高精度电容器建模设计

杨 华

(西安电子科技大学CAD研究所，陕西西安 710071)

随着电子科技的发展，芯片的开关速度更快、时钟频率更高、集成度更高、封装体积更小等已成为现代电子产品的主要特征。这样高性能的电子系统需要高品质的电源系统以充分发挥其潜力。解决这一问题的主要途径是设计一个完美的电源分配网络(Power Delivery Network，PDN)［1］为系统提供纯净的电压和电流。在PDN中去耦电容器的精确建模和选择合适的电容器组合至关重要，这已成为近年来的研究重点。

目前，国内电容器厂商几乎均未提供电容器的电路仿真模型或者电容的寄生参数，因此提出一种简易快捷的电容器建模方法十分重要。在对目前电容器建模方法研究的基础上，本文提出了一种基于S参数［2］和矢量拟合的电容器精确建模方法。通过分析矢量网络分析仪(Vector Network Analyzer，VNA)的12项误差模型，设计了一种电容器专用测试夹具和校准件，将测量的电容S参数通过矢量拟合法得到电容阻抗传递函数，与官方提供的电容器离散Z参数进行对比，证实了模型的精确性。此精确的电容器模型是PDN去耦电容器选择算法的基础。由于多数选择去耦电容器的算法得到的去耦方案中电容器种类多、个数多、设计出的PDN阻抗冗余大且计算速度慢，针对上述现状，本文在Larry Smith提出的频域目标阻抗法(Frequency Domain Target Impedance Method，FDTIM)［3］的基础上，基于得到的电容器精确模型提出了最大违背点去耦选电容算法，通过实例验证了此算法设计的电容器去耦网络使用的电容器种类和数目较少，PDN阻抗曲线更加贴近目标阻抗曲线，运行速度较快，能够降低PDN设计的成本，具有较高的实用价值。

1 基于矢量拟合法电容器建模

矢量拟合法是一种稳定且有效的拟合方法。通过拟合曲线得到近似的有理函数，从而可近似计算频域响应［4］。矢量拟合法的优点是对于每次迭代，求解都是一个线性方程，且求解的方程结构比较简单［5］。本文选用矢量拟合法主要因其具有以下优势:(1)矢量拟合法采用的是有理函数匹配，在使用高阶匹配时，数值问题对其无影响。(2)应用性强，当匹配次数比较高或者所取的初始极点不合理时，同样适用。(3)循环迭代次数少，收敛快。(4)拟合后的有理函数具有无源性，稳定性强。(5)便于用计算机程序实现。

为便于后续综合Spice模型，通过矢量拟合法将电容器的导纳YC参数按照下式拟合为高阶传递函数

其中，j为复数虚部符号;ω为角频率变量;h、d为直接耦合项;pn和cn分别为第n个极点和留数;N表示传递函数的阶数。步骤如下:

(1)确定初始极点{p1，…，pN}、阶数 N、迭代次数Diter_num、拟合误差 Rem。

初始极点可以是实数或共轭复数对。实数极点适用于比较光滑的曲线，共轭复数对极点则常用于比较粗糙、噪声较多的曲线。在本文中，由于去耦电容器可能存在测量带来的噪声，选择共轭复数对极点更适合，极点形式如下:初始极点可是实数或共轭复数对。对于比较光滑的曲线，一般选取实数极点;对于比较粗糙、噪声较多的曲线，一般选用共轭复数对极点。由于去耦电容器可能存在测量带来的噪声，选择共轭复数对极点更适合。初始共轭复数对极点的形式如下

通常取α=β/100。

(2)确定极点。

求出a1，…，aN和 b1，…，bN即可得到，假设{YC(jω1)}，…，YC(jωk)为电容器测量 k个 Y参数值，其中{ω1，…，ωk}为k个Y参数的测量角频率值，定义误差函数为

