让你着迷的那些数

石头

数学，一个多么熟悉的词，平凡而又美丽。你也许会说：“数学不就是几个阿拉伯数字嘛，那也谈得上美丽？”然而，正是它的简洁，造就了它的美丽与神奇。它在无形之中让你的思维变得敏捷，让你在考虑事情时不再那么偏激，那么单一。

极其完美的完全数

数学中非常稀少而又完美的数是完全数，它只需要满足一个条件：它的值恰好等于各真因子（除了本身以外的因数）之和。根据定义，我们很容易就找到最小的完全数6。除本身外，能整除6的数有1、2、3，把这些真因子加起来，它们的和正好等于6，即1+2+3=6。

下一个完全数是28，因为1+2+4+7+14=28。我们似乎找到了寻找完全数的方法，那就是通过把某个数因数分解，然后把它的全部真因子相加，从而验证这个数是不是完全数。当然，方法是没错的，可不幸的是，用这个方法寻找完全数是一件很费劲的事情，因为下一个完全数是496，再下一个是8128。看到8128如此大的数，或许你想自信地认为只存在4个完全数，那样我们就不用再往下验证了。可是，这时却有人激动地和你说，他找到了下一个完全数。

大约在公元前500多年，古希腊有位名叫毕达哥拉斯的著名数学家，他年轻时曾多次外出旅行，到过古代的巴比伦、地中海东岸各国和埃及（据一些历史文献记载，他很可能还到过印度）。后来，他在故乡办了一所学校，课上他总是会把数与图形联系起来。例如，他用石子来代表数，1个石子代表1，3个石子代表3等，他还把许多石子摆成一定的形状。接着，他发现某些数竟然可以摆成“三角形”，于是便把这些自然数叫“三角形数”。

1是第一个三角形数，3是第二个三角形数（1+2=3），6是第三个三角形数（1+2+3=6），10是第四个三角形数（1+2+3+4=10），15是第五个三角形数（1+2+3+4+5=15）……令人惊讶的是，我们任选一个三角形数，将它乘以8再加1，最后总会得到一个平方数。

假设我们取三角形数6，那么我们可以得到6×8+1=49，而49=72。这是怎么回事呢？下面，我们将用算子来进行演示：

如图，我们要做的就是把算子所摆成的三角形推成直角三角形，并在它的上面加算子，制成一个长方形。接下来，你会发现这个长方形有3×4枚算子，值得注意的是，长比宽多出了一枚算子。这意味着如果把4个这样的长方形放在一块，并在中间添加一枚算子，你就会得到下面的图形：

回文，是文学创作中的一种修辞手法。这种修辞手法讲究语言文字的排列技巧，顺读倒读，流畅自如，给人一种循环往复的情趣。如“雾锁山头山锁雾”和“天连水尾水连天”等诗句，让人在反复玩味中击节称奇，叹为观止。在数学中也有类似的回文现象。有这样一些数，它们无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，我们称其为“回文数”。如88、818、8448等都是回文数。

对于回文数，我们可以尝试着这样构造：任意一个自然数，加上它的倒序数（它的数字顺序倒过来所组成的数），再对所得的和重复这个步骤，经过有限次这样的加法运算后，我们就能得到一个回文数。

如84+48=132，132+231=363，只经过两步计算，就得到了回文数363。

又如，95+59=154，154+451=605，605+506=1111，1111也是个回文数。

但并不是所有的自然数通过上述步骤反复计算，最终都会得到一个回文数。如196就是个例外，因为无论你怎么逆加，最终都得不到回文数，据说有人曾用计算机算了10万步也没有获得回文数。

其实，有一些算式也具有类似回文数的特点。如6×21=126，把算式中的“×”和“=”去掉就会得到回文数。更奇妙的是将某些算式的因数交换相乘，也会出现回文现象，如12×42=24×21，把等式两边的因数交换位置得42×12=21×24。我们把这些算式叫作“回文算式”。

数一下算子的数目，每个三角形里有6枚算子，因此这个正方形一共有6×8+1=49（枚）算子，也就是72枚算子。如果你有足够多的算子可以用来演示，你就会发现任何一个奇数的平方数都可以通过三角形数演变而得来。

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