计数的自然数，到整数、分数，一直到现代文明中出现的无理数、虚数，还有近年来出现的四元数研究等等。而高等数学中的核心内容微积分，是由数学家牛顿和莱布尼茨分别独立完成的，他们的出发点分别是物理学和数学，所给出的引例和定理也是分别针对物理和数学的，但是框架和内容几乎是完全相同的，算法也一样，到目前为止，这也是科学界公认的奇迹之一。微积分最初给出的数学模型是导数，主要是由变化率导出的，源于物理中的速度和加速度问题以及平面几何中的切线斜率问题，给出导数的极限定义，进一步得出导数的运算方法和性质后，不仅可以求解上述问题，还可用来求其它变化率的问题，另一方面是积分知识，也是有其现实应用背景的。

上面提到的计算数学中针对的各类方程其实都有其理论背景，以最简单的二阶膜问题为例，模型方程为：

其经典研究背景是有一张边缘被固定的膜，当在其表面施加外力f时，求解其振动幅度u。由于膜的边缘被固定，故u在区域■的边缘■处的振幅都是0，也就是所谓的零边界条件。另外我们知道拉普拉斯算子■，这正是物理运动中的一个原理：“位移的变化率为速率，速率的变化率为加速度。”加速度正是与外界受力f有关的，拉普拉斯算子前面的负号“-”也正说明了薄膜的最大振幅正是与受力方向相反的。而用有限元方法进行数值计算时，也是强制令边界单元部分取值为0，进而根据外力f来求解出u的近似解的，在有限元方法中经常是一个分片的多项式。理论上说来，多项式的次数越高，逼近的误差也就越小，但实际上，当多项式的次数增加过多时，必然给实际应用时的计算机工作量增加，我们在这里称之为自由度。当自由度增加过快时，由于计算机的硬件是有限制的，计算机可能无法承受，甚至死机，也就宣告了该算法是失败的。在实际计算中，有时会发现，当多项式的次数增加时，计算机能够正常运行计算，但误差却没有按照理论分析中那样减少的那么快，经常性的一个原因就是原问题解的正则性达不到多项式次数的要求。也就是说，增加多项式的次数也不是任意的，需要根据解的正则性确定合适的多项式空间，按照Sobolev插值定理，当精确解属于■时，最多只能选取k-1阶多项式空间即可，次数再高，也不会提高计算精度。

另外类似地，四阶板问题，研究的是薄板的弯曲幅度，原理与上面提到的二阶问题的类似；抛物问题加入了时间t的影响，称之为发展方程或非定常问题；Maxwell方程是针对电磁场给出的模型；我的博士论文研究的是最优控制问题。实际上，最优控制问题在工程中有着非常广泛的应用，其中一个典型的应用就来源于大气污染控制问题。目前对于大气污染的控制，一种思路是以控制污染源排放量为手段，使得大气污染物浓度在特定区域和特定时间段内保持在一个容许范围之内，同时又使得付出的代价最小。这个问题的数学模型是一个典型的偏微分方程控制问题。此外，一些大型挠性空间结构的设计与制造、大型柔性结构的波动控制研究、低温超导激光能量爆破的控制研究等都可以归结为偏微分方程描述的最优控制问题的研究。最优控制问题在工程中的应用还包括复合材料设计问题，须要考虑怎样合理的配置具有不同结构和属性的材料使得得到的复合材料满足我们的需求。还有石油开采过程优化，在石油开采过程中，须要通过注水使得油田的油往出油口流动，而在很多情况下，二次污染问题以及珍贵的水资源也是必须考虑的因素，因此需要合理的注水来达到最大的收益。此外还包括在温度控制、交通信号控制、系数控制（即参数辨识）、材料设计、形状设计、流体控制以及航空航天中的应用等等，都是针对控制系统给出的。即我们在计算数学中所研究的模型问题都是有其应用背景的，所给出的数值算法都是有意义可循的。

事实上，很多著名的大数学家，如牛顿、笛卡尔、庞加莱等同时也是物理学家、力学家等，他们将现实生活中的一些现象和规律总结为一类数学模型，只需将该数学模型处理好，它所对应的实际问题也被规范地解决完毕，并且能够形成统一模式去处理，提高工作效率。无论是基础数学还是应用数学，如果他所研究的模型根本就找不到合适的物理背景，或者找不到实际例子，更不要提其所给出的研究方法和研究结论了，他所研究的内容就是假大空的内容，其研究可称为毫无意义的研究。

