带有中间缓冲区的生产系统设备维修策略研究

带有中间缓冲区的生产系统设备维修策略研究*

严正峰，刘猛

(合肥工业大学 机械与汽车工程学院，合肥 230009)

摘要：为了保障生产系统的连续性并降低其维修成本，提出一种以马尔可夫决策理论为基础的维修策略动态选择方法。在综合考虑系统运行成本、缓冲库存成本、设备维修成本及停机损失成本的基础上，构建了生产系统可靠性成本模型。该模型以带有中间缓冲区的二级生产系统为研究对象，以设备状态和缓冲库存量为自变量，以可靠性成本为目标函数。利用随机动态规划方法对模型求解，推导出系统在不同状态下的最优维修策略，为生产线设计和维修计划的制定提供依据。最后，通过实例验证了模型的有效性和可行性。

关键词：生产系统；库存；缓冲区；可靠性成本；维修策略

文章编号：1001-2265(2015)09-0081-05

收稿日期：2014-11-30；修回日期：2014-12-20

基金项目：*安徽省科技厅工程技术研究中心建设计划；安徽省重点实验室建设项目(201106G01015)

作者简介：严正峰(1969—)，男，湖北黄梅县人，合肥工业大学教授，博士，研究方向为设施布局与物流规划，(E-mail)mryzf99@yeah.net。

中图分类号：TH186；TG506

The Study of Maintenance Policy in a Production System with an Intermediate Buffer

YAN Zheng-feng，LIU Meng

(School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009,China)

Abstract：To guarantee continuity and decrease maintenance cost of a production system, a dynamic selection method of maintenance policy based on Markov decision was put forward. On the basis of the comprehensive consideration to the cost of operating, inventory, maintenance and the cost due to the lost production, a reliability-cost model was established. The model took the secondary production system as the research object, equipment condition and the buffer inventory as independent variables, reliability-cost as objective function. The best maintenance policy in different conditions of production system was derived by method of stochastic dynamic programming, the model can provide basis for design of production line and scheduling the maintenance plan. The example verification proved the effectiveness of the model.

Key words： production system; inventory; buffer; reliability cost; maintenance policy

0引言

随着科学技术的发展，生产系统的结构变得日益复杂，故障损失也越来越大，因此生产系统的可靠性逐渐受到人们的重视。日常生产活动中，生产系统中的设备不可避免地要出现故障，重大设备故障引起生产系统长时间停顿，给高速运行的生产系统带来重大的经济损失[1]。生产系统中增设缓冲区可以将设备—设备之间的“刚性连接”转变为设备-缓冲区—设备的“柔性连接”，从而减少单台设备故障造成整个生产系统停止运行的状况。以缓冲区库存量和设备状态为依据，制定合理的维修计划，能够有效降低设备故障率，提高生产效益及生产系统的稳定性。

