结构振动主动控制系统的非概率可靠性分析

李云龙，王晓军，黄仁

(北京航空航天大学 航空科学与工程学院，北京100191)

随着航空航天领域对结构振动的要求越来越严格，传统的振动控制很难满足设计要求，振动主动控制成为目前研究的热点之一.振动主动控制系统针对低频振动控制具有效果好、重量轻等优点，但是其存在对不确定性较为敏感、可靠性低的缺点.然而，在工程实际中，不确定性是普遍存在的，不确定性不仅可以降低主动控制系统的性能，而且可能使主动控制系统不稳定［1］.因此，有必要研究结构振动主动控制系统的可靠性分析方法，以便更好地指导控制器的设计.

近几年来，闭环控制系统的可靠性问题受到了越来越多的关注，并取得了一些研究成果.Spencer等提出了闭环控制系统稳定性的概率分析方法［2］，利用特征值和Routh-Hurwitz判别准则分别研究了系统的可靠性问题.Breitung等研究了基于可靠性的非线性控制器稳定性分析方法［3］.Battaini等考虑激励的随机性和系统参数的不确定性，并结合响应面近似方法和 FORM/SORM研究了模糊控制器性能的可靠性［4］.Crespo和Kenny研究了基于可靠性的不确定控制系统设计方法［5］，将不确定参数处理为随机变量，系统的响应处理为随机过程，采用首次穿越率方法来计算可靠度.Guo等研究了以稳定性作为指标的非概率鲁棒可靠性分析方法，并将其应用于控制器设计，取得了较好的效果［6-8］.Venini和Mariani提出了一种状态空间框架下的不确定系统受随机激励时的可靠性分析方法［9］，该方法可以运用于现代鲁棒控制技术如H2，H∞和线性二次高斯型(LQG).Li等研究了随机结构的响应分析方法和动力可靠度分析方法［10-11］，并基于首次穿越方法提出了一种新的动力可靠度分析方法.

从目前的研究成果来看，结构振动主动控制系统的可靠性分析方法大都将外部激励和结构参数处理为随机变量，并结合传统的可靠性分析方法进行.可靠性分析主要集中于系统稳定性，对闭环控制系统性能的可靠性分析较少，且集中于Crandall提出的首次穿越理论［12］.然而，当不确定参数的可用数据较少，以至于无法得到其概率密度分布时，随机方法就显得无能为力了.区间数作为处理不确定性问题的有效手段之一，不需要变量的概率密度，只需上下界就可以对不确定量进行描述.王晓军等利用区间数描述不确定量，基于概率干涉模型，提出了可靠度分析的非概率干涉模型［13-14］.郭书祥等提出了一种基于无穷范数的非概率可靠性指标，并研究了相应的求解方法［15-16］.这些非概率可靠性分析方法在结构强度分析中已经得到了广泛应用，但在结构振动控制领域还没有这方面的研究.随着工业水平的提高及对工程结构设计精细化程度要求的不断提高，非概率可靠性分析方法在结构振动控制领域将会受到更多的重视，这也是本文思想的来源之一.

本文将非概率可靠性分析方法应用于结构振动主动控制系统，利用区间数对结构参数不确定性进行定量化，通过区间参数摄动法得到闭环控制系统响应的区间集，结合可靠度分析的非概率干涉模型提出了结构振动主动控制系统可靠度分析的非概率方法.针对某型飞机弹舱的主动控制系统进行了非概率可靠性分析，数值算例验证了本文所提方法的有效性和高效性.

