反馈强度对非线性光电延迟反馈环动力学的影响

王玉春，李晓文

（北京师范大学物理系，北京100875）

0 引言

1979年，Ikeda在研究非线性光学谐振腔时，从Maxwell－Debye方程中推导出了延迟偏微分方程（DDE），他对此方程进行数值分析后发现：随着系统控制参数的改变，系统会有周期态和混沌态的输出［1］。混沌态是自然界中普遍存在的一种现象，其基本特性就是对初值条件极为敏感，具有随机变化的特点，它的动力学行为具有长期不可预测性，因此，在保密通信、传感器网络、超宽带混沌雷达等领域有着重要应用。为此，很多人致力于能找到一个可以用DDE方程来描述其动力学性质的实验系统，并将此类系统作为信号发生器应用于实践中。

近几十年来，人们不断调整实验装置，从纯光学系统到光电系统的改进，不仅增加了系统操作的稳定性，也增加了系统动力学的复杂性。我们所研究的非线性光电反馈延迟系统就是经过多次改进的实验系统［2］（见图1）。此类系统主要由半导体激光器、马赫－曾德尔（M－Z）光强调制器、光电探测器、交流耦合放大器等元件组成光电反馈环。M－Z光强调制器透射的光强与加在调制器上的调制电压成余弦平方关系，这是此系统非线性的来源。

非线性光电延迟反馈环在非线性、延迟和反馈的共同作用下会呈现出丰富的动力学状态［3］，包括各种周期态、混沌态。近年来，在现代科技发展的进程中，实验、数学分析及计算机数值模拟等多种研究手段的共同运用使得我们可以更清晰地研究复杂系统的动力学。人们对非线性光电延迟反馈环的研究主要集中于两方面：系统在控制参数改变时所呈现的动力学状态；能够产生用于实际应用的混沌态。本文主要对其动力学状态进行理论分析和数值模拟。

图1 非线性光电反馈延迟系统Fig.1 Time－delayed feedback nonlinear optoelectronic system

1 非线性光电延迟反馈环的数学模型

用式（1）的DDE方程［4］来描述非线性光电延迟反馈环的动力学性质：

其中，β为反馈强度，ε为低通滤波器与高通滤波器时间常数的比值，τ为时间延迟，φ0为M－Z光强调制器的偏置相位。本文取ε＝2.45×10－6，φ0＝π／4，τ＝34.3ns。

对不动点的稳定性进行分析，将方程进行变分可得

其中，xτ＝x（t－τ），λ为方程的特征值。对应的特征值方程为

整理可得

当特征值λ的值为纯虚数时，也就是说当λ＝±iω时，会出现Hopf分岔。取γ＝βsin2φ0，方程（4）转化为

2 不同反馈强度下系统呈现的各种动力学状态

我们所研究的非线性光电延迟反馈环的动力学方程解的情况比较复杂，精确解的计算比较困难。我们主要通过数值模拟对系统的动力学状态进行研究。该系统的控制参数主要有两个：反馈强度β和偏置相位φ。本文主要研究系统的动力学状态随反馈强度的改变而发生的变化。从图3中可以看出，随着反馈强度β的增加，系统由稳态经过一系列周期态最终到达混沌态，经历了从简单到复杂的一系列丰富的动力学状态：当β＜1时，反馈强度低，系统处于稳态；当1＜β＜1.8时，系统处于对应的不同周期态；当β＞1.8时系统的状态逐渐变得复杂。

图4给出了系统的反馈强度β比1稍大时系统的状态，可见，系统处于不同的周期态。当反馈强度的值达到中等强度时，系统的动力学状态随着反馈强度的增大变得更为复杂，而且还出现了快慢时间尺度交替的混合状态，这样的状态称为混沌呼吸子［5］。随着反馈强度β的增加，系统由原来的低频周期态发展到二级分岔，系统会出现比较有趣的混合状态—快尺度的动力学加载到慢尺度的极限环上。图4b是β＝1.5时的低频周期态，此时系统的时间尺度为μs，振幅的极值类似于一对不动点，在这个意义上来说，它们附近的动力学较为缓慢。

