把握时机，适时渗透符号意识

费岭峰

【编者按】符号意识，主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，也有助于学生形成熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养，而这是学生数学素养的重要组成部分。本专辑围绕“渗透符号意识，强化数学思考”这一主题展开。

这是人教版三下“数学广角——搭配中的数学问题”的教学片段。执教老师用“吃早餐”的情境（2饮料，3点心）引入后，提出问题：饮料和点心只能各选1种，可以有多少种不同的搭配？学生自主尝试完成后，组织反馈。有学生是用文字来写的；有学生则是这样画的（图1）；当然，也有学生画出了类似于教材上提示的几种方式（图2与图3）。

反馈中，教师重点让学生各自说明思路，然后引导学生关注“搭配”的结果：像这样2种饮料和3种点心各选一种搭配，可以有6种不同的搭配方法。期间对学生呈现的不同方法，教师没有进行适当的沟通，特别是对后面“字母表示”“图形表示”等符号化表达的方法所隐含着的思维价值几乎没有探讨。对于这样的教学过程，笔者感到遗憾。在笔者看来，能够用后面几种方法的学生，是具有较强的符号意识的。如果能引导学生进行讨论比较，会让更多的学生体会到符号表示的优势，从而激发学生的符号意识。从以上教学片段可以看出，实际教学中，一线教师对符号意识培养的重要性还缺乏足够的重视，能够适时把握时机，有效渗透符号意识的理念落实尚需时日。笔者现结合一些实例，就这一问题从三个层面谈一些想法与做法。

一、经历符号化的过程，引导学生体会数学抽象

引导学生经历将生活问题提炼抽象成数学知识的过程，是小学数学教学的重要过程，这一过程中，无疑包含了符号化的方式。如对“数”作为一种符号的产生过程的体验与认识，便是一个典型的例子。

研究表明，儿童对“数”的认识，一般需要经历从实物逐步抽象的过程，且在开始认识时，需要丰富的、多样的实物支持。如对数“3”的认识，教材主题图中便已呈现了“3只小鸟”“3只蝴蝶”和“3盆花”等一些事物，当学生多次感知了“3个不同事物”的“量”之后，才能理解数字符号“3”其实是一个对事物某种“量”的表征。这样一个过程，既是一个符号意义理解的过程，同时也是一个数学抽象的过程。

当然，因为符号化的过程，是学生符号意识和抽象能力发展的重要过程，所以在有些内容的教学中，需要专门设计引导学生“经历符号化”的教学环节，从而渗透符号意识，发展学生的数学抽象能力。

例如，在教学人教版一下“找规律”一课时，当学生对“重复排列规律”有了一定的理解基础后，教师可以设计如下的练习。先借助课件呈现：先驶过1辆摩托车，接着驶过摩托车，再是汽车。重复3次后，提出学习任务：刚才屏幕上出现的车辆有怎样的规律？请你试着在作业纸上将这种规律表示出来。此时，因为摩托车、小汽车图案相对比较复杂，要求学生在作业纸上快速表示规律，学生画摩托车、小汽车实物图案，显然不是最佳的方法。于是逼迫学生去思考用既简洁，又能准确表示规律的方法来记录。有可能写字的；有可能画图案的（△△□△△□……）；当然也有可能写数字的（224224……）。

这些方法中，显然已经有符号意识在发生作用了。如果写字还不能算是数学化的表达的话，那么用“△△□△△□”这样图案表示就已经是符号化的表达了。学生显然已经理解了屏幕上出现的车辆以“AAB”为一组重复出现的规律了。出现第三种“用数表示”的方法，从另一种角度同样说明了学生将事物本身具有的特征（摩托车2个轮子，汽车4个轮子）作了符号化的表达，这也是一种数学化的理解。显然，这样的练习，目标有二：一是巩固学生对重复排列规律特征的认识；二是引导学生经历符号化的过程，体会符号思想，培养符号意识。一线教师如能在教学中经常性地引导学生经历这样的过程，学生符号意识的培养和数学抽象能力的提高不会再是一句空话了。

二、结合符号化的表达，引导学生把握数学本质

对于一个实际问题，学生能够将其转化为符号进行研究，一则反映出了学生对数学本质的把握能力，二来也有利于问题分析过程的简单明了。

回到本文开头提到的“搭配中的数学问题”教学片段，笔者认为，教师如果能引导学生对方法进行比较，关注符号化表达方式的优势，不但可以让学生更直观地理解“搭配”的过程，同时还可以引导学生把握“搭配”所蕴含着的“乘法原理”的本质。