1 不确定结构振动主动控制方程

考虑如下具有n自由度的系统，其在外部载荷和控制力共同作用下的有限元方程为

其中，M∈Rn×n，P∈Rn×n，K∈Rn×n分别为被控结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;¨(t)∈Rn×1(t)∈Rn×1，x(t)∈Rn×1分别为被控结构的加速度向量、速度向量和位移向量;矩阵Ba∈Rn×r为驱动器的位置矩阵，表征驱动器的分布，其中r为驱动器的个数;u(t)∈Rr×1为反馈控制力，即控制器的输出力;矩阵Be∈Rn×s为外部载荷作用的位置矩阵，表征外部激励的分布，其中s为外部激励数;f(t)∈Rs×1为外部载荷向量.在振动主动控制领域，一般将以上二阶动力学微分方程转换为一阶状态空间方程.定义状态变量Z(t)=［xT(t)(t)］T，则式(1)可以表示为如下的一阶状态空间方程，即

其中

C和D分别为输出矩阵和直接转移矩阵，一般情况下直接转移矩阵D=0，输出矩阵C可以根据要输出的物理量进行选取.由式(3)可以看出，如果系统的自由度n较大时，状态空间方程的维数就会很大，不便于进行控制器的设计和分析.

为了便于讨论，对于实际工程系统不直接采用这种状态空间转换，而是采用模态展开的方法得到系统的状态空间方程.由于系统的动力学行为主要由前几阶模态决定，因此利用这种方法可以有效地减少系统的自由度，从而减少计算量，提高计算效率.由结构动力学的知识可知，利用如下的坐标转换:

动力学方程式(1)可以写成模态坐标下的一组常微分方程:

其中，Φ 为系统的模态矩阵，即 ΦTMΦ =In×n;Bui∈R1×r为矩阵 ΦTBa的第 i行.由于外部载荷向量f(t)不影响系统的内部描述，因此本文对其忽略，在系统分析中可以将其作为外部扰动来处理.考虑前q阶模态，Z(t)=［ω1η1，…，ωqηq］T为状态变量，式(5)的状态空间描述可以写为

其中

ωi，ξi分别为系统第i阶自然频率和模态阻尼比.

为了满足对结构动力响应的要求(在时间t1和t2之间系统的响应不应大于给定值Ycr)，即

假定结构的所有状态都是可测的，则可以利用状态反馈控制器对结构的动力学响应进行主动控制，即

其中G为状态反馈控制器，可由不同的设计方法求得，由于本文的重点不在如何求得控制器G，因此本文假定其为已知.

由于结构在生产、制造、加工及安装等方面存在各种的不确定性.同时，关于系统的各种参数的试验数据又是有限的，不足以用来确定各不确定性量的概率密度函数.笔者假定结构的各种不确定参数在一区间范围内变化，即

其中m为不确定量的个数.由有限元分析可知被控结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵是依赖于不确定参数b的，因此一阶状态空间方程(6)中的传递矩阵A和输入矩阵B均是不确定量b的函数，故考虑不确定性的结构振动主动控制方程可以写为

将式(9)代入式(11)则可得闭环控制系统的状态空间为

由于不确定性的存在，利用名义矩阵求得的控制器施加在结构上时，结构的动力响应并不一定能够满足设计要求(式(8)).也就是说主动控制系统在不确定性因素的影响下，有可能失效(不可靠).因此，有必要分析这种不确定对主动控制系统的影响，对结构振动主动控制系统进行可靠性分析，以便改进控制器的设计提高系统的可靠度.

2 闭环控制系统非概率可靠性度量

传统的动力学可靠性分析方法以结构的动力响应首次超越临界值为标志，通常称为首次穿越问题.一般情况下，动力学可靠性分析将系统响应处理为稳态高斯随机过程.如果响应值小于给定的临界值，则系统安全，否则失效.这种可靠性计算方法只适于分析确定系统受到随机激励的情况.本文则从结构的不确定性方面出发，对结构振动主动控制系统进行分析，首先假定在时间［t1，t2］内，系统响应只有1次可能超过临界值，如图1所示.

