基于复杂网络的空铁复合网络的鲁棒性研究

徐 凤，朱金福，苗建军

（1.南京航空航天大学，南京210016；2.南京交通职业技术学院，南京211188）

0 引言

近年来中国高铁发展迅猛，给民航运输带来了不可避免的冲击和挑战，怎样促进民航与高铁的良性竞争与合作是刻不容缓的现实问题。目前，国内外对单一铁路网络和航空网络的研究已经非常丰富。首先，拓扑特性方面：Sen等［1］对P空间印度铁路网的研究表明其网络具有小世界网络的特性；M.Kurarit等［2］对中欧铁路网和瑞士铁路网进行了实证研究；G Bagler［3］对印度航空网络的小世界网络特性进行了分析；GuidaMichele等［4］证明了意大利航空网络为小世界网络；赵伟等［5］、唐芙蓉等［6］分别证明了中国铁路网络是无标度特征的小世界网络；而Li Wei等［7］、刘宏鲲等［8］的研究也都认为中国航空网络是一个小世界网络。其次，可靠性与鲁棒性研究方面：Albert和Barabasi［9］是复杂网络可靠性研究的先驱，用最大簇大小S、孤立簇〈s〉和平均路径长度d来度量网络遭到攻击后的被破坏程度。Holme P等［10］给出了不同攻击策略下不同网络类型的网络结构变化情况，网络性能用效率E和最大连通子图S来衡量。江永超［11］以网络的全局效率作为评判铁路网络复杂网络可靠性的指标，对中国铁路网络模型进行了可靠性分析。姜涛等［12－13］针对中国航空网络，在离散有限情景集的基础上，建立了无容量限制的网络鲁棒优化模型。

虽然中国国内已出现“空铁联运”的合作端倪，但实践上还不够完善，需要继续探索和优化。本文构建民航与高铁的复合网络，比较复合网络及其子网络的鲁棒性，探寻民航与高铁是否存在合作空间，可以为后续研究空铁联运网络的设计与优化做铺垫，对于指导中国民航业的规划与发展、充分发挥民航与高铁运输系统的综合功能具有重要的现实意义。

1 高铁－民航复合网络的拓扑结构

1.1 复合网络的构建

为了研究方便，本文在构建高铁－民航复合网络时，作了以下假设［14］：

1）在P空间定义复合网络。即网络中以高铁站或机场所在城市为节点，任意两个城市间只要有同一高铁列车在这两个站点停靠，或任意两个城市间只要有同一航班可以到达，就认为这两个节点之间有连线。

2）以城市为节点。如果一个城市同时有高铁站和机场，或如果一个城市同时有两个及以上数量的机场，都统一认为该城市为一个节点。

3）边的说明。如果城市A到城市B既有高铁可以到达，也有航班可以到达，则认为在高铁－民航复合网络中，城市A和城市B间只有一条连线，不重复连线。但在高铁子网络和航空子网络中，则认为城市A和城市B间分别有一条连线。

4）无向网络。一般情况下，如果能从城市A乘坐高铁或航班到达城市B，那么也能够从城市B沿相同线路到达城市A。因此，在进行数据提取时，不考虑线路的方向，将网络抽象成无向网络。

5）非加权网络。不考虑高铁－民航复合网络中的高铁发车频次和数量以及航班的频次和数量，即不考虑网络中的连接权重的问题，将网络抽象成非加权网络。

6）子网络的构建说明。在高铁－民航复合网络中，高铁子网络以高铁站所在城市为节点，任意两个城市间只要有同一高铁列车在这两个站点停靠，则这两个节点间有连线。相同地，航空子网络以机场所在城市为节点，任意两个城市间只要有同一航班可以到达，则这两个节点间有连线。

本文选取的数据截至2012年9月，所选城市为中国大陆（不包括香港、澳门、台湾）建有高铁站或机场的所有城市。这样，无向非加权的高铁－民航复合网络由231个城市节点与3 704条边构成；其中，高铁子网络由83个高铁通车城市、10条高铁线路构成；航空子网络由174个通航城市、2 796条直飞航线构成。

1.2 复合网络及其子网络的特征指标分析

在P空间下，分别计算高铁－民航复合网络及其高铁子网络、航空子网络的特征指标：节点数、平均度、平均路径长度、集群系数和模块度。通过表1中的特征值来分析复合网络与子网络的拓扑特性的异同。

