一类七次系统幂零奇点的中心判定

卜珏萍 陶有田

(巢湖学院应用数学学院，安徽 巢湖 238000）

一类七次系统幂零奇点的中心判定

卜