探究竖直振动弹簧的角频率与质量的关系——离散化模型

刘晓霞　李 波　杜彩云

(太原五中　山西 太原　030000)



探究竖直振动弹簧的角频率与质量的关系
——离散化模型

刘晓霞李 波杜彩云

(太原五中山西 太原030000)

摘 要：本文建立了弹簧的离散化模型，将弹簧离散化成n段，从弹簧系统的能量出发，构造系统的拉格朗日函数，当n→∞时，得到弹簧振动的角频率的表达式为ω·tan=．

关键词：竖直弹簧振动频率

1引言

质量为m1的弹簧，一端固定，另一端连接一质量为m2的质点的系统(或称为“弹簧加质点系统”)[1]振动的这一经典问题，在很多文献[1～7]中都有讨论．

文献[2]将弹簧简化为一根均匀的弹性杆，用波动方程导出弹簧的振动的角频率满足

文献[3]分析了在水平方向上弹簧质量对振动周期的影响，用波动方程推导出弹簧的振动的角频率与罗蔚茵老师有相同的结论，并用瑞利法讨论了弹簧在水平方向上振动的的基频．

上面讨论的都是水平方向上弹簧的质量对振动周期的影响？那么竖直方向上弹簧的质量对振动角有什么影响呢？

文献[4]用拉普拉斯变换法求解了一端固定，一端与质点连结的弹性杆[5]的振动问题，得出杆的振动的角频率．文献[6]研究了竖直方向上弹簧的振动解，利用波动方程推导得出弹簧的振动的角频率并得出振动方程，讨论了极限情况下的振动解．文献[7]等人研究了竖直振动弹簧的质量对振动角频率的影响，构建了弹簧的连续化模型，从理论和实验两个角度探究了其质量对振动角频率的影响．那么，如果构建弹簧的离散化模型，能否探究出竖直振动弹簧质量对振动角频率的影响？

2弹簧的离散化模型

图1　竖直弹簧谐振子

下面就来求将竖直的弹簧离散成n段，那么弹簧系统振动的角频率与弹簧的质量或者振子的质量有什么关系，当n→∞时，会得出什么的结论？

2.1系统的拉格朗日函数

2.1.1系统的动能

将竖直的弹簧离散成n段，设第一小段弹簧偏离原来位置的位移为u1，第二小段弹簧偏离原来位置的位移为u2……，第n小段弹簧偏离原来位置的位移为un．质量为m2的振子悬挂在弹簧的下端，则它偏离原来位置的位移为un．

弹簧的动能是n小段弹簧的动能之和

(1)

振子的动能是

(2)

则系统的动能是弹簧的动能和振子的动能之和

(3)

2.1.2系统的势能

假设弹簧的上端固定点为势能零点，则可知第一小段弹簧的重力势能是

(4)

第二小段弹簧的势能是

(5)

第三小段弹簧的势能是

(6)

第n小段弹簧的势能是

(7)

则由上可知弹簧的重力势能为

(8)

已经得到弹簧的重力势能，下面来推导弹簧的弹性势能，第一小段弹簧的弹性势能为

(9)

第二小段弹簧的弹性势能为

(10)

第三小段弹簧的弹性势能为

(11)

……

第n小段弹簧的弹性势能为

(12)

则弹簧的弹性势能为

(13)

我们又知道质量为m2的振子的重力势能为

V2=-m2g(l0+un)

(14)

而系统的势能是振子的重力势能，弹簧的重力势能以及弹簧的弹性势能之和，所以

(15)

2.1.3系统的拉格朗日函数

拉格朗日函数L=T-V[8]是位形空间内系统的特征函数，确定了系统的拉格朗日函数，通过哈密顿原理，就可导出系统的动力学方程．则该竖直振动弹簧系统的拉格朗日函数为

(16)

2.2系统的运动方程

2.2.1系统的运动方程

因为拉格朗日方程为

(17)

将式(16)代入式(17)中可得系统的运动方程

(18)

将运动方程后面的常数项消掉，我们设

(19)

将式(19)代入式(18)可得

(20)

2.2.2系统的特征方程

因为式(20)是二阶常系数线性微分方程组，所以设方程组的解为

Un=Ancos(ωt+φ)

(21)

将式(21)代入式(20)，可得

(22)

式(22)视为A1，A2，…，An的方程；要有非零解，系数行列式必须为零

(23)

式(23)为特征方程.

2.3系统振动的角频率

2.3.1系统振动的角频率

为求解式(23)，我们设

则式(23)变为

(24)

通过计算可得递推关系式为

βΔn-1-Δn-2=0

(25)

其中

(26)

又因为

(27)

将式(27)代入式(25)可得

(28)

式(28)经过变换可得

(cosλ-β)tannλ=sinλ

(29)

2.3.2当n→∞时系统振动的角频率

式(29)是离散化模型得出的竖直振动的弹簧的角频率的表达式，要求当n→∞时系统振动的角频率，则

通过对比式(24)和式(27)可以知道

(30)

当n→∞时，则可以得到

(31)

所以可知

(32)

(33)

(34)

将式(29)、(32)、(33)、(34)联立可得

(35)

式(35)所推导出的结论与文献[7]中从连续化模型推导出的结果一致.

3结论

在离散化模型中，将弹簧离散化成n段，从弹簧系统的能量出发，构造系统的拉格朗日函数，代入拉格朗日方程得到系统的运动方程，消去常数项，则运动方程为二阶常系数线性微分方程组．假设方程的解，得到特征方程，进一步求出本征角频率，当n→∞时，得到弹簧振动的角频率的表达式

参 考 文 献

1Weinstock R．Oscillations of a particle attached to a heavy spring：An application of the StieItjes integral．Am.J.Phys,1979,47(6)：508～514

2罗蔚因.关于弹簧振子固有频率的进一步讨论.大学物理,1985,4(11):9～11

3陈镜寰.弹簧振子系统振动的周期.大学物理, 1988,7(12):1～3

4林琼桂.与质点连结的弹性杆的振动.大学物理,2004, 23 (3) :18～24

5M.L.James,G.M.Smith,J.C.Wolford,P.W.Whaley,Vibration of Mechanical and Structural Systems, Harper Collins College Publishers, New York, 1994:27～29

6陈代绶.垂直悬挂质点弹簧系统的振动.大学物理,2007,26 (9):22～26

7刘晓霞,王智.竖直振动弹簧的质量对振动周期的影响.大学物理,2010,29(11):51～54

8管靖.刘文彪. 理论力学.北京.科学出版社，2008.13～14

收稿日期：(2015-02-05)