表1 复合网络与子网络的拓扑特征值与拓扑特性Tab.1 Topology characteristics and topological properties of the compound network compared with subnetworks

首先，相同之处是复合网络与子网络都具有无标度特性和小世界特性。例如，高铁子网络的平均路径长度为1.502 9，集群系数为0.947 4，而同等规模的随机网络的平均路径长度为1.707 3，集群系数为0.147 0。相对于同等规模的随机网络，同时具有较小的平均路径长度和较大的集群系数，网络则具有小世界特性。数据表明复合网络与两个子网络都具有该特点，这说明网络所涉及的节点城市虽多，但要从一个城市到达另一个城市，高铁子网络需要平均不到1次的中转，航空子网络和复合网络也都平均需要不到2次中转。另外，无标度网络具有增长性和偏好依附性的特点，因此可以预测，随着中国“四纵四横”高铁网的形成，复合网络的规模会不断扩大，新加入的节点城市将倾向于连接原网络中度大的节点。

其次，不同之处主要体现在集群系数与模块度上。形成原因：1）一条高铁线路经停多个城市站点，故高铁子网络具有高聚合特征；而一条航线只连接一对城市，所以复合网络与航空子网络集群系数较低，具有低聚合性。2）由于目前开通的高铁线路只有10条，所共同经过的城市还比较少，而每条线路所经过的城市则成为一个小集体，因此高铁子网络模块度较高，具有明显的以所属线路来划分的群落结构；复合网络由于囊括高铁子网络的缘故，也存在局部的群落结构特征，但模块度较低；而航空子网络则不具有群落特征。

2 高铁－民航复合网络的鲁棒性分析

2.1 网络鲁棒性的内涵及衡量指标

网络的鲁棒性是指网络结构发生变化时，网络抵抗故障带来影响的性能。在高铁－民航复合网络中，由于天气、流量控制或其他突发事件而导致高铁或航班延误或是取消等不正常问题时，复合网络的节点或边会发生变化，网络能够维持网络连通的性能即高铁－民航复合网络的鲁棒性。

高铁－民航复合网络的鲁棒性，可以根据攻击复合网络后网络结构指标的关系变化（即被攻击节点数或被攻击节点比例与最大连通子图的相对大小S、平均路径长度L、全局有效性Eglobal的关系变化）来分析。

1）最大连通子图的相对大小S是指最大连通子图中的节点数与网络中所有节点数目的比值，计算公式为

其中，N′为高铁－民航复合网络遭到攻击后网络中的最大连通子图的节点的数目，N为未遭到攻击时复合网络的节点总数。比较网络遭到攻击前后的最大连通子图的相对大小S，能够直观地反映网络遭到攻击与破坏的程度。

2）网络的平均路径长度L则是所有节点对之间距离的平均值。若任意两个节点间的最短路径长度为Lij，则整个网络的平均路径长度为

其中，N为网络中总节点数。

3）全局有效性E可以通过节点之间的最短距离来计算，公式为

其中，N为网络中总节点数，V为网络节点的点集，dij为节点i与j之间的距离，i，j∈V，i≠j。局部有效性Elocal是局部子图的平均有效性，与集群系数C有相似的作用，表示去除某些节点城市之后的复合网络的有效性，因此，Elocal≈C。

2.2 高铁－民航复合网络鲁棒性的统计分析

2.2.1 复合网络与子网络的有效性比较

由表2可知，高铁子网络的全局有效性最低，而局部有效性却很强，即使一个高铁站点出现问题，只对其所在的高铁线路的通车有影响，而对其他高铁线路和整个高铁网络的交通效率不会造成大的影响；航空子网络的全局有效性比较高，但局部有效性不高，一条航线出现晚点或取消等不正常航班情形，会影响与之相关的若干航班的运行，从而对局部网络的效率产生较大影响。在复合网络中，网络的有效性得到了一定程度的中和，相对低聚合性的航空网络主要侧重于国际或国内长途运输，而高聚合性的高铁网络主要服务于国内中短途交通运输，可以通达尚未通航的一些中小型城市，高铁与民航的合作可以拓展交通运输网络的辐射圈，从而提高整个交通网络的通达效率。

