基于改进傅里叶基的压缩感知频谱测量

王 泉，张金成，张纳温，吕方旭，王 钰，陈可伟

（空军工程大学 防空反导学院，陕西 西安710051）

0 引 言

压缩感知［1］针对稀疏信号或可压缩信号，提出一种边采样边压缩得到一组观测数据，而后根据信号在变换域上的稀疏特性将其精确重构的信号处理思想，信号的稀疏表达是压缩感知理论的基础和前提，然而在数据压缩采样过程中引入的噪声影响了信号在变换域上的稀疏特性，降低了信号重构的准确度，而一些抗噪重构算法［2，3］增加了信号重构的复杂度，存在计算量大的问题。本文研究信号重构的过程，对传统的傅里叶稀疏基进行改进，提出由对称频点原子构成的傅里叶稀疏基，该稀疏基将传统傅里叶基中的双边频带对称频点合二为一作为单独的原子，提高信号重构过程中原子匹配的精确度，减少稀疏基原子个数从而降低重构信号过程中的运算量。

在信号识别［4］和宽带频谱检测［5，6］等应用中，压缩感 知也逐渐成为一个有力工具，基于压缩感知的多频带信号频谱测量的传统方法是认为信号在频域仍是稀疏信号，通过传统傅里叶稀疏基的压缩重构得到粗略的频谱估计，然后通过小波边缘检测的方法得出频谱信号的奇异点从而获得各频带位置［7－9］。然而多频带信号在频域中的稀疏度数值往往很大，在一定频带范围均有较强能量分布，此时如果仍然采用传统傅里叶基作为信号稀疏基，会给压缩感知过程带来很多困难：由于信号稀疏度的增加，重构信号所需观测值的数量必然增加，进而使重构算法迭代运行时间增加；各种突发的随机噪声破坏了信号在频域的稀疏性，并且给边缘检测造成了干扰，并且各频带形状并不固定，这使得这种传统的多频带信号频谱测量方法性能降低。本文针对多频带信号在频域内呈带状分布的特征，提出一种傅里叶频域子带字典作为稀疏基来对多频带信号频谱进行压缩重构。

1 改进傅里叶基下的多谐波稀疏信号压缩感知

为将压缩感知理论应用于连续时间模拟信号的采样过程中，Tropp等提出多谐波稀疏 （multi－tone sparse，MTS）信号模型［10］，该模型将连续时间模拟信号表征为有限维度的离散稀疏信号。对于MTS模型，信号由K 个频率有界的谐波构成，这是一种较为简单的信号稀疏模型，如式（2），其中 α0＝K。对MTS信号压缩感知，采用传统离散傅里叶变换基 （discrete fourier transform，DFT）作为稀疏变换基

下面我们给出压缩感知中信号重构的基本过程。在压缩感知基本理论中，时域可压缩信号x 通过观测矩阵Φ ∈RM×N（M N）实现非适应线性压缩投影观测

式中：矩阵Ψ∈RN×N即是信号x 的稀疏表示基，得到的线性投影观测值y ∈RM×1包含了重构信号的足够信息，信号的重构是利用y ∈RM×1以及信号x 的稀疏性先验条件恢复信号稀疏系数θ 的过程。目前常见的重构算法有凸优化算法和贪婪匹配算法两大类，由于贪婪匹配算法具有算法复杂度低、实现容易的特点得到了更为广泛的应用。

贪婪匹配算法的核心思想是：从感知矩阵Acs＝Φ·Ψ中选择与观测向量最匹配的一组原子 （列向量）作为信号重构的支撑集。而匹配原子的选择是以原始观测向量或残差观测向量跟感知矩阵所有原子的内积大小为依据的，每次迭代将相关性最好 （内积最大）的原子选入支撑集并更新残差向量。式 （3）中λt是第t 次迭代所取的原子索引，rt－1是残差向量，而aj代表感知矩阵Acs的每一个列向量