缓冲区库存量和设备维修时机的动态关系研究具有一定的理论难度和较高的实用价值，为此激发了一大批研究者展开这一问题的研究，并取得了许多阶段性成果。Douer and Yechiali[2]以设备长期运行的期望成本最小化为目标函数，确定了单台设备的最佳预防维修周期；Van der Duyn Schouten and vanneste[3]等人以串联生产系统中的单台设备为研究对象，考虑了设备失效率的变化，用嵌入法制定了以设备服务时间和缓冲库存量为基础的预防维修策略，并证明了该方法的整体最优性。Kyriakidis, Dimitrakos and Karamatsoukis[4-6]等以设备状态和缓冲库存量为依据，分别考虑了设备维修策略和下级缓冲区、上级缓冲区库存量的关系，以设备运行成本最低为目标函数确定了设备修复后最优的等待时间。Yevkin O, Krivtsov V[7]以失效率为Weibull分布的设备为例，建立了设备的更新函数，用改进的蒙特卡洛方法求解出维修量最小的维修方法。Borrero J S, Akhavan-Tabatabaei R[8]对设备状态的退化和缓冲库存量进行了量化，以设备长期运行的折扣成本最小化为目标函数，建立了两个不同的优化模型，制定了单台设备的最优维修策略。李同玲[9]将预防性维修问题和生产调度作为一个整体进行研究,主要研究了关于预防性维修的生产调度问题。对该问题设计了一个遗传算法进行求解。染色体为工件序列和机器序列,针对此问题设计了最先适配启发式方法确定各工件的最优时间表并作为遗传算法的解码。孙凯彪等[10]研究了周期性维护和决策维护。对于周期维护最小化时间表长问题,证明了经典的FFD算法是一个很好的启发式算法,并且得到了该算法的一个上界对于决策维护最小化总完工时间问题,分析了SPT算法的界。特别地,对于单机并且机器仅需要2次维护的情况,给出SPT算法的界不超过11/9。韩帮军等[11-12]提出了等效役龄的概念，建立了预防维修周期间故障率的递推关系式，以生产系统中的单台设备为对象建立可靠性成本模型，并用遗传算法对模型进行了优化。盛天文等[13]为解决寿命型设备在基于可靠度的预防维修下的经济维修策略问题，提出一种基于可靠度和经济性，求解维修周期和维修时间策略的方法。综上所述，缓冲库存量的控制对上下级设备的维修策略的制定有重要影响，目前研究大多以单台设备为对象，本文将同时考虑缓冲区和其上下级设备的约束关系，从系统整体的角度考虑设备运行成本和维护成本，制定具体维修策略。

本文以带有缓冲区的二级生产系统为研究对象，并将其抽象为可靠性框图模型，构建生产系统可靠性成本函数，利用马尔可夫决策理论确定生产系统中设备状态和缓冲库存的最优匹配。模型能够根据设备工作状态和缓冲库存量确定最优的维修策略并指导现场的维修调度。

1模型表达

1.1马尔可夫决策理论

在视情维修方法下，马尔可夫决策理论是设备劣化和维修工作建模应用最广泛的工具[14]。一般来说，用几个离散的状态来描述设备的劣化状况比如一个连续的标量更具有可行性[15]。马尔可夫决策问题的解称为方法(policy)，是从状态集合到动作集合的一个映射，即π:S→A。按照方法解决问题的过程是，首先智能体需要知道当前所处状态S，然后执行方法对应的行动π(S),并进入下一状态，重复此过程直到问题结束。最优方法记为π*,对应值函数为V*,称为最优值函数。通常,当一个方法π满足对状态S,有V*(S)-Vπ(S)≤ξ时,我们称π为状态S处的ξ最优方法，当π对问题所有状态均满足上述条件时，称其为问题的ξ最优方法[16]。

1.2生产系统基本模型和状态分析

以带有缓冲区的二级生产系统为研究对象，不考虑生产系统上级缓冲区的物料短缺和下级缓冲区的物料堵塞情况。生产系统中设备M1以效率d1生产工件并运送至B1储存，M2以效率d2从缓冲区B1获取工件(d1≥d2)，不考虑工件在M1和B1，B1和M2之间的运送时间。如图1所示。

图1生产系统可靠性框图模型

随着设备M1、M2役龄的增加，其失效率也将增大，可以定期对设备状态进行检查评估并将其分为m+2个状态，以0代表设备的全新状态，无任何磨损。1,2···,m代表设备磨损程度逐渐增加的过程，但仍可以正常工作。m+1代表设备处于失效状态，必须进行故障维修。设备由ξ时刻的状态i转移到ξ+1时刻的状态i′的概率为pii′,因设备处于被动维修状态,所以i′≥i。