2.2.2 随机攻击与蓄意攻击模式下的指标分析

随机攻击指网络节点以某种概率被随机破坏，删除节点的策略是每次以某种概率随机删除网络中的某些节点；蓄意攻击也称选择性攻击，指网络节点按一定的策略被破坏，删除节点的策略通常是从网络中度最大的节点开始，每次都去除网络中度最高的节点。因为点强度和介数是反映城市重要性的两个关键指标，因此，这里分别计算出各城市的点强度和介数，对各数值进行标准化后求和，再按由大到小排序，作为反映通航城市重要性的判定指标，把该次序作为对城市蓄意攻击的攻击次序。

计算并分析高铁－民航网络受到不同攻击后3个指标（最大连通子图的相对大小S、平均路径长度L、全局有效性Eglobal）的数值变化，进行比较。图1和图2中，横坐标f表示受攻击的节点数占网络节点总数的比例。

表2 复合网络与子网络的有效性Tab.2 Efficiency of the compound network compared with subnetworks

图1 不同攻击模式下高铁－民航复合网络最大连通子图相对大小比较Fig.1 Maximal connected sets′contrast of high－speed railway and civil aviation compound network under different attacks

由图1可知，复合网络初始的最大连通子图相对大小S为1，两种攻击模式下，S都是随着f的增加而不断下降，但蓄意攻击下的S下降速度明显快于随机攻击。当f＝0.173 2时，随机攻击40个节点，S仅降为0.822 5，网络中仍有190个节点保持连通；而蓄意攻击40个节点，S会骤降到0.112 6，仅有26个节点保持连通。蓄意攻击40个节点与随机攻击190个节点，给网络连通性带来的变化是基本等同的。这说明复合网络在蓄意攻击模式下的鲁棒性较差，而在随机攻击模式下鲁棒性与容错性较强。

在随机攻击中，只有在f接近1时S才下降到零，表明节点城市在受到天气等随机因素干扰时，只有当大部分城市同时遭遇恶劣天气，才有可能导致整个复合网络的瘫痪。由于中国国土面积辽阔，跨越多个气候带，大部分节点城市同时遭遇恶劣天气的概率是非常小的，因此高铁－民航复合网络对随机干扰具有较强的鲁棒性。

在蓄意攻击下，当f＝0.18，即蓄意攻击43个节点时，S趋近于零，可见当前的高铁－民航复合网络高度依赖43个核心城市。这43个城市可以通达的城市总数为2 277个，占复合网络所有节点可通达城市总数的61.49%，一旦这些城市的高铁和民航系统不能发挥应有功能，整个复合运输网络将瘫痪。根据蓄意攻击的攻击顺序，可知上述核心城市分别是北京、上海、广州、成都、西安、昆明、重庆、深圳、天津、厦门、南京、大连、乌鲁木齐、济南、杭州、武汉、长沙、沈阳、哈尔滨、郑州、贵阳、青岛、三亚、海口、南昌、呼和浩特、太原、福州、长春、南宁、徐州、无锡、温州、常州、兰州、桂林、合肥、银川、鄂尔多斯、石家庄、泉州、烟台和宁波。

图2 不同攻击模式下高铁－民航复合网络平均路径长度与全局效率变化Fig.2 Average path length and global efficiency of high－speed railway and civil aviation compound network under different attacks

一般，平均路径长度L越短，网络的连通性越好。两种攻击下，L都是先变大（尽管随机攻击模式下L变大的幅度并不明显），若干次攻击之后L才开始下降。由图2a，蓄意攻击模式下，当f小于0.138 5时，即蓄意攻击的节点数小于32个时，复合网络的L呈上升态势，说明这时网络还没有产生孤立的节点，但网络的连通性已下降。而在随机攻击模式下，L一直在2.2至2.4之间徘徊，当攻击节点达到180个之后，L才有较明显的下降趋势。因此，L的变化也说明复合网络在蓄意攻击模式下的鲁棒性较差，而在随机攻击模式下鲁棒性与容错性较强。

