采用波叠加法技术求解加肋板的辐射声功率

刘 宝，王德石，周奇郑

(海军工程大学，武汉 430033)

采用波叠加法技术求解加肋板的辐射声功率

刘 宝，王德石，周奇郑

(海军工程大学，武汉 430033)

波叠加原理提供了计算加肋板辐射声功率的方法。首先对结构的动力方程进行Fourier变换或者单元体积速度匹配，获得结构离散单元的体积速度。然后根据结构与介质的交界面相容性条件，建立虚拟声源强度与单元体积速度的代数方程。进而求解虚拟声源的强度，获得计算结构辐射声功率的两种方法。以求解加肋简支矩形板的声功率为例，其结果与解析法获得的结果进行了对比，表明这两种方法都同样具有较高的计算精度。相对于利用Fourier变换的方法，采用单元体积速度匹配原则的方法不需要计算结构的振动模态耦合矩阵，计算简单直接，而且行之有效。

声学；波叠加；辐射声功率；加肋板

确定结构的辐射声功率一直是声学研究中关注的主要问题之一。对于形状规则简单的结构，比如球壳、简支矩形板等，可以采用解析方法求解结构的声辐射特性规律，进而确定其声辐射功率。而对于较复杂的结构，通常需要运用数值方法求解，采用有限元(FEM)、边界元(BEM)、有限元/边界元(FEM/BEM)等对结构表面振速和声压等参数进行计算[1－6]，进而获得结构的辐射声功率。但上述方法都存在不足，如边界元存在着表面奇异积分、特征频率处解的非唯一性等固有问题。为了克服上述方法的不足，Koopmann提出了波叠加法[7，8]，通过在结构内部布置虚拟声源等效模拟结构外辐射声场，利用辐射体表面的法向振速获得虚拟声源的强度，进而获得结构的辐射声功率等特性参数。由于声源所在的曲面与结构的表面不重合，从而避免了奇异性积分问题，计算上简单，易于实现。孙超、何远安等利用波叠加法分析了圆柱壳在不同激励下声场的重建效果[9]。向阳、Koopmann通过实验获得结构表面某些点振速以后，利用该方法计算了刚性球面上的活塞源、脉动球源的表面声压，并进一步讨论了单元、节点数目以及形状对算法效率与精度的影响[10,11]。本文以加肋的简支矩形有障薄板为例，首先对结构的动力方程进行Fourier变换或者体积速度匹配，获得结构的振动模态待定系数；然后通过线性化的欧拉方程建立虚拟声源强度与振动模态系数的代数方程，求解虚拟声源强度，获得结构的辐射声功率。本文介绍了基于单元体积速度匹配的波叠加原理，并给出了利用该原理计算薄板平均辐射声功率的波叠加法。文中采用波叠加法与模态展开法相结合的方法计算结构的平均辐射声功率，是一种半解析半数值的计算方法，并讨论了该方法对于离散单元数目的敏感性。

1 加肋板结构模型及表面振速求取

1.1 利用Fourier求取单元体积速度

设板的密度为ρs，沿x、y轴方向的长度分别为a、b，板的厚度为h，沿垂直于x方向布置N′条肋骨，肋骨的横坐标分别为；薄板置于无限大障板上，空间中充满密度为ρf的空气。计算结构振动响应时，板结构采用薄板理论，肋骨结构采用Eular-Bernoulli’s梁理论。将肋骨对基板的作用力模拟成线激励的作用，并充分考虑肋骨与基板之间的横向力以及弯矩作用力。假设肋骨与肋骨之间无相互作用，且肋骨与基板组合的结构不构成箱体，肋骨不产生声辐射。结构模型如图1所示。

图1 加肋板坐标示意图

由于与板接触的介质为轻介质空气，因此，忽略介质对板所产生的声压，即不需要考虑板与介质的声振耦合作用。由文献[12]可知，在垂直于板面的外力Fout作用下(式中省略力、挠度等随时间的变化量e-iωt)，加肋板的动力方程为