对设备可以采取的维修方式u∈{0,1,2}，u=0代表不对设备进行维修活动，使其以现有状态继续工作，u=1代表对设备进行预防维修，u=2代表对设备进行故障维修。预防维修和故障维修的维修时间均服从几何分布，且其修复率为定值。当设备处于状态1,2···,m时，可以对设备采取维修方式u=0，也可以采取维修方式u=1，当设备处于状态m+1时，必须采取维修方式u=2即故障维修。

生产系统的状态由设备M1的状态i,缓冲区B1的库存量x和设备M2的状态j决定，即:

S=(i,x,j)

其中：

i∈{0,1,2…,m,m+1,PM},x∈{0,1,2,…,K},

j∈{0,1,2…,m,m+1,PM}。

1.3可靠性成本函数

可靠性成本指生产系统处于任意状态下的运行成本Cij，缓冲区库存成本h·x (单位库存成本h和库存量x的乘积)，预防维修成本Cp，故障维修成本Cf和停机造成的生产损失成本Cl的总和(可靠性成本函数可参考文献[4,6,7,13])，所以可靠性成本函数为：

Cs=Cij+h·x+Cp+Cf+Cl

(1)

当生产系统处于状态S=(i,x,j)时，如对M1进行维修需要考虑M1的停机损失成本及缓冲库存B1不能满足M2的需求而造成的生产损失，对M2维修需要考虑M2的停机损失成本及缓冲取B1达到最大库存容量K造成的生产损失。生产损失成本等于设备单位时间生产损失量与停机时间的乘积。即：生产损失成本。

Cl=d1·t1+d2·t2

(2)

其中，t1表示设备M1的停机时间，t2表示设备M2的停机时间，d1,d2分别表示设备M1、M2的生产率。将(2)式代入(1)式可得：

Cs=Cij+h·x+Cp+Cf+(d1·t1+d2·t2)

(3)

设备预防维修和故障维修时间均服从几何分布，假设设备修复率为a，则修复所用时间t的概率p(t)=a·(1-a)(t-1)。

2维修策略的制定

0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

(4)

其中：

(5)

其中：

(6)

其中：

结合公式(4)，(5)，(6)，可得出引理1。

引理1：对任意n=0,1,2,···有

(1)

0≤x≤K,0≤j≤m

(2)

0≤x≤K,0≤i≤m

(3)

0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

(4)

0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

参考文献证明过程可[7]中lemma1。

参考文献令Cα(i,x,j)为初始状态折扣成本的最小期望值，其中(i,x,j)∈S，由[5-7]可知

(7)

且存在非负实数B满足：对所有(i,x,j)∈S且α∈(0,1)有

|Cα(i,x,j)-Cα(i,x*,j)|≤B,x*∈(0,m)

(8)

证明详见文献[7]中lemma3。(7)、(8)式表明存在(i,x,j)∈S有常数g满足：

g,C((i,PM),x,(j,PM))},0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

(9)

C(m+1,x,j)=min{α·a′·C(0,min(x-d2·t,0),j)+α·(1-a′)·

C(m+1,min(x-d2·t,0),j)+h·x+Cm+1,j+Cf1+Cl-g,

C(m+1,x,PM)},0≤x≤K,0≤j≤m,

(10)

C(i,x,m+1)=min{α·b′·C(0,max(x+d1·t,K),j)+α·(1-b′)·

C(i,max(x+d1·t,K),j)+Cf2+Ci,m+1+h·x+Cl-g,

C(PM,x,m+1)},0≤x≤K,0≤i≤m,

(11)

结合引理(1),(2),(3),(4)和公式(9)，(10)，(11)有以下结论：

存在(i,x,j)∈S 满足：

C(PM,x,j)≤C(i,x,j)0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

C(i,x,PM)≤C(i,x,j)0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

C(m+1,x,PM)≤C(m+1,x,j)0≤x≤K,0≤j≤m

C(PM,x,m+1)≤C(i,x,m+1)0≤i≤m,0≤x≤K

3实例验证

为了验证以上结论的正确性，现给出以下实例进行分析验证。以汽车离合器盖及压盘总成装配线中综合性能检测机和平衡机构成的生产系统为例，综合性能检测机对离合器盖及压盘总成进行综合性能检测，检测完成后通过机械装置将离合器盖及压盘总成搬运至在制品运输轨道B1，等待平衡机对其进行平衡测试，详见图2。

