基于Nambu泛函的彩色图像正则化重建

韩玉兵，金文清，徐梦娜

（南京理工大学 电子工程与光电技术学院，江苏 南京210094）

0 引 言

在图像处理、视频处理和计算机视觉等领域，经常遇到图像去噪、图像反卷积、图像插值和超分辨率重建［1］等问题，为方便起见，本文统称为图像重建，它们都属于病态反问题的范畴，需要进行正则化处理，比如对于采用标准Tikhonov正则化的方法，其存在的不足之处就是会使得图像边缘模糊不清。为了保证较好的边缘细节，文献 ［2］中提到的总变分 （total variation，TV）正则化的方法对此问题进行了改善，其能够保持图像边缘的相关信息。近年来小波 （wavelet）分析作为一种多分辨率处理的时频分析工具，因其独特的优良特性，越来越多地应用在图像重建中，文献 ［3］提出了一种将二元树与小波结合的概念，将小波收缩、形态小波等一系列概念结合在一起形成一种新的图像正则化框架。另一方面，相比于灰度图像，彩色图像的不同颜色通道间的信号是高度相关的，存在许多冗余和互补信息，所以彩色图像的信号重建显得更为复杂。通常的图像重建方法都是将这3 个通道分别进行单独处理，然后结合各个通道的结果，但这种方法往往造成通道间不一致和图像边缘色彩抖动等问题［4］。

最近，基于微分流形的图像处理方法得到很大的发展，如Sochen等将图像表示为两个黎曼微分流形间的嵌入映射，引入Nambu泛函表示嵌入流形曲面的 “面积”度量，并提出基于Beltrami流的图像处理框架；文献 ［5］针对去噪问题提出两种Crank－Nicolson半隐式格式LOD （locally one－dimensional）和AOS （additiveoperator splitting），但并没有将该方法应用到图像插值、去模糊和超分辨重建等图像重建场合；王泽龙，Sidi和Wetzler等［6－8］则研究了图像微分流形模型在图像去噪和纹理分割中的应用。

本文主要针对彩色图像的去噪、反卷积、插值和超分辨重建，提出一种基于Nambu泛函的微分流形彩色图像重建正则化模型，具体内容组织将在下文中进行论述。

1 图像重建的正则化模型

图像在外界环境各式各样的影响下，会受损降质，我们用一数学模型来表示这一过程

式中：Y——受损图像；X——原图像；N——在受损过程中随机产生的高斯白噪声，设其期望为0、标准差为σ；H——降质算子，降质算子的不同就代表受损的方式不同。当H＝I时，即为一个基本的去噪模型；当H＝B 时，其中B 是模糊卷积算子，即为一个去模糊或者是反卷积模型；当H＝D 时，其中D 是降采样算子，即为一个图像插值模型。我们的目标就是尽可能将受损图像Y 恢复为原图像X，此过程即为图像重建。

图像重建过程是一个病态问题，所谓病态问题就是观测值的微小变动将会导致解的巨大变动。这种病态现象是我们必须得克服的。然而也必须使所求解最大程度接近真实解，为了同时达到这两个要求，即需要找到一个平衡点。为了处理这个问题，找到一个叫正则化［9，10］的方法。基于正则化处理的图像重建可归结为如下泛函的极小化问题

图像处理是个病态问题，对于病态的研究主要是两个处理点：一是上式中正则项R（X）的确定，用来衡量图像信号的某种奇异性，该项的确定对于恢复图像的细节起着相当大的作用；二是正则化参数的确定。本文将针对第一个问题展开研究，提出一种基于Nambu泛函的彩色图像正则化模型，并将其运用到彩色图像的各种信号重建中。

2 基于Nambu泛函的彩色图像重建正则化模型

引入两个黎曼微分流形∑，Μ，且其维数dim∑＝m，dimΜ＝n，∑，Μ的局部坐标为（σ1，…，σm），（x1，…，xn）。设有∑，Μ上的度量为（guv），（πij），两流形的坐标间距分别为和为便于以下说明，记G ＝（guv）u，v＝1，…，m，Π ＝（πij）i，j＝1，…，n，g ＝｜G｜，G－1＝（guv）u，v＝1，…，m。由微分流形的经典理论可以知道，嵌入度量Π ＝（πij）和导出度量G ＝（guv）之间具有如下拉回 （Pullback）关系：，其中Θ ＝（Θ1，…，Θn）：∑→M 为一嵌入映射。

下面简单介绍彩色图像的微分流形模型，彩色图像是一个二维流形∑到五维空间MR5的嵌入映射Θ，即

不难看出，当i＝1时，即为灰度图像处理模型。观察可以发现，式 （5）的面积微元由两大部分组成，一部分是各自通道的项，另一部分是交叉项该项体现了不同通道之间的相互影响，而Nambu泛函则可以使不同通道之间的影响最小，从而较好的解决彩色图像的边缘色彩抖动问题。