传统离散傅里叶变换 （DFT）基是由频域空间标准正交基I∈RN×N作IDFT 得到的复矩阵Ψf

由于傅里叶变换的共轭对称性，MTS信号在傅里叶域中的频谱图应为双边谱［11］，使用式 （4）中的传统傅里叶基作为MTS信号稀疏基，在原子的选择过程中将 “正频域”与 “负频域”割裂开来，容易使的稀疏表示失配并且易受信号噪声的干扰。

本文结合傅里叶变换共轭对称性这一特点，提出将傅里叶频域对称频点合为一个原子的方法，得到改进后的傅里叶稀疏基

改进后的傅里叶稀疏基Ψf＿improve 具有以下优点：①将传统傅里叶稀疏基共轭频点原子组合减少了稀疏基的原子个数，减少了信号重构的计算量，同时依然保持稀疏基的完备性与正交性；②在原子选择过程中，由于这种对称性与实际相符，使得实际频率在式 （2）中的结果比噪声更有区分度，可以提高信号重构的抗噪性能，同时避免了前面提到的稀疏表示失配问题。本文在第3节将对改进傅里叶稀疏基和传统傅里叶稀疏基在信号重构性能方面做出对比分析。

2 基于频域子带字典的多频带信号频谱测量

在无线通信系统中，一般使用多频带信号进行信息传输。典型的多频带无线通信信号频谱如图1所示，信号在某个或几个频带上具有较大幅值，并且带宽宽度与幅值可能各不相同，其中Bnyq代表奈奎斯特采样带宽。由于MTS信号模型要求所有谐波都非常精确地处于傅里叶网络上，当表示脱离傅里叶网格的频率成分时，就会导致频谱泄露，此时仍然使用传统DFT 变换基作为稀疏基会引入较大的测量误差。对此，本文提出了一种频域子带字典作为多频带信号的稀疏基，能够有效地刻画多频带信号频谱分布特征。

图1 多频带信号频谱分布

传统的多频带信号频谱测量使用DFT 变换基作为信号稀疏基，由于在活动频带内频谱较为密集，这大大增加了信号在DFT 基下的稀疏度，根据压缩感知理论可知，信号稀疏度增加意味着重构信号所需观测值数量就越多［1］，同时，上文提到传统DFT 稀疏基易受噪声干扰的缺陷直接影响后续子频带边缘检测。考虑到传统多频带信号频谱测量方法的种种不足，本文将所探测频谱范围划分成互不重叠、两两相邻的若干个频谱子带，将每个子带作为一个原子，所有子带构成多频带信号的稀疏表示基，即频域子带字典，如图2所示。

图2 频谱子带划分

根据待测量信号频带宽度和频谱测量精度的要求选择合适的子带宽度，假设频域子带字典原子频宽为τ，则各原子bi可表示为

式中：gτ（f）——宽度为τ的频域门函数，由于各原子互不重叠，则满足

将各子带联合B ＝［b1，b2，…，bL］并作IDFT 变换即可得到频域子带字典Ψband如式 （8），L 代表字典原子的个数，即子频带数量L ＝Bnyq／2τ。由式 （7）可知，频域子带之间是两两正交的，考虑到离散傅里叶变换 （DFT）及其逆变换 （IDFT）均为正交变换，所以Ψband满足压缩感知规定的信号稀疏基的正交性要求

使用频域子带字典是对多频带信号的近似表征，随着子带宽度τ的减小，刻画信号频谱细节的能力越强。当τ→0时，频域门函数gτ（f）→δ（f），频域子带字典原子相当于一对共轭傅里叶频点，而频域子带字典退化为第1节中的改进傅里叶基，如式 （9）所示。此时，各原子之间仍然满足式 （7），即各子带原子之间仍然正交

假设待观测信号频谱分布为X（f），使用频域子带字典对其近似刻画，如式 （10）所示，其中θi为子带bi的系数，θ即为子带系数向量，并且 θ0＝K（K N），K 为信号在频域子带字典下的稀疏度