式中w为板的挠度。为板的弯曲刚度，E为板的弹性模量，ν为板的泊松比。表示板单位面积的质量。qs和κs分别表示单位长度的第s条肋骨与板相互作用的横向剪力与弯矩。xs表示肋骨所在位置的横坐标。

为了求解(1)式结构的振动响应，需要求解未知量qs，κs，注意到未知量qs，κs反映的是基板与肋骨之间的相互作用。肋骨在受迫振动中发生弯曲振动和扭转振动，其振动方程[13]为

式中Us(x,y)表示肋骨的横向位移，θs(x,y)表示肋骨的转角，EsIs表示肋骨的抗弯刚度，GsJs表示肋骨的扭转刚度，ρs和As分别表示肋骨的密度和截面积。Ips表示肋骨的极惯性矩。

由于肋骨与基板整体振动，因此肋骨与基板在连接处满足位移和力学的连续性条件，即

对于一个简支矩形薄板，板的挠度可以表示为板的振动模态的线性叠加

上式写成矩阵形式为

式中Amn为相应于振动模态的待定系数。ψmn(x,y)=sin(mπxa)sin(nπy)表示板的(m,n)阶振动模态。

将上式代入(4)式可将Us(x,y)、θs(x,y)表示为板的振动模态展开的形式，可得

将(7)式代入(2)式和(3)式并合并同类项，可得

将(8)、(9)代入(1)式，并且将位移展开为振动模态和函数的形式，通过对方程进行Fourier变换可得

上式表示成矩阵形式为

式中矩阵M为mn×mn阶矩阵，其所对应元素为

矩阵C为mn×1阶矩阵，它的相应元素为

矩阵Ds为mn×mn阶矩阵，它的相应元素为

矩阵Τs为mn×mn阶矩阵，其所对应元素为

矩阵Νs为mn×mn阶矩阵，它可以表示为如下的矩阵形式

矩阵Rs为m×m阶矩阵，其所对应的元素为

矩阵Ps为mn×mn阶矩阵，它可以表示为如下的矩阵形式

矩阵Ss为m×m阶矩阵，其所对应的元素为

对(11)式的矩阵进行逆运算，即可计算出加肋板的振动模态待定系数列阵A，代入(6)式则可确定板任一点的挠度。

由(6)式可知矩形薄板板面振速w˙可以表示为

将矩形薄板的表面均匀地离散为N个矩形单元，记第μ(1≤μ≤N)个单元的体积速度uμ为其上的法向速度之和，即

将(12)式代入(13)式中，即可获得单元μ的体积速度uμ的表达形式为

上式表示成矩阵形式为

由上式即可获得体积速度列阵u。

1.2 利用单元体积速度匹配原则求取单元体积速度

为了与利用Fourier变换求取的振动模态系数Amn相区别，采用A′mn表示利用单元体积速度匹配原则求取的振动模态系数。同样采用A′分别表示利用单元体积速度匹配原则获得的振动模态待定系数列阵。

将(2)式和(3)式代入(1)式后，所得式子两边对时间t求导，可得

为了方便与利用Fourier变换求取的体积速度列阵u进行比较，同样均匀离散结构表面为N个矩形单元。将(16)式两边在第μ(1≤μ≤N)个矩形单元上进行积分，可得

将上式表示为(13)式体积速度积分的形式，可得

离散的单元表面振速总可以分为类似活塞的声源部分和零体积振速的声源部分。类似活塞的声源部分反映的是振体向远场辐射声功率的能力，而零体积振速的声源部分反映了近场处动能和势能间相互转化的能力。因此，辐射的能量主要来自类似活塞的声源部分。将单元上的法向振速取为定值即是仅考虑类似活塞的声源部分所辐射的能量，这种简化能够达到准确预测远场声压以及准确计算结构辐射声功率的目的，此即体积速度匹配原则[14]。