通过彩色图像的Nambu泛函和微分流形模型，从而探究彩色图像的信号重建问题。假设各通道的降质机理相同，其降质模型为

式中：Ni——不同通道的观测噪声，i——3 个通道指标，并都假设其是服从分布Ni～N（0，σ2I）的高斯白噪声。将其进行正则化处理后归结为下列泛函极小化问题

3 数值计算

本节讨论优化问题式 （7）的数值计算求解，这是一个包含微分和积分算子的高度非线性方程。首先给出如下引理。

采用标准的变分原理［11］，可得泛函J（X）的Euler－Lagrange方程为

借鉴邻近算子的前向后向迭代算法，引进参数γ ＞0，式 （10）等价于

经过整理，可得到

其中Ui＝Xi＋γ（HTYi－HTHXi）为前向迭代步。显然式（12）等价于如下极小化问题的Euler－Lagrange方程

上式是一个简单的图像去噪问题，关于它的求解，引入一个人工变量t，将式 （12）与一组偏微分方程嵌入在一起，化成以下的形式

此处我们借鉴文献 ［5］的方法，对混合偏导采用显式格式进行离散，对非混合偏导采用隐式格式进行离散。并采用LOD 算子分裂方法得到如下的半隐式Crank－Nicolson后向迭代格式

综上可得优化问题式 （7）的数值求解算法：

算法：基于Nambu泛函的彩色图像正则化重建算法：

步骤1 设定迭代初始值Xi（0），迭代次数k＝0；

步骤2 进行前向迭代得Ui（k）＝Xi（k）＋γ［HTYi－HTHXi（k）］；

步骤3 根据式（15），进行半隐式后向迭代得Xi（k＋1）；

步骤4 判断是否收敛或满足停止条件，如果不满足则令k＝k＋1转步骤2；

注：上述步骤3中可以迭代直至收敛，也可以适当迭代数次即可，仿真结果证明迭代较少次就具有良好的收敛效果。

4 实验研究

选用标准的Lena、Baboon、Pepper和Couple彩色测试图像研究图像的去噪、反卷积、插值和超分辨率重建。图像重建方法采用基于Nambu泛函的正则化方法、基于小波正则化方法［3］、基于TV 正则化方法［2］以及双三次插值方法等。原始图像大小为256×256，图像反卷积和超分辨率重建中的模糊算子为标准差为1的7×7高斯模糊核，图像插值和超分辨率重建中的宽和高方向的降采样因子为2。将图像归一化为 ［0，1］，所有降质模型中均添加均值0、标准差σ＝0.02的加性高斯白噪声。重建评价指标采用常见的峰值信噪比PSNR。

图1为图像去噪重建结果，从上至下，从左至右依次为原始图像，降质图像，小波正则化、TV 正则化和Nambu泛函正则化方法的重建图像，其中Nambu泛函正则化模型中的正则化参数为0.00045，嵌入度量参数为β1 ＝β2 ＝β3＝50，小波和TV 正则化参数为0.04，小波变换层数为3。小波正则化去噪图像、TV 正则化去噪图像和基于Nambu泛函正则化去噪图像的PSNR 分别为35.9761dB、35.6685dB和36.1282dB。

图1 图像去噪重建结果

图2为图像反卷积重建结果，从上至下，从左至右依次为原始图像，降质图像，小波正则化、TV 正则化和Nambu泛函正则化方法的重建图像，其中Nambu泛函正则化模型中的正则化参数为0.000035，嵌入度量参数为β1 ＝β2＝β3 ＝30，小波变换层数为3，小波正则化参数为0.01，TV 正则化参数为0.02。小波正则化、TV 正则化和基于Nambu泛函正则化重建图像的PSNR 分别为24.2548 dB、24.0324dB和24.8336dB。

图3为图像插值重建结果，从上至下，从左至右依次为原始图像，降质图像，小波正则化、TV 正则化、双三次插值和基于Nambu泛函正则化模型的插值重建图像，其中Nambu泛函正则化模型中的正则化参数为0.00045，嵌入度量参数为β1＝β2 ＝β3 ＝50，小波变换层数为3，小波正则化参数为0.06，TV正则化参数为0.02。小波正则化、TV 正则化、双三次插值和基于Nambu泛函正则化重建图像的PSNR分别为26.7588dB、27.0232dB、26.5684dB和27.4687dB。

图4为图像超分辨率重建结果，从上至下，从左至右依次为原始图像，降质图像，小波正则化、TV 正则化、双三次插值和基于Nambu泛函正则化的超分辨率重建图像，其中Nambu泛函正则化模型中的正则化参数为0.00035，嵌入度量参数为β1 ＝6，β2 ＝40，β3 ＝10，小波变换层数为3，小波正则化参数为0.01，TV 正则化参数为0.02。小波正则化、TV 正则化、双三次插值和基于Nambu泛函正则化超分辨率重建图像的PSNR 分别为28.8675dB、29.8068 dB、29.3259dB和29.8123dB。

由图1至图4可以看出：对于典型的图像去噪、图像反卷积、图像插值和图像超分辨率重建，相比小波正则化、TV 正则化和双三次插值方法，本文提出的基于Nambu泛函的图像正则化重建方法具有更高的PSNR；从主观视觉上看，本文方法具有很强的图像去噪和细节保持性能，重建图像显得更加光滑柔和，各个通道间的色彩一致性保持很好，从而能够有效克服彩色图像的边缘色彩抖动。

图2 图像反卷积重建结果

图3 图像插值重建结果

5 结束语

提出一种彩色图像的正则化重建方法，给出基于Nambu泛函的正则化重建框架，详细推导了相应正则化泛函的Euler－Lagrange 方程，采用Crank－Nicolson 半隐式LOD格式对彩色图像的去噪问题进行分裂求解，在此基础上结合邻近算子理论完成彩色图像的反卷积、插值和超分辨率重建问题的数值算法设计。该算法可以方便处理高维图像信号的各种重建问题，能够很好地克服了各通道单独处理时带来的图像边缘色彩抖动问题。实验结果验证了该方法的有效性，重建图像具有良好的去噪和细节保持性能。

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图4 图像超分辨率重建结果

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