图1 系统动力响应穿过阈值的可能次数Fig.1 Possible times of dynamic response across the threshold

定义如下的极限状态方程:

其中，Rcr为闭环控制系统所允许的最大响应;为时间［t1，t2］内系统的真实响应的最大值，为了表述简洁，定义当g＞0时，系统安全;当g＜0时，系统失效;当g=0时，系统处于临界状态.因此，系统的可靠度(系统安全的可能性)可以定义为

2.3.2 响应面回归模型的建立及显著性检验。运用Design-expert 8.0软件对表2中的GASP提取率进行回归分析，建立回归模型。根据公式(1)，得GASP提取率回归方程(编码方程)为：Y=2.54+0.10×A+0.38×B-0.32×C-0.12×A×B+0.33×A×C-0.23×B×C-0.38×A2-0.50×B2-0.36×C2。

由于结构参数的不确定性，闭环控制系统在时间［t1，t2］内真实响应的最大值S也是不确定的，根据第3节中提出的含区间不确定参数的闭环控制系统响应分析方法，可以得到S的区间范围SI.在实际工程中，尤其是航空航天领域的结构振动主动控制系统，设计要求一般也是不确定的，即闭环控制系统所允许的最大响应Rcr也属于区间范围内，即Rcr∈RIcr.这样闭环控制系统非概率可靠性度量就转换为两个区间数之间大小的比较.王晓军等提出一种区间数比较大小的方法［13］.在二维空间中，变量S和Rcr的变化空间为变量所围成的面积.这个空间被失效平面(g=0)分为安全域和失效域两部分，如图2所示.

图2 非概率可靠度计算示意图Fig.2 Schematic diagram of non-probabilistic reliability calculating

当响应量S小于给定的允许值Rcr时，g＞0，即系统是安全的，因此称响应量小于给定的允许值的可能性度量称为结构振动主动控制系统的非概率可靠度，定义为安全域面积与不确定变量所围面积之比，即

相应的结构振动主动控制系统失效的可能性度量可以定义为失效域面积与不确定变量所围面积之比，即

当然如果极限状态方程含有的区间变量大于两个，则区间变量所围成的区域为长方体或超长方体，此时，非概率可靠度可以定义为安全区域的超体积与总体积的比值.当然，如果极限状态方程具有非线性的形式，这种非概率可靠度的定义方法也是适用的.当阈值为某一确定数时，非概率可靠性模型就退化成数轴上长度之比.

当在时间［t1，t5］内，系统响应有多次可能超过阈值时，如图1所示，则时间［t1，t5］内系统的可靠度可以定义为

其中p为系统响应在［t1，t5］内有可能超过给定值的次数.Psi(i=1，2，…，p)的计算可以通过分割时间［t1，t5］，使得在每一个时间段内系统只有1次可能超过临界值.如图1所示，可将时间［t1，t5］分割为［t1，t2］，［t2，t3］，［t3，t4］，［t4，t5］4 部分，分别利用上文提出非概率计算方法在相应的时间段内计算系统的可靠度，然后利用式(17)计算总的可靠度.

3 含区间不确定参数的闭环控制系统分析

由前面两节可以看出，在得到闭环控制系统响应的区间后才能对其可靠性进行度量.为了分析闭环控制系统的可靠性，首先要明确不确定性在闭环控制系统中是如何传播的.考虑如式(12)所示的闭环控制系统，首先要找到所有满足状态空间方程(12)的解.很容易看出:当参数b变化时，满足方程的解有无穷多个，这些解组成如下的响应集合:

式中 Z(b，t)=Ψ［x(b，t)］表示系统在模态空间下的响应是物理坐标下响应的函数，系统的真实物理响应可以由模态空间下的响应转换得到.一般来说，集合Γ是一个难以得到的、非常复杂的区域.在区间数学中，求解如式(18)所示的动力响应实际上就是找到一个区间向量来包含响应集合式(18)，也就是说，要寻找响应集合的边界:

依据区间数学中的表示方法，区间变量bI的均值(名义值或中值)和半径(不确定范围)可以分别表示为

基于区间数学和区间运算，结构参数不确定量b可以分解为确定性部分和不确定部分(名义值和不确定半径):