由体积速度匹配原则可知，在不获得结构表面声压精确值的前提下，如果每个离散单元上的速度在平均情况下可以得到满足，那么就可能获得辐射声功率的精确值。因此，考虑用板单元的体积速度代替板实际的法向速度，将其作为边界条件，确定虚拟声源函数的待定系数，从而准确计算结构的声辐射功率。即如果每个离散单元都满足(18)式，则通过求取虚拟声源强度，可以准确计算结构的辐射声功率。下面通过将板的速度w˙(x,y)表示为结构振动模态和函数的形式，来推导结构振动模态系数的具体计算公式。

将(17)式中板的速度w˙(x,y)表示为振动模态和函数的形式，可得

由(21)式即可计算出加肋板的振动模态待定系数列阵A′，进而代入(13)式中获得体积速度列阵u。

2 基于体积速度匹配的波叠加法

由体积速度匹配原则可知，求解板的辐射声功率在不获得板面声压精确值的前提下，如果板面每个划分单元上的速度在平均情况下可以得到满足，那么就可能求得远场声压和辐射声功率的精确值。因此，考虑用板单元的体积速度代替板实际的法向速度，将其作为边界条件，从而达到准确预测结构声辐射功率的目的。

基于体积速度匹配原则的波叠加法采用虚拟声源函数的组合来描述场点r=(x,y,z)处的声压[14]，在结构内部布置与离散单元数目相同的N个虚拟声源，则结构外场点r处声压可以表示为

式中αv，βν为已知常数，由文献[14]可知，对于镶嵌在无限大障板上的薄板单元，αν=1，βν=0。则作用在板面上的声压为

式中格林函数取为自由空间格林函数[14]，表达式为

由薄板与介质的交界面相容性条件可知

将(22)式关于声压p的虚拟声源函数的组合形式代入上式可得

将上式代入(13)式，即在板面单元μ上对振速进行积分，可得

上式写成矩阵形式为

式中U为N×N阶系数矩阵，矩阵的每一个元素由下面的方程确定

由于离散单元的数目与虚拟声源数目相同，则通过矩阵的逆运算可以获得

将利用Fourier变换或者单元体积速度匹配原则求得的列阵u代入上式即可求得虚拟声源强度矩阵s。

3 板的平均辐射声功率计算公式

由文献[14]可知，无限大障板上结构的平均辐射声功率计算公式为

上式表示成矩阵形式为

式中Η表示矩阵的共轭转置。j为N×N阶的矩阵，其相应ji,j=j0(kRij)。

当Rμν=0时，由于声辐射功率为有限值，则j0(kRμν)不能取为无穷大。又由于

因此当Rμν=0时，取j0(kRμν)=1。将求得的矩阵s代入(30)式，即可计算出结构的平均辐射声功率。

4 案例分析

为了说明这两种计算方法的有效性，选取一个简支矩形有障薄钢板和两根相同的平行于y轴的简支钢肋骨组成的加肋板为研究对象进行说明。薄板的长度a=1 m,宽度b=0.75 m，厚度h=0.003 m。肋骨到y轴的距离分别为0.28a、0.72a，肋骨高hp=0.004 m，截面面积为As=2×10-5m。材料密度为ρs=7 800 kg/m3，泊松比υ=0.3，弹性模量E=2.16×1011N/m2，剪切模量声速c=343 m/s，不考虑板的阻尼系数，参考声功率Wf=10-12W。设板在几何中心处受到一垂直于板面的集中载荷作用，载荷的幅值为1 Ν。

布置三种数目的虚拟声源计算该板的辐射声功率，第一种、第二种、第三种虚拟声源的数目分别为5×5（前一个数字表示x方向布置的行数，后一个数字表示y方向布置的行数）、10×10、15×15。利用体积速度匹配方法计算结构辐射声功率时采用等参矩形单元对结构进行离散，离散的单元数目与虚拟声源数目相同，每个虚拟声源位置取于单元的几何形心处。

