尺度函数与正交小波基的构造

朱梅++樊中奎

摘要：该文首先介绍了小波变换的起源和应用领域，首先介绍了尺度函数、小波函数、尺度空间、小波空间，并在之基础上对正交小波基进行实验分析，给出了二维正交小波基的构造方法，并应用Haar小波进行图像进行分析和压缩，实验结果表明压缩效果较好。

关键词：小波变换；信号分析；图像压缩

中图分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）29-0209-03

1 概述

小波是上世纪80年代中期出现的一门现代技术，由法国工程师J.Morlet在1974年首先提出的，该技术的发展经历了：短时窗口傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等阶段的发展[1]。1986年著名数学家Y.Meyer构造出第一个光滑的小波基对小波， 1988年S.Mall建立了构造小波基的方法，并提出多分辨率分析的概念[2]。在此之后小波分析得到了快速的发展，比利时数学家 I. Doubechies 发表的《小波十讲》对小波分析的理论及应用的普及起了重要推动作用[3]。

目前小波分析在数学领域可以快速数值构造、阈值分析；在信号分析领域能够进行信号滤波、去噪等；在影像领域能够进行压缩、识别、分类等；在医学领域中可以提高CT、B超的效率缩短时间；并在机械故障诊断、地震勘探等方面都取得了重要的研究成果，有力的推动科学技术的发展[3]。

2 尺度函数与小波函数

2.1 尺度函数与尺度空间

定义函数[φ（t）∈L2（R）]为尺度函数（scale function）[4]，若其整数平移系列[φk（t）=φ（t-k）]满足

αjm，n，βjm，n，γjm，n]与小波空间[W1j，W2j，W3j]相对应[sjm，n]为尺度空间[Vj]的尺度展开系数。

2）长方块形式的二维正交小波基与二维正交小波变换

正交基的尺度在两个方向上是不同的，形象称为的长方形正交小波基。

[f（x，y）]在长方块二维正交小波基下的展开公式为

[f（x，y）=j=1∞m=1∞k，ndj，mk，nψj，k（x）?ψm，n（y）] （3.1）

其中

[dj，mk，n=f（x，y）ψj，k（x）ψm，n（y）dxdy] （3.2）

称之为长方块形式下的二维正交小波变换系数，[j，m]是两个方向上的尺度， 位移[k，n]是两个尺度下的。上述两个公式表示长方形二维正交小波变换的重构以及分解。

4 正交小波基应用及结论

图2 haar小波变换结果

图2为用MATLAB工具对本人的照片做haar小波变换结果，（a）图中图名加cod为小波变换后经过wcodemat处理即将图像的数据范围调整到当前显示的数据范围的结果。（b）图为仅利用小波分解后的低频分量进行的图像的重构，从图中可以看出图像经恢复后仍然能够体现原图的内容。

这就是图像压缩的内容，这里用于二次图像重构的图像的数据量与原图的数据量比为1：16.压缩比为93.75%，这意味着压缩后数据的存储容量和传输速度都大大提高了。

参考文献：

[1] 徐新艳. 基于小波变换的医学超声图像去噪方法研究 [D]. 山东大学， 2006.

[2] 刘金梅， 杨力， 罗迟星. 基于数学形态学和小波融合的红外图像去噪[J]. 弹箭与制导学报， 2010， 30（5）： 73-75.

[3] 于梅， 殷兵， 何国栋，等. 一种基于小波-Contourlet变换的图像去噪算法[J]. 微电子学与计算机， 2008， 25（12）： 100-102.

[4] 蒋霖， 李向民等. 多小波神经网络在变形预测中的应用[J]. 山西建筑， 2008， 34（1）： 13- 14.

[5] C.K. Chui and J.-A. Lian， A study of orthonormal multi-wavelets[J]. Applied Numerical Mathematics， 1996， 20（3）： 273-298.

[6] 冈萨雷斯. 数字图像处理第二版 （MATLAB版） [M]. 北京： 电子工业出版社， 2005： 179-210.