增长型年金现值及终值的求解

马　伟

(常州纺织服装职业技术学院 经济贸易系，江苏 常州 213164)



增长型年金现值及终值的求解

马伟

(常州纺织服装职业技术学院 经济贸易系，江苏 常州 213164)

摘要：通过演示计算，介绍了增长型年金这一特殊年金的计算方式，推导出增长型年金的现值公式和终值公式，并将其运用到实际问题中.

关键词：年金;增长型;现值;终值

判断年金的两个条件，一是收付的时间间隔相同，二是收付的金额相等.不管是普通年金(后付年金)、预付年金(先付年金)、递延年金还是永续年金，都可以通过其公式计算现值[1-2].在实际生活中，还经常遇到这样的情况：由于物价水平不断上涨，某单位实施奖金增长计划，今后5年，在第一年年末奖金为3万元的基础上，员工每年年底的奖金以5%的速度增长，折现率为3%(图1)，如何求这类情况的现值；反过来，如某人实施一项存款计划，第一年年末存款3万元，且每年存款额以5%的速度增长，连续存5年，银行利率为3%(图2)，如何求5年后该项存款计划的本息数额.

图1　某单位奖金增长计划/元Fig.1　A unit bonus growth plan/yuan

图2　某人存款计划/元Fig.2　Somebody’s deposit plan/yuan

此类情况求现值，可以分别将每年年末不等的金额进行折现，折现后金额相加，即得到现值. 第1年~第5年的现值PV1~PV5分别为

现值PV为

PV=PV1+PV2+PV3+PV4+PV5=151 397.47.

终值也可以使用这种方法求解.

这种解决方式容易理解，但若期数较长(如20期、40期等)，用这种方式解答会十分繁琐，而且容易出错.是否可以像普通年金、预付年金等总结出公式来解决呢？

从图1和图2不难看出，这类情况和普通年金有相似之处，虽然每期的现金流不等，但每期的现金流增长速度是相等的，并且每期的时间间隔是相等的，这种情况可以归纳为增长型年金.以下推导其现值和终值公式.

1增长型年金现值公式的推导

假设首期末的现金流为C，每年以g的速度增长，折现率为r，一共有n期，求现值PV(图3).

图3　增长型年金现值/元Fig.3　Present value of growing annuity/yuan

将每年的现金流折现后相加，

(1)

1)当r=g，(1)式可简化为(2)式，

(2)

再简化为

(3)

(4)

由(1)式+(4)式得

(5)

由此可见，增长型年金根据r是否与g相等，可分别使用(3)式或(5)式求解.

3)当n为无限大时，该年金为永续增长型年金，

(6)

2增长型年金终值公式的推导

如图4，假设首年末的现金流为C，每年以g的速度增长，银行利率为r，每年一次复利计息，一共有n期，那么该情况下，终值FV是多少？

图4　增长型年金终值Fig.4　Final value of growing annuity

计算每年的终值，然后相加得

FV=C(1+g)n-1+C(1+g)n-2(1+r)+…+C(1+g)2(1+r)n-3+

C(1+g)(1+r)n-2+C(1+r)n-1.

(7)

1)当r=g，(7)式可简化为

FV=C(1+g)n-1+C(1+g)n-1+…+C(1+g)3+C(1+g)2+C(1+g)(共n-1个),

(8)

再简化为

FV=nC(1+g)n-1.

(9)

C(1+g)(1+r)n-2-C(1+r)n-1-C(1+g)-1(1+r)n，

(10)

由(7)式+(10)式得

(11)

3实例

例140岁的王先生准备给自己留一份养老保险，该养老保险在41岁年末可领取50 000元，并从42岁年末起每年以5%的速度增加，一直可以领取40年，折现率为6%，问这笔养老保险的现值是多少？

解 由题目可见，折现率与增长率不相等，使用式(5)求解，

PV=1 577 784.48.

例2小王新婚，与妻子商量买房，准备每年末存3万元，并根据收入状况存款每年增加10%，连续存5年，最后一次性取出，作为购买新房的首付款，银行年利率为3.5%，复利计息，这么5年之后这笔存款为多少？

解该题可直接使用(11)式求解，

4小结

年金是常用的确定金融资产价值的方法，普通年金、预付年金、递延年金在所有的财务管理学教材中均有介绍.在现实生活中，单纯利用普通年金、预付年金、递延年金公式解决实际问题的情况很少，只有完全掌握了年金的含义，才能灵活运用.

参考文献

[1]曹惠民.财务管理学[M].上海：立信会计出版社，2011.

[2]马伟.递延年金求现值教学方法的探讨——高职高专财务管理课程难点解析[J].哈尔滨职业技术学院学报，2014(6)：16.

Solution to Present Value and Final Value of Growing Annuity

MA Wei

(DepartmentofEconomicandTrade,ChangzhouTextileGarmentInstitute,Changzhou213164,China)

Abstract:The calculation of special pension named growing annuity is introduced. The present value formula of growing annuity and the final value formula are deduced and applied to practical problems.

Key words:annuity; type of growing; present value; final value

中图分类号：F22

文献标识码：A

文章编号：1007-0834(2015)02-0049-03

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2015.02.014

作者简介：马伟(1983—)，男，江苏泰州人，常州纺织服装职业技术学院经济贸易系讲师、审计师.

收稿日期：2014-12-22