考 虑 到 时 域 信 号X（n）＝IDFT［X（f）］，并 将 式（10）、式 （8）代入得到

感知过程中对一个检测周期内X（t）的N×1维离散形式X（n）进行观测，得到的观测值y 与子带稀疏向量θ 有如下关系

根据压缩感知重构过程，通过观测值y 与感知矩阵A ＝Φ·Ψband求解子带稀疏向量θ，再根据式 （10）完成对信号频谱分布的测量。仿真实验中，选取随机高斯矩阵作为观测矩阵，计算其与频域子带稀疏基的相关系数u（Φ，Ψband），经计算得，u（Φ，Ψband）＜0.23，满足精确重构的要求［12］。

至此，给出了频域子带字典的构造方法以及使用压缩感知对多频带信号进行频谱测量的过程，在第3节中将与传统的多频带信号频谱测量方法在抗噪性能及运算效能上做出对比分析。

3 仿真实验及分析

3.1 改进傅里叶基在多谐波信号重构中的性能分析

本文以无噪及含噪一维多谐波信号的压缩感知重建过程来验证本文提出的改进傅里叶基的性能。实验统一选用高斯随机测量矩阵作为压缩感知观测矩阵、正交匹配追踪算法 （OMP）作为信号恢复算法。性能从准确重构概率、相对误差、信噪比对重构性能影响等方面与传统离散傅里叶 （DFT）基进行比较分析。

实验1：无噪谐波信号的压缩感知重构，实验选取10个谐波信号叠加，信号长度N＝1000，规定无噪信号精确重构条件是恢复时域信号相对误差小于10－5，相对误差定义如式（13），其中x表示原始时域信号，表示恢复时域信号

在不同压缩比CSR 下，重复仿真500次分别统计传统DFT 稀疏基与改进DFT 稀疏基精确重构信号成功率，如图3所示。可以看出，随着压缩采样比CSR 的提高，两种稀疏基的精确重构概率均相应增加，而在同一压缩采样比CSR 下，使用改进DFT 稀疏基相对传统DFT 稀疏基有更高的精确重构概率。

实验2：取压缩采样比CSR＝0.3，逐渐增加叠加信号的个数，其它条件同实验1一致，对比分析在不同稀疏度下两种稀疏基恢复时域信号的相对误差，结果见表1。

可以看出，随着谐波个数的增加，传统DFT 稀疏基与赶紧DFT 稀疏基时域重构信号相对误差均成上升趋势，而在同等谐波个数条件下，改进DFT 有更小的相对误差。

图3 改进傅里叶稀疏基精确重构信号成功率

表1 时域信号重构相对误差对比分析

实验3：在实际应用中，采样信号往往含有噪声，本实验对含噪谐波信号进行压缩重构仿真，以重构误差及重构信号信噪比为参考对传统DFT 稀疏基与改进DFT 稀疏基的抗噪性能进行比较。仿真条件：原始信号由10个不同频率谐波叠加，信噪比从4dB～50dB变化，在不同信噪比条件下重复500次压缩重构过程，统计使用两个稀疏基恢复信号的信噪比与重构误差，结果如图4、图5所示。

图4 含噪信号时域重构相对误差

从图4、图5可以看出，随着输入信号信噪比的提高，两种稀疏基重构效果都有所提升，但在同等信噪比条件下，改进DFT 稀疏基的重构效果更好，尤其在信噪比较低时，改进DFT 的优势更为明显，比较表1与图4中的信号重构相对误差可以发现，含噪信号重构误差远远大于无噪信号的重构误差，这是因为在信号重构过程中仅将频域中模值较大的稀疏分量找到并恢复，而由噪声引入的其它频谱信息则被滤除，所以使得时域信号的重构误差大大增加。图5表明信号在重构后信噪比得到了相应提升，这也是由于重构过程中滤除了噪声的频率成分的作用结果。

图5 含噪信号时域重构信噪比

3.2 频域子带字典在多频带信号频谱测量中的性能分析

本节以含噪多频带信号为测试对象，分别从频谱重构性能及频带检测性能上对比分析传统多频带信号频谱检测方法与频域子带字典检测方法。

实验1：不同信噪比条件下频域重构性能对比。实验条件：设多频带信号长度为N＝1000，总频宽为B ＝（N／2）×Δf＝500Δf（其中Δf为谱分辨率），压缩采样比CSR＝M／N＝0.4，频域上共有3个互不重叠的频带，并且能量、形状、宽度各不相同，另外该多频带信号上还存在一定能量变化的背景高斯噪声。图6为在信噪比为87dB 时两种方法的重构结果对比，自上而下是原始信号频谱、DFT 稀疏基下的频域重构结果、小波边缘检测、基于频域子带字典的频谱重构。

