退化抛物-双曲型方程柯西问题的解关于初值的连续性＊

郝兴文

（潍坊学院，山东 潍坊 261061）

1 问题与主要结果

考虑下列退化抛物-双曲型方程的柯西问题：

由于这个方程的应用广泛，大家对它的研究也由来已久。这个方程在某些方向上抛物退化，所以他的解显示出双曲方程的一些性质，解会出现间断。Volpert-Hugjaev在文献［8］中最先给出了方程（1）的BV 解的存在性，Chen-Karlsen在文献［10］证明了解的唯一性。另外，Chen-Perthame在文献［4］中得到了方程（1）中系数不显含x，t形式的齐次方程动力学解的存在唯一性，其它形式的解可以见文献［5，6，7，9］等。对于系数不显含x，t的方程，它的解在初始时刻具有连续性，从而说明初始层不会出现，参见文献［4］，特别是对于完全退化的情形—双曲型方程，这个性质在文献［11］中应用双变量方法给予了证明。对于一般形式的方程（1），解的这个性质是否成立没有结果。本文将主要证明方程（1）-（2）的解具有这个性质。首先引入本文中要用到的一些记号和方程（1）-（2）的解的定义。记

对任意的非负φ∈C（R），令

记R2上的动力学函数［4］为

问题（1）-（2）的动力学解定义为

定义1 一个可测函数u∈L∞（［0，T］），L1（Rn+1））是方程（1）的动力学解，如果u满足

（ii）对任意两个非负函数φ1，φ2∈C（R），下式成立

（iii）对某个非负测度m，下式在D′（［0，T）×Rn）中成立

其中，测度n由下式给出

本文的主要结果是

定理1 如果初值u0（x）∈L1（Rn）∩L∞（Rn），u 是（1）—（2）的动力学解，则当t→0时，有‖u（·，t）-u0（·）‖L1（Rn）→0。

2 定理的证明

首先引入一个引理，设函数g（ξ）满足

下列引理成立：

引理1 设函数g（ξ）满足上面的条件，如果存在数u和非负可测函数～m（ξ）∈C0（R）满足

该引理的证明可参见文献［12］，细节省略。

令Ri→+∞后，利用m 和n 的非负性，得

所以

首先，对任意的E∈Rn，且m（E）＜+∞，则

所以，0≤sngξ·Χ（ξ，x）≤1，且sngξ·Χ（ξ，x）=｜Χ（ξ，x）｜。

另一方面，

令τ→0，得到，

特别地，对任意的τ＞0，选取实验函数ω（ξ，t，x）=φ（ξ，x）ψ（t），其中，

在分布意义下，

在上面引理的基础上，给出定理1的证明

由极限的唯一性可知

在（4）中，令τ→0，可得

由σ的凸性及u（t，x）弱收敛到u0（x），表明该收敛是强收敛，从而定理1成立。

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