集合与函数常见考题类型解析

李永武

集合与函数是高中数学的基础知识，也是学好高中数学的基础。大家要想学好这部分知识，理解概念是关键，在掌握概念的基础上，要学会灵活运用。下面介绍这部分的常考题型，供大家参考。

一、集合的基本概念

（1）用描述法表示集合时，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合。（2）集合中元素的互异性容易被忽略，求解问题时要特别注意。（3）分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。

倒1 若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4），且下列4个关系：①a=l，②b≠1，③c=2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是______。

解：若①正确，则②③④不正确，可知b≠1不正确，即b=l，与a=l矛盾，可知①不正确。

若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d=4。由a≠1，b≠l，c≠2，知满足条件的有序数组为（3，2，1，4）或（2，3，1，4）。

若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d=4。由②不正确，得b=l。知满足条件的有序数组为（3，1，2，4）。

若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b-l。由a≠1，c≠2，d≠4，知满足条件的有序数组为（2，l，4，3）或（3，1，4，2）或（4，1，3，2）。

综上所述，满足条件的有序数组的个数为6。

跟踪练习1：已知集合A={a，a+b，a+2b），B={a，ac，ac²}，若A=B，求c的值。

提示：利用集合相等，转化为方程问题来解决。

若a十b=ac，且a+2b=ac²，消去b，则a-2ac+ac²=0。

显然a≠0，否则集合B的元素均为O，与集合中元素的互异性矛盾，所以1-2c+c²=0，得c=l，这时B={a，a，a}，仍与集合中元素的互异性矛盾。

二、集合间的基本关系

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则容易产生漏解。（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn图来直观解决这类问颢。

三、集合的基本运算

（1）-般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况。（2）对集合的运算要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算更简化。

四、函数的概念

函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数。值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同）。

五、求函数的解析式

求函数的解析式的主要方法有：待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

六、利用函数的单调性求参数

已知函数的单调性确定参数的值或范围时要注意两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值。

数的值域为（m，1），所以f（a）+f（b）>2m，f（c）<1，可得2m≥1，即m≥1/2。

综上可知，1/2≤m≤2。

应选A。

跟踪练习6：设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意z∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是_____。

提示：当x≥O时，f（x）=x²，可知f（x）是[0，+∞）上的增函数。又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）是R上的增函数。

对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即对任意x∈[a，a+2]，x+a≥3x十l，即a≥2x十l成立。

因为函数y=2x+1是[a，a+2]上的增函数，所以y=2x+l有最大值2a+5，可得a≥2a+5，a≤-5，即a∈（-∞，-5]。

答案为（-∞，-5]。

七、判断函数的奇偶性

（1）利用定义判断函数的奇偶性。（2）在判断函数奇偶性的运算中，可以转化为判断函数关系式：f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0是否成立。

例7 设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）。

A.f（x）g（x）是偶函数

B.|f（x）|g（x）是奇函数

C.f（x）|g（x）|是奇函数

D.|f（x）g（x）|是奇函数

解：偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数。

应选C。

跟踪练习7：已知y=f（x）是奇函数。

若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（-1）=____。

提示：本题考查奇函数的定义及函数值的求法。

因为f（x）为奇函数，所以f（-1）=-f（1）。

g（1）=f（1）+2 ①。

g（-1）=f（-1）+2 ②。

由①+②得g（1）+g（-1） =4，所以g（-1）=4-g（1）=3。endprint