其中，φn(jω)为，为了解决的非线性问题，引入新的误差函数，第L次迭代误差为

A为n×m矩阵且列满秩，扫频点的数目n大于系数个数m，为确定方程组，适合用最小二乘法解方程(7)求出{a1，…，aN}和{b1，…，bN}。构建函数 BL(jωk)，通过求解X－1bT矩阵的特征值求得新的极点{p'1，…，p'N}，其中X为pn构成的对角矩阵，1为元素为1的列向量，b为bn所构成的列向量。

(3)确定留数。式(6)计算拟合误差，如果拟合误差＞Rem且总迭代次数小于Diter_num，则跳转(2)进行下一次迭代。否则根据(2)中确定的极点{p'1，…，p'N}及Y参数构建线性方程

用最小二乘法［6］解方程求 d和{c1，…，cN}，迭代结束;流程如图1所示。

图1 算法流程图

按照表1转换成相应的Spice子电路并组合得到对应的 Spice电路［6］。

表1 Spice子电路转换表

续表1

由式(1)可看出，电容器Spice等效电路是由实数d和h对应的低通滤波器、实极点对应的低通滤波器、共轭复数极点对应的带通滤波器并联组成的高阶电路，如图2所示。

图2 矢量拟合法得到的电容器高阶模型

下面通过两组电容器的建模实例验证本文提出的建模方法的有效性。分别对比基于蒙特卡罗法和矢量拟合法两种方法建模后得到的等效电路的阻抗幅度、相位和拟合绝对误差。

图3 100 nF MLCC建模等效电路阻抗幅度和相位对比

图4 100 nF MLCC建模等效电路与测量数据幅度和相位误差对比

图5 100 nF MLCC建模等效电路与官方数据幅度和相位误差对比

由上述方法可分别测量10 nF，1 nF，100 ps的建模等效电路的结果，两种算法的建模结果与测量数据误差对比如表2所示。

表2 两种算法的建模结果与测量数据误差对比

从对比结果可看出，矢量拟合法建立的电容模型与蒙特卡罗法建立的模型相比，幅度精度前者约为后者的0.000 1倍，相位精度前者约为后者的100倍。矢量拟合法建模与电容的实际参数相比，建模幅度误差均在3%以下，相位误差均在5%以下。因此，本文对电容器进行精确建模采用矢量拟合法。

2 基于最大违背点去耦选电容法

传统目标阻抗确定板级去耦电容网络所需步骤如下:(1)确定目标阻抗。(2)确定板级设计的截止频率。(3)添加电容网络使PDN阻抗低于目标阻抗。

本文使用的是最大违背点去耦选电容的算法。电容器的自谐振频率SRF［7］和品质因数Q值对得到一个平坦的PDN阻抗曲线很重要，因此本文以自谐振频率和品质因数作为选择该电容与否的判断依据。

将设计流程分为两个模块:一是进行去耦电容选择之前的参数处理模块，根据需求设定截止频率和最多可使用电容的种类和个数;二是根据第一步中确定的截止频率，在可选的电容中，计算需要使用的电容容值种类和对应的个数。

(1)根据负载芯片的需求确定供电电压、纹波容限、最大电流值，并根据这3个参数计算目标阻抗Ztarget(f)。

(2)确定负载信号上升时间、板级PDN设计截止频率、PCB电源/地平面、扩散电感、BGA过孔寄生电感等参数。

(3)导入可用电容库，确定电容器最多使用总数N。

(4)计算每种电容器的Q值，并按式(8)进行归一化处理

其中，Q为电容器原始Q值;Qmax为所有电容器中最大Q值。

(5)计算PDN阻抗ZPDN(f)，第一次计算时无需考虑电容器，将ZPDN(f)与Ztarget(f)对比，如果在感兴趣的频率内所有ZPDN(f)值均低于Ztarget(f)，跳转到(9);若否，标记不满足目标阻抗且与目标阻抗差值最大的频率点为fmax_against。