采用上述三种数目的虚拟声源用本文介绍的两种计算方法进行了声功率求取，并将计算所得结果与文献[15、16]中解析法获得的结果进行了对比。图2、图3、图4分别为第一种、第二种、第三种虚拟声源布置情况下采用文中两种方法计算出的平均辐射声功率和解析法获得的平均辐射声功率的对比图。

图2 5×5的虚拟声源计算结果与解析法计算

图3 10×10的虚拟声源计算结果与解析法计算结果的对比图

图4 15×15的虚拟声源计算结果与解析法计算结果的对比图

图中表明，当频率较低时(f≤360 Hz时)，使用三种不同数目的虚拟声源计算结果几乎相同。当频率f=360 Hz、185 Hz附近时，采用本文方法计算出的平均辐射声功率会出现较大偏差，当频率f≥360 Hz时，5×5个虚拟声源计算开始产生较大误差。随着虚拟声源数目从5×5增加到10×10，当频率f≥360 Hz时，采用本文方法计算出的平均辐射声功率不会出现偏差较大情况。除去频率范围在f=360 Hz、185 Hz附近时情况，采用本文方法计算产生的最大误差在表2中列出。图3、图4表明当采用更多虚拟声源时，采用波叠加计算法得到的辐射声功率可以在相对较高的频率处很好地收敛于解析结果，这说明了波叠加法在较广频率范围内的适用性。

表2 虚拟声源不同个数最大相对误差比较表

5 结语

通过上述的研究结果表明，本文采用的两种波叠加计算法在获得结构表面振速的情况下，通过求解虚拟声源强度可以较好地估算辐射体表面的辐射声功率。从加肋板的算例可以看出，波叠加计算法相对于其他算法具有以下的优点：

（1）相对于边界元法，它无需处理奇异性问题，计算得到简化；

（2）在求解结构的辐射声功率时，不需要计算结构的辐射声阻抗，计算效率得到提高；

（3）波叠加计算方法具有较广的频域适用性，在低频范围内只需要较小数目的离散单元就可以获得较高的计算精确度；

（4）相对于利用Fourier变换的计算方法，利用单元体积速度匹配原则的计算方法不需要求解振动模态耦合矩阵，计算简单直接。

波叠加法不仅可以与解析法相结合，形成一种求解结构辐射声功率的半解析半数值的计算方法，该方法还可以与有限元，边界元等方法相结合，形成一种计算任意形状结构辐射声功率的有效工具，作者将继续从事该方向的研究。

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Wave Superposition MethodApplied to the Calculation of Radiation Sound Power of a Stiffened Plate

LIU Bao,WANG De-shi,ZHOU Qi-zheng
(Naval Engineering University,Wuhan 430033,China)

A method for calculating the radiation sound power of a stiffened plate was proposed using the principle of wave superposition.First of all,Fourier transform or element volume-velocity match was applied to the structural dynamic equation,and the volume velocity of the structure elements was obtained.According to the compatibility condition between the structure and the medium,a set of algebraic equations was established for calculating the virtual sound source intensity and the element volume velocity.Furthermore,the virtual sound source intensity could be used to compute the radiation sound power of the structure.Two methods were provided which can be used to compute the sound power of the stiffened plate without computing the surface pressure.As an example,the structural radiation sound power of a rectangular simplysupported baffled plate was computed.The result was compared with that of the analytical solution.It is shown that both the methods have high precision.Since the method based on the element volume velocity matching principle does not need to calculate the vibration modal coupling matrix,it is more straightforward and simple than the method using Fourier transform.

acoustics;wave superposition;radiation sound power;stiffened plate

TB132

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.01.005

1006-1355(2015)01-0023-06

2014－06－05

国家自然科学基金资助项目（11372350)；海军工程大学青年基金资助项目（HGDQNSQJJ13006)

刘宝(1989－)，男，硕士研究生，河南新乡人，主要从事结构振动与噪声控制研究。

王德石，男，博士生导师，山东龙口，教授。E-mail:abcd3042454@163.com