多元函数条件极值的求解问题探讨

邹嘉政+叶博

摘 要：本文主要研究的上海某企业生产的手工品产销问题，通过仔细查阅相关资料，对此问题可以使用求多元函数条件极值的方法来求解，其目标函数就是产品的生产成本最小化，以期利润的最大化，其约束条件就是与各成本有关的各个因素。为此，建立了求解多元函数条件极值的数学模型，并利用线性和非线性问题最优化求解软件——LINGO，进行数学模型的求解。对此产销问题，论文着重解决的了两方面的内容：

（1）尽地阐述了产品在生产过程中，哪些因素对产品的成本产生影响。具体情况如下：若当月需求不能得到满足，顾客可在后续某月得到满足，但公司需对产品进行打折，这就需要考虑产品的缺货成本。

（2）阐述了降价促销的策略。利用第一个项内容数学模型和计算的基础上，可以得出降价促销方案的利润值。通过计算，所得结论是：虽然降价促销可以使得总成本降低，可降低幅度不大，同时却交大幅度地降低产品的总销售额，使得降价促销时产品的总利润亦随之减少了。因此，从最大利润角度考虑，舍去促销方案，即得到所得到的产销方案就是最优的。

关键词：多元函数条件极值；最小成本；最大利润；LINGO

一、多元函数条件极值的问题

求函数z=f（x，y） （1）

在条件 （2）

下的取得条件极值的条件。

若是在P0（x0，y0）处取得条件极值，必满足方程（2），

（3）

方程（2）可确定一个隐函数y=φ（x），代入（1）

z=f[x，φ（x），] （4）

函数（1）在P0（x0，y0）取得条件极值，相当于函数（4）在x=x0处取得无条件极值。

据一元函数取得极值的必要条件有

（5）

由（2）式有

代入到第（5）式有

（6）

由讨论可知，（3）与（6）便是函数在点（x0，y0）取得条件极值的必要条件，我们作适当的变形。

令，有

这三个式子恰好是函数

的三个偏导数在点（x0，y0）的值。

1.产销问题

表1 产品需求预测估计值（件）

7月初人数为12，每月工作21天，每天工作8小时，工人每个月加班时间不得超过10个小时。7月初的库存量为400台。销售价格为260元/件。销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。12月末的库存为0。

表2 产品各项成本费用

（1）建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；

（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为240元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就7月份（淡季）促销和11月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，选取最优的产销规划方。

2.问题分析

通过分析，该题可以归结产品生产销售的非线性规划问题，根据该题目所列的约束条件和决策变量，列出目标函数，将该题目转化为一个数学规划模型，进行分析和讨论。建立了一个针对多变量求解目标函数最小成本的非线性规划模型。并在一定假设的条件下，应用lingo软件对该问题进行相关的分析及求解。

3.模型假设

（1）认为产品的销售价格、预计需求量以及各种成本因素不受市场供需或其他因素的影响而出现变化。

（2）当月的产品不产生库存费。

（3）可认为各个月的招聘人和解聘人之间是相互无关的变量，各自独立，忽略工人的病假和事假情况。

（4）假设题中七月初的工人数为前一月月末的工人人数。

4.变量符号

5.模型分析

首先对此存在外包情况进行定量分析，将所得结果与雇佣工人生产产品的单件成本对比，根据成本最小化原则进行取舍。计算以雇佣工人方式生产一件产品最大成本为：

最大成本=原料成本+缺货损失+劳动力花费：

最大成本=100+20+（50+100）*1.6÷（32*8）+1.6*18=150.23元小于外包成本的200元，舍去外包情况。

二、总结

此产销数学模型的优点为：

1.建立模型简单易懂，容易编程。

2.模型注重效率的提高，通过的数据的筛选，用matlab软件大大减少了处理数据的时间。

3.在分析不同年份并且不完整数据的时候，从大的方面开始处理，然后再一步步细化，直到分的很详细为止，讨论问题的方法简洁易懂，具有很高的可读性。

参考文献：

[1]E.A.Bender著，朱尧辰，徐伟宣译.数学模型引论.科学普及出版社，1982年[O121 B331].

[2]D.Bertsimas and J.N. Tsitsiklis， Introduction to Linear Optimization，Athena Scientific，1997[O221.1 XB551].

[3][英]David Burghes等著，叶其孝，吴庆宝译.数学建模--来自英国四个行业中的案例研究.（应用数学译丛第4号）.世界图书出版公司，1997年[O29 ZB164].

[4]F.R.Giordano，M.D.Weir，W.P.Fox著.A First Course in Mathematical Modeling， 3rd Edition（影印版）.机械工业出版社，2003年5月第一版 [O141.1 ZQ382].

[5]洪毅，贺德化，昌志华编著.经济数学模型（第三版）（工科数学基地建设丛书）[M].华南理工大学出版社，2003年[F224.0 H416].

[6]谢金星，薛毅编著.《优化建模与LINDO/LINGO软件》[M].北京：清华大学出版社，2005.