其中eΔ=［－1，1］为单位区间变量.将结构参数b表示为式(23)的形式:

将系统矩阵A(b)，B(b)在结构参数b的中心值处展开得

假定系统响应可以表示为

为了表达简洁，式(25)中忽略了时间变量t，由于结构参数的变化为较小的量，因此可以在其均值附近将系统响应进行泰勒展开，即

将方程式(24)、式(25)代入方程(12)可以得到:

展开式(27)并忽略高阶小项，重新整理可以得到:

式(28)有两个未知项，同时有两个方程，利用精细时间积分方法很容易得到响应的均值Zc和不确定量δZ，结合式(26)便可以求出Zc，j.利用区间扩张原理，可以得到系统响应的区间为

其中

将模态空间的响应经过模态矩阵式(4)的变换便可得到系统真实的物理响应，同时利用区间运算，可以得到系统真实物理响应的区间上下界:

其中xc，j可以由经模态变换求得.

经过上面的推导，已经得到了系统响应的区间上下界，由式(13)极限状态函数可以看出，要想计算系统的可靠度，需要得到系统响应S=在给定的时间［t1，t2］内的区间范围SI.在时间［t1，t2］内，由于系统响应只有 1 次可能性穿越阈值，因此，定义系统响应的区间为

一般情况下上式中的优化问题会在同一时间t′达到.对于系统响应对某一参数特别敏感或者系统不稳定时，上式的优化问题可能不会在同一时间出现，利用上式得到的区间会变窄，计算的可靠度会变小，计算结果会偏向保守，但这不影响该公式的适用.

4 数值算例

4.1 二自由度弹簧-质量-阻尼器振动主动控制系统的可靠性分析

考虑如图3所示的二自由度弹簧-质量-阻尼器系统.

图3 二自由度弹簧-质量-阻尼器振动系统Fig.3 Two-degrees of freedom mass-spring-damper vibration system

对于自由度较小的系统，可以利用式(3)直接将其转换为状态空间模型:

图4 控制前与控制后系统的响应输出Fig.4 Comparison between responses of open-loop and closed-loop system

图5 区间闭环控制系统响应上下界Fig.5 Interval bounds of interval closed-loop system

利用本文提出的非概率可靠度分析方法，表1给出了这种控制器下闭环系统性能的可靠度分析结果.蒙特卡洛(Monte Carlo)分析方法是通过随机抽样方法对不确定结构进行分析的最常用工具，当样本数足够多时，可靠性分析的结果趋于解析解.因此，为了验证本文所提方法的优越性，采用蒙特卡洛方法进行对比.蒙特卡洛仿真模拟中，样本数为10000，均匀分布抽样.所采用计算机的性能:CPU，Intel®CoreTMi7-2600，3.4GHz，内存16GB.

表1 非概率可靠度分析方法与蒙特卡洛方法比较(弹簧-质量-阻尼器振动系统)Table1 Comparison between non-probabilistic reliability analysis method and Monte Carlo method(mass-spring-damper vibration system)

由表1可以看出，本文所提方法计算的闭环控制系统的可靠度要低于蒙特卡洛方法得到的可靠度，响应的区间范围也比蒙特卡洛方法得到的区间范围要大，这主要是由于在求解区间响应时，区间运算所带来的区间扩张引起的.这也再次说明了本文所提方法的保守性.从表1中还可以很清楚地看到蒙特卡洛方法所用时间远远大于非概率可靠度分析方法.本例中系统的失效概率是非常小的，因此蒙特卡洛方法需要大量的抽样才能得到较为准确的结果，而非概率可靠度计算方法则不受样本的影响，只与不确定变量的边界有关，由此也可以说明本文所提出的非概率可靠度分析方法的高效性.