复合网络的初始全局效率为0.475 3。由图2b可知，网络在蓄意攻击模式下反应剧烈，当f＝0.064 9，即蓄意攻击15个节点时，复合网络的全局效率E下降为0.207 1，网络的连通性已经变差；而随机攻击15个节点，网络的全局效率E仅下降为0.467 6，变化很小。蓄意攻击40个节点就可以使网络几乎瘫痪，而随机攻击215个节点才会使网络瘫痪。从蓄意攻击的节点顺序可知，先攻击重要节点会使网络的拓扑结构发生迅速变化，较快地产生很多孤立节点，致使网络快速瘫痪；而随机攻击时，恰好攻击到这些重要节点的概率很小，只有随机攻击足够多的节点时，才会使网络瘫痪。

通过上述分析可知：网络中少数的重要换乘或中转点对于复合网络的可靠性起了至关重要的作用，因此，高铁－民航复合网络在蓄意攻击下的鲁棒性较差，抗攻击能力弱，而在随机性攻击下的鲁棒性较强。结合实际，在随机性攻击下，个别高铁站点或机场受到恶劣天气、泥石流、滑坡等情况的破坏，不会影响整个复合网络的运输功能；但如果大规模节点同时遭到破坏，复合网络的鲁棒性就会较差，网络效率受到较大的影响。

3 复合网络的鲁棒性优于子网络的鲁棒性

计算不同攻击模式下高铁子网络和航空子网络的鲁棒性指标，并与复合网络进行比较。

复合网络与航空子网络初始的最大连通子图相对大小S为1，高铁子网络初始的S为0.457 8。由图3可知，在随机攻击模式下，复合网路与两个子网络的S都是随着被攻击节点数的增加而不断下降，直至为0，但复合网络的S下降得最为缓慢。高铁子网络和航空子网络被随机攻击的节点数分别为80和170时，其S降为0；而复合网络被随机攻击225个节点时，S才下降为0。如果同样被随机攻击30个节点，复合网络的S为0.870 1，而高铁子网络和航空子网络的S分别为0.289 2和0.827 6，也就是说，被随机攻击的节点数相同的情况下，复合网络的连通性是优于两个子网络的。

如图4所示，遭受攻击的节点数在不断增加时，网络的L都是先增大再下降。这并不意味着此时网络的连通性变好，必须参考网络的全局效率来说明此时网络连通性的变化。

图3 随机攻击下复合网络与子网络的最大连通子图相对大小变化Fig.3 Maximal connected sets′change of the compound network compared with subnetworks under random attack

图4 随机攻击下复合网络与子网络的平均路径长度变化比较Fig.4 Average path length′change of the compound network compared with subnetworks under random attack

如图5所示，复合网络与高铁、航空子网络在受到随机攻击时，全局效率E均是不断下降直至为0。高铁子网络在随机攻击75个节点后，效率降为0.071 4，此时该网络已经基本瘫痪。复合网络与航空子网络初始效率比较接近，复合网络在被随机攻击215个节点时E才下降到0.018 7，而航空子网络在随机攻击165个节点之后，全局效率E迅速跳水为0。这虽然与网络的节点总数有关，但也足以说明，在随机攻击模式下，复合网络的鲁棒性优于高铁和航空子网络。

以上是3个指标在随机攻击模式下的变化，如果在蓄意攻击模式下，复合网络与子网络鲁棒性指标的变化会相对剧烈，但其S，L和E变化所反映出的结论与随机攻击下是一致的，即复合网络的连通性与鲁棒性优于高铁子网络和航空子网络。

图5 随机攻击下复合网络与子网络的全局效率变化比较Fig.5 Global efficiency′change of the compound network compared with subnetworks under random attack

4 结论

利用复杂网络理论，对中国高铁－民航复合网络进行了复杂性特征与鲁棒性分析。拓扑特性分析表明：高铁－民航复合网络及其子网络都是具有无标度特性的小世界网络。鲁棒性分析表明：复合网络的鲁棒性在蓄意攻击模式下较差，在随机性攻击模式下较强；不同攻击模式下，复合网络的鲁棒性均优于其高铁子网络和航空子网络，这也说明高铁与民航存在巨大的协调发展的动力与空间。

2012年5月，东航与上海铁路局合作，首次推出“空铁通”联运产品，以上海虹桥枢纽为依托，实现了飞机与高铁的便捷中转，得到了旅客的广泛认可。随着新的高铁线路不断开通和通航城市数不断增加，更多的节点城市将融入复合网络，后续研究需要重点考虑的将是高铁－民航复合网络存在怎样的动态演化规律、空铁联运网络如何进一步优化设计等问题。

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