图2 β＝0.8时系统处在稳定状态Fig.2 The system is stable whenβ＝0.8

图3 随反馈强度的增加系统的分岔图Fig.3 Bifurcation versus increasing feedback strength

图4 β＝1.1，β＝1.5时系统处在两种不同的周期态Fig.4 The system stays at different periodic state asβ＝1.1andβ＝1.5

随着反馈强度β的进一步增加，β＝1.8时振幅极值点开始出现快尺度的振荡，如图5a所示，图5b是图5a极值点附近的局部放大图，可以看出，快尺度的动力学从刚开始产生就经历了快速的振荡，而且还是以准方波的周期态出现的。继续增加反馈强度β的值，β＝2.0时，系统的动力学状态如图5c所示，其振幅极值点附近的快尺度动力学状态所占的时间间隔在增加，从图5d可以看出，振幅极值点附近的快尺度动力学仍然是以准方波周期态的形式出现的，振荡一段时间以后很快衰减。

图5 系统的动力学状态Fig.5 System dynamic state

当反馈强度β＝2.3时系统还是处于混沌呼吸子状态，如图5 e所示。这时从图5f的局部放大图中可以看出，振幅极值点附近的快尺度动力学状态不再是准方波的周期态，从其时间序列看出是一种复杂的混沌态。进一步增加反馈强度β的值，快尺度的动力学状态所占时间间隔有着明显的增加，其时间序列更为复杂，时间尺度更快，此时混沌态作为一种快尺度（ns）的动力学状态被嵌入慢尺度（μs）的周期态中。从上述分析中可以看到，随着反馈强度β的值越来越大，系统正在向着混沌状态变化，如图5g～k所示。图6为β＝3.2时混沌态的频谱，从图中可以看出，其功率谱十分平坦，类似于噪声。

图6 β＝3.2时系统混沌态的频谱图Fig.6 Frequency spectrogram of the chaotic state asβ＝3.2

3 结论

非线性光电反馈延迟系统在非线性、延迟和反馈的共同作用下会呈现出丰富的动力学状态，包括各种周期态、混沌态。本文首先对于非线性光电反馈延迟系统的数值模型做了理论分析，发现当反馈强度小于1时系统一直处于稳态。反馈强度接近于1时，系统会出现Hopf分岔。得到了系统动力学状态随反馈强度变化的分岔图。随着反馈强度的增大，系统的动力学状态从低频周期态变化到快慢时间尺度混合的混沌呼吸子，最后到达高维混沌态。我们得到了系统的各种动力学状态的时间序列，并分析了所得混沌态的频谱图，发现该系统产生的混沌态的频谱图具有噪声背景和宽峰，这样的混沌态在很多方面都有重要应用，例如超带宽传感器等。

［1］Ikeda K，Kondo K.Successive higher－harmonic bifurcations in systems with delayed feedback［J］.Phy Rev Lett，1982，49：1467－1470.

［2］ Callan K E，Illing L，Zheng Gao，et al.Broadband chaos generated by an optoelectronic oscillator［J］.Phys Rev Lett，2010，104（11）：113901.

［3］ Murphy T E，Cohen A B，Ravoori B.Complex dynamics and synchronization of delayed－feedback nonlinear oscillators［J］.Phil Trans R Soc A，2010，368：343－366.

［4］ Peil M，Jacquot M，Chembo Y K，et al.Routes to chaos and multiple time scale dynamics in broadband bandpass nonlinear delay electro－optic oscillators［J］.Phys Rev E，2009，79（2）：026208.

［5］ Kouomou Y C，Colet P，Larger L，et al.Chaotic breathers in delayed electro－optical systems［J］.Phys Rev Lett，2005，95（20）：203903.