4.2 某型飞机弹舱振动主动控制系统的可靠性分析

为了说明本文所提方法在实际工程中的可应用性，将本文所提方法应用于某型飞机弹舱结构的振动主动控制系统.考虑如图6所示的某型飞机弹舱，由于此弹舱为一封闭空腔结构，在飞机高速飞行的情况下，外部不稳定气流作用在弹性壁面上，很容易引起结构声的耦合效应，过高的振动响应和声响应会对弹舱内部的设备造成损害，因此对弹性板(图6中阴影部分)的振动进行主动控制就显得尤为重要.

图6 某型飞机弹舱振动与噪声主动控制模型Fig.6 Active control of vibration and noise model of an aircraft bomb bay

如图6所示，5个刚性面和1个弹性面均为铝合金材料，弹性模量 E=68 GPa，泊松比 μ=0.3，密度ρ=2770kg/m3，结构阻尼为比例阻尼P=αM+βK，α =5.5，β =1.8 × 10－5.弹性面的厚度h1=1.8mm，刚性面厚度h2=20mm.不确定量为弹性板的厚度和模量:分别为 h1I=［1.6，2.0］mm 和EI=［66，70］GPa.由于弹性板上安放一个传感器和两个驱动器，因此，该闭环系统为多输入单输出系统.由图7可以看出，驱动器与传感器均没有放置在弹性板振动模态的节线上，这样就保证了系统的可控性和可观性.控制要求为系统在受到脉冲载荷时，在整个响应时间内传感器位置的振动幅值不能超过5 mm，即

图7 弹性板的前两阶振动模态Fig.7 The first two vibration modal of elastic plate

弹性板采用四结点壳单元进行有限元划分，网格如图7所示，400个单元，451个节点，1 353个自由度，因此，采用式(7)建立其主动控制模型的状态空间方程(q=10)，选取前10阶振动模态，响应的前10阶频率在表2中已经给出.利用线性二次型控制器(LQR)最优控制理论，设定相应的加权矩阵，求解得到控制器为

表2 弹性板的前10阶频率Table2 The first ten frequencies of elastic plate

图8给出了弹性板控制前后的响应输出.

图8 弹性板控制前与控制后系统的响应输出Fig.8 Open-loop and closed-loop system responses of elastic plate

图9给出了考虑不确定时，闭环控制系统响应区间上下界，由图中可以看出闭环控制系统的响应有可能不满足设计要求，即弹性板在传感器位置的振动幅值超过5 mm.将时间段［0，0.1］划分为多个时间段后，只有包含0.01 s的时间段内计算的可靠度不等于1，其他时间段内的可靠度均等于1.表3中只给出了包含0.01 s的时间段内的可靠度，其与总的可靠度是一致的.与算例1类似，本算例同样采用蒙特卡洛方法与非概率方法进行对比.表3给出了非概率可靠度分析方法与蒙特卡洛方法的对比，从中可以看出非概率可靠性分析方法的高效性和实用性.

图9 闭环控制系统响应上下界Fig.9 Interval bounds of interval closed-loop system

表3 非概率可靠度分析方法与蒙特卡洛方法比较(弹性板)Table3 Comparison between non-probabilistic reliability analysis method and Monte Carlo method(elastic plate)

5 结论

本文基于非概率可靠度分析方法研究了结构振动主动控制系统的可靠性问题.采用区间数量化结构参数的不确定性，建立了闭环控制系统的非概率可靠性指标，并提出了相应的计算方法.

1)与传统概率方法(蒙特卡洛)相比，本文所提出的非概率可靠性分析方法，所需计算时间更短，计算结果更加保守，尤其适用于无法得到不确定量概率信息的复杂大型结构振动主动控制系统.

2)本文基于非概率可靠性分析模型提出了一种解决结构动力学可靠性问题的方法，该方法可以适用于传统的开环动力学系统.

3)本文的研究内容为基于可靠性的振动主动控制器设计提供了新的研究思路，为新型飞机设计过程中采用结构振动主动控制技术提供了理论依据与技术基础.

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