二、 计算数学必须要接受实践的检验

对于现有的数学模型，或者通过总结规律得到的数学模型，须要采用合适的方法去解决它。如果能够找到精确解（如欧式期权问题），就可以直接利用该精确解去处理相应问题，得到一些结果。

然而很多模型（如美式期权问题）只能证明其存在唯一精确解，但是求解其精确解非常困难，甚至根本就不解析，那么就要采用数值方法找到其数值解，有时称为近似解，这也是计算数学专业工作者的主要研究内容。然而，要想使得该求解方法可行，就必须接受实践的检验，在数值试验中，根据所设计的算法编制出能够直接处理问题的程序，对某一个或一类特定问题进行计算，检验结果是否有效。主要指的是在某一范数（模）意义下，所计算出来的数值解与精确解之间是否存在逼近关系，如果相差甚大，那么该计算方法显然是不适用的，没有通过实践的检验。而如果该数值解确实是与精确解比较接近的，那说明该方法是可行的。特别是当要求所给出数值解与精确解之间的误差足够小时，计算机运算能力是否能够达到，也就是说须要不断地改进算法，使得计算方法能够处理现实生活中足够大规模的问题，让工程界工作者能够直接利用该算法去解决问题。

三、计算数学能够应用于实践

计算数学方法所给出的理论分析以及计算方法，还要能够应用于实践，在实践中确实有其独道之处。数学给人的第一感觉就是严谨、逻辑性强，甚至让人窒息。然而，也正是有了这些优势，数学在目前科学技术迅速发展的今天，才有其一席之地。

在文化大革命刚刚结束之时，邓小平同志就派人四处寻找华罗庚先生，希望从基础学科抓起，给以后的科学发展提供前期保障和理论支撑，以免走错路、走弯路。现在看来，邓小平同志的决定是英明的，是有先见之明的。如果基础理论不扎实，那么在具体的实践科学技术中，就容易出纰漏、出差错，保证不了其正确性，甚至造成难以预料的损失和灾难。

从另一方面来说，为了避免这么严重的灾难和后果的发生，前提就必须要求基础学科的知识是完备的，经受住考验的，是能够应用于实践的。如果所提出的一些理论都是假大空的，根本就不能应用于实践，完全是自娱自乐、自圆其说，那么可以肯定的是，这样的研究不是我们需要的，完全可以称之为伪科学。计算数学所要求的，必须包括模型假设的合理性、理论分析的正确性和设计算法的应用性等方面，这也正是当今科研工作所必备的。

实际上，国际上也对我们国家的科研有着质疑，认为很多科学研究实际上是伪科学，尽管没有学术造假行为，但是所给出的方法只能存在于理论研究，根本走不出实验室。曾经发生过这样一个故事，一个西南某高校的数学教授，根据自己的理论推导，证明了某种映射是具有不动点的，并据此发表了数十篇论文。几年以后，一个数学专业大二的一个本科生。在国内一个一般性期刊上发表了仅仅两页的论文，说明这种假设下的映射只能针对只有一个点的集合，根本就不可能应用于实践。至此，说明该教授的系列研究就没有任何意义可言。所以，我们的研究应该找到实际应用背景，并能够接受现实实践的检验，才能有长远的、可持续的发展。实验室的研究也应该向着能够用于生产的方向研究，不能仅限于促成偶然出现的小概率事件而沾沾自喜。

四、结束语

从上述论述过程中可以看出，其实不仅仅是计算数学，乃至整个数学专业甚至于其他理工科的科学研究工作，都要理论与实践相结合，才能成为真正的科学。研究内容必须有意义，研究过程必须科学严谨，研究结果必须能够接受实践的检验。在我们日常的科研工作中，从一篇科研论文的选题，经过理论分析与数值试验，一直到论文的定稿不断修改和录用，都必须与实践高度结合，这也正是应用数学学科与实践之间的必然联系。

参考文献：

[1]郭翠花.浅议数学与哲学的关系[J].中山大学研究生学刊（自然科学版），2005，26（3）：107-111.

[2]Roman Murawski. Benedykt Bornsteins Philosophy of Logic and Mathematics，Axiomathes[J]，2014，（4）： 549-558.

[3]董骏.从数学哲学看数学[J].数学之友， 2014，（16）： 76-77.

[4]李卫.论数学的哲学思辨和社会实践[J]，速读（教学研讨）， 2014，（2）： 54-55.

[5]杜其奎，宁连华，周兴和.浅谈数学与数学素质[J].中国大学教学，2011，（5） ：11-14.

[6]关宏波，黄海洋. 高等数学与工科专业课程有机结合的若干思考[J]，高等函授学报（自然科学版），2011，（1）： 5-6.

编辑/宋 宇