(6)去耦电容选取原则是，SRF与fmax_against最接近且Q值较小的电容器，记为Cin，具体计算方法是

采取上式达到的目的是，首先，选取的去耦电容的SRF要接近fmax_against，且在SRF接近fmax_against的所有电容中，电容的Qnor最小，这样可以使PDN阻抗在更宽的范围内被拉低，从而减小使用去耦电容的数量，且使得到的PDN阻抗曲线贴近目标阻抗曲线。

(7)选定可用Cin的后，按式(10)计算电容器最少使用个数。

这里，ESR为电容器的串联寄生电阻;Ztarget为频率fmax_against处的目标阻抗。

(8)添加到去耦网络中，统计已使用的所有去耦电容器的数量，若超过N，则提示无解，退出结束;否则跳转到(5)继续执行。

(9)此时，已得到一个去耦电容器组合方案，但仍需对去耦电容进行去冗余处理。将方案中去耦电容器按照SRF排序分类，将第一种电容器个数减一，若ZPDN(f)仍能满足Ztarget(f)，则实施此去冗余操作，并继续减1，直到ZPDN(f)不能满足Ztarget(f)，则对下一种电容进行相同操作。依照此算法直到最后一种电容器，程序结束。

算法的优点和缺点:

(1)优点。由于本文提出的算法精髓是PDN曲线的最大违背点和电容的品质因数，基于最大违背点选则电容使每个电容的去耦功能被充分利用，考虑电容的品质因数则使得出的PDN曲线更加平滑且与目标阻抗贴近，算法冗余度较低;Flat Response［8］和Decade Methods［9］两种方法均是假设电容器具有相同的ESL，本算法则没有此条件限制;比遗传优化选电容算法［10］运行速度更快，当电容库较大时也能在几秒内完成电容器去耦方案的选择。

(2)缺点。在算法中未考虑电容器的价格、安装成本、等效串联电阻等因素，如果加上这些因素的限制，电容方案将更加经济、有效。

表3 使用不同算法选得的电容去耦方案对比

3 结束语

由于矢量拟合法较蒙特卡罗法具有更加精确的优点，本文通过矢量拟合，得到了拟合电容自阻的算法。将电容的器模型的传递函数和其Spice等价电路阻抗进行比较，从而得到Spice等价电路所需的各个计算参数。通过对比所建电容器模型和电容器官方供部分的阻抗参数，证实了建模结果的精度，同时也说明本建模方法能够用于对未知阻抗特性的电容器进行精确建模。

由于本文提出的算法基于最大违背点和电容的品质因数，充分发挥了每一个去耦电容降低PDN阻抗的功效，且能在更宽的频率范围内降低PDN阻抗，因此减少了使用去耦电容的数量，且算法简单易行，也降低了计算时间。设计的PDN阻抗曲线平缓、谐振点少、冗余较小。

［1］刘婷婷.电源分配网络分析及电容器精确建模［D］.西安:西安电子科技大学，2011.

［2］王小宁.混合模S参数理论及其在信号完整性分析中的应用［D］.南京:南京航空航天大学，2010.

［3］Larry Smith，Raymond Anderson，Doug Foerhand.Power distribution system design methodology and capacitor selection for modern CMOStechnology［J］.IEEE Transactions on Advanced Packaging，1999(8):284 －291.

［4］李小燕，董华英.矢量匹配法在频变传输线暂态模拟中的应用［J］.电力自动化设备，2004，24(8):79 －84.

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［6］李晓红.计算方法［D］.北京:北京航空航天大学，2006.

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［8］Agilent In － Fixture.Measurements using vector network analyzers［M］.USA:Agilent Conpration，2006.

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［10］Steve Weir，Teraspeed Consulting Group.Bypass filter design considerations for modern digital systems，A comparative evaluation of the big“V”，multi－pole，and many pole bypass strategies［M］.USA:DesignCon，2006.

［11］Smith L D，Becker D，Weir S I，et al.Comparison of power distribution network design methods－an approach to system－level power distribution analysis［M］.USA:Teraspeed Consulting Group，SUN Microsystems，IBM Corporation，Altera Corporation，DesignCon，2006.