我们对这些材料作较为深入地解读，便会发现：

1.用文字表达的学生，其思维停留于罗列水平，即将所有的搭配状况全部写出来，穷尽所有可能。当然，罗列的过程也有优劣之分：无序写，可能会遗漏，特别是数量再多些，更容易出现这种问题；有序写，如一种饮料配三种点心写完后，再写另一种饮料配三种点心（反之，以点心配饮料来写也可以），这样才能做到不遗漏、不重复。

2.用文字（或实物图案）+连线表达的学生，思维的抽象水平高于用文字表达的学生，他们迈出了符号化的第一步。当然，连线虽易，同样需要有序连，才能更好地做到不遗漏与不重复。此种方法因为比较直观，且情境中材料也不多，较容易画全。

3.用字母（或符号）+连线表达的学生，抽象思维能力已经比较强了。虽然，有些学生能够这样表达，却不是出于自觉，而是处于思想的朦胧状态，还无法深刻认识到这种表达方式的模型价值。但这种方式，已经是一种比较典型的符号化思维了。教学中，如果教师把这种方法拿出来，引导学生与前面的方法进行比较，启发学生关注方法的异同，相信会有更多的学生能够体会到“符号化”策略的优势，从而让更多的学生对用符号、字母或数字的表达价值有较为充分地感悟，为他们符号意识和数学思维能力提供进一步发展的可能性。反之，当学生呈现了文字表达和符号、字母、数字表达的材料时，教师仅仅从结果角度加以肯定，忽视揭示表达方式的不同所蕴含的思维价值不同的话，就会在符号意识培养上失去一个极佳的机会。endprint

三、借助符号化的过程，引导学生体验数学建模

从《义务教育数学课程标准（2011）》提出的“课程内容”十大核心词中，我们发现符号意识培养与模型思想的建立有着密切的关系，甚至可以说符号化是数学建模的必要途径。因此，借助符号化的过程，帮助学生体会数学建模的过程，理解相应的数学模型，也是发展学生符号意识的重要内容。

例如，笔者在教学人教版一上“加法的认识”一课时，就有意识地引导学生经历从实物到数字符号表达，以符号思维建构数学模型的过程。核心环节设计如下：

环节一：图形拼组，初步感知加法的意义。

呈现1个小方块：，请学生说一说用什么数来表示？（用数“1”表示）

呈现两个图形（图4），动态演示：把两个小长方体拼成一个大长方体（图5）。先请学生描述看到的情境，再用一个算式表示。

请学生说算式“2+3=5”的意思，即说明2和3分别表示什么意思？算式“2+3”表示什么意思？5呢？

这是一个引导学生初步理解加法意义的环节。结合小方块的拼组——把两个图形拼成一个图形，在学生用数字和算式表示事件的过程中，既有符号意识的体现，又有初步建立加法模型的体验。

环节二：积累经验，进一步理解加法的意义。

观察情境图，说图意，写算式。

情境图逐题呈现。图6、图7的情境直接呈现，让学生观察图意后列出算式，然后说一说为什么这样列式？图8的情境动态呈现：屏幕上飞来了2只小鸟，又飞来了3只小鸟。学生理解图意后列式。期间，学生首先需要将实物用数字符号表示出相应的数量，同时还需要从实物情境中理解把握“加法就是把两部分合并起来的过程”的模型特征。

环节三：看图直接写算式，体会加法模型的数学化本质。

直接呈现：

算式：

动态呈现：停车场原有3辆小汽车，又来了1辆。

算式：

动态呈现：3个小方块拼在一起，后又拼上1个。

算式：

质疑启思：这些图中的物品不同，为什么列出的算式都是“3+1=4”呢？与前面各例相比，此时的“3”“1”和“4”作为数字符号，内涵更为丰富，因为其表达的事物是多样的，于是算式“3+1=4”也具有了同样丰富的内涵。

三个层次的活动，以数字符号作基础，同时从实物场景抽象出加法算式的过程，又让算式有了符号化思想的渗透，既实现了发展学生符号意识的目的，又承载了数学建模的思想。

最后想说的是，《课程标准》中提出的“课程目标”与“核心概念”，在实际的教学中并不是孤立的。它是一个系统工程，需要在适当的知识学习中，把握时机，适时地加以发展。这样的教学才是真正符合课标理念的。符号意识的培养，当然也不例外。

（作者单位：浙江省嘉兴市南湖区教育研究培训中心）endprint