图2　二级生产系统模型

令m=10,当i,j∈(0,m)时,Cij=0.3(i+j),当i=PM或m+1时Cij=0.3j,当j=PM或m+1时Cij=0.3i,缓冲区B1最大库存量K=15,综合性能检测机的预防维修费用Cp1=1.8,修复率a=0.98,故障维修费用Cf1=2.1,修复率a′=0.95,平衡机的预防维修费用Cp2=2.1,修复率b=0.96,故障维修费用Cf2=3.0,修复率b′=0.94。考虑到设备状态衰退的平稳性(详见参考文献[4]中4.Stationary deterioration),可令Pj,j+1=(m+2-j)-1,h=0.2,d1=d2=0.5。因为常数g不影响维修策略的选择，为计算简单，此处令g=0。把以上参数代入式(9)~(11)，得到该生产系统中设备的最优维修策略。在matlab7.0环境下利用随机动态规划方法[17]对模型求解可得C(i,x,j)图像，如图3所示。

图3　生产系统可靠性成本效果图

且有以下结论：

(1)当x≥4,8≤i≤10且j≤7时,

C(PM,x,j)≤C(i,x,j)

(2)当j=11,7≤i≤10且x∈(12,15)时,

C(PM,x,m+1)≤C(i,x,m+1)

(3)当x≥4,8≤j≤10且i≤6时,

C(i,x,PM)≤C(i,x,j)

(4)当i=11,7≤j≤10且x∈(0,3)时,

C(PM,x,m+1)≤C(i,x,m+1)

(5)当i,j∈(0,10),|i-j|≤2,|i+j|≥14

且x∈(0,15)时,

C(PM,x,PM)≤C(i,x,j),

C(PM,x,PM)≤C(PM,x,j),

C(PM,x,PM)≤C(i,x,PM)

结论(1)、(2)表明对综合性能检测机进行预防维修时生产系统的可靠性成本小于生产系统当前状态的可靠性成本，即生产系统当前状态下的最优维修策略是对综合性能检测机进行预防维修，详见图4。结论(3)、(4)表明对平衡机进行预防维修时生产系统的可靠性成本小于生产系统当前状态的可靠性成本，即生产系统当前状态下的最优维修策略是对平衡机进行预防维修，详见图5。结论(5)表明同时对综合性能检测机和平衡机进行预防维修时生产系统的可靠性成本小于系统当前状态下的可靠性成本，小于单独对综合性能检测机或平衡机进行预防维修时的可靠性成本，即生产系统在当前状态下的最优维修策略是同时对综合性能检测机和平衡机进行预防维修，详见图6。

图4　对综合性能检测机预防维修

图5　对平衡机预防维修

图6　同时对综合性能检测机和平衡机预防维修

4结论

针对传统制造系统维修策略研究中未全面考虑系统连续性和可靠性成本的问题，提出一种带有缓冲区的生产系统设备维修策略研究方法。构建了基于马尔可夫理论的可靠性成本模型，并详细推导出系统在不同状态下的可靠性成本计算公式。实例验证部分以具体生产系统为例给出了最优维修策略，验证结果表明生产系统维修策略是状态阈值问题。本文的研究对于带有缓冲区的生产系统设备维修计划的制定具有一定的指导作用；可靠性成本模型对降低维修成本，提高生产系统的生产率和连续性有实践价值。在后续的研究工作中，将重点考虑当设备生产率随设备状态的衰退发生变化，设备在不同衰退程度下修复率发生变化的情况下，如何制定生产系统维修策略。

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(编辑李秀敏)