图6 SNR＝62dB时多频带信号频谱检测结果

图6可以看出对于 “矩形”频带，小波边缘检测与频域子带字典的检测结果都较好，而 “拱形”与 “三角形”的频带，使用小波边缘检测的结果较差，不能得到明显的频带界限，而使用频域子带字典重构得到的频谱信息较为准确地反映了原始信号的频谱分布，（再加一些原因分析）。

图7、图8分别为信噪比为30dB、12dB 时信号频域恢复结果对比，可以看出，小波边缘检测方法性能下滑迅速，已经不能正确检测 “矩形”频带的奇异点，这是因为噪声严重影响了信号在DFT 稀疏基下的稀疏度，使得重构算法引入了很多错误的频率成分；基于频域子带稀疏基的重构方法在噪声的干扰下也收到了一定程度的干扰，对频谱幅度与频带宽度的测量精度下降，但原始信号的3个主频带还是能够清晰的显示，这是因为在重构过程，各原子包含一定个数的频率成分，使得在原子选择过程中相关性更强，更能与随机噪声区分开。所以，基于频域子带字典的频谱重构方法能够适应不同形状的频带并且具有更好的抗噪性能，同时，多频带信号在DFT 稀疏基下的稀疏度估计一直是该方法的应用瓶颈［13］，稀疏度易受噪声影响的特点使得一些自适应稀疏度估计方法失效，而本文提出的方法使用残余能量作为停止迭代门限自适应估计多频带信号在子带字典中的稀疏度并取得了很好的重构效果。

基于频域子带字典的压缩频谱测量首先获得宽带信号的子带稀疏向量θ，然后通过式 （10）进一步求取信号的功率谱密度，按照式 （13）分别求取在不同信噪比条件下两种方法对宽带信号功率谱恢复的相对误差，结果见表2。

能够看出，基于频域子带字典的频谱测量方法在信号功率谱恢复精度上相比于传统小波边缘检测方法存在较大优势，这是由于小波边缘检测方法对信号在离散傅里叶基下的稀疏度估计受噪声影响严重，过多的错误原子使得恢复信号的频谱结构与真实情况不符，而基于频域子带字典的频谱测量方法通过子带原子与观测量向量的相关累计，能够减少错误频率成分入选稀疏向量的概率。

图7 SNR＝30dB时多频带信号频谱检测结果

图8 SNR＝12dB时多频带信号频谱检测结果

表2 宽带信号功率谱恢复相对误差对比分析

实验2：不同信噪比下频带检测概率对比。实验条件：设多频带信号长度为N＝1000，总频宽为B＝（N／2）×Δf＝500Δf，（其中Δf 为谱分辨率），压缩采样比CSR＝0.4，频域上共有10个互不重叠的 “矩形”频带，每个频带带宽为5Δf，信噪比由0～100dB 变化。通过蒙特卡洛仿真，每个信噪比下统计次数500次，得出不同算法下所有频带全部正确检测的概率如图9所示。

图9 多频带信号频带正确检测概率

由图9可以看出本文提出的基于频域子带字典的频谱测量方法的检测概率明显大于传统的基于DFT 稀疏基的小波边缘检测方法，尤其在低信噪比时，本文的方法更为有效。

4 结束语

研究了压缩感知在信号频谱测量中的应用，针对多谐波信号与多频带信号分别提出改进DFT 稀疏基和频域子带字典，使用改进DFT 基对多谐波信号进行压缩重构可以得到更为精确地时域信号恢复，在相同信噪比条件下重构信号信噪比更高。使用频域子带稀疏基对多频带信号进行频谱测量，可以准确给出各频带的位置和幅值，且在低信噪比条件下与小波边缘检测方法相比有更好的抗噪性，算法简单而且能够实现稀疏度的自适应处理，具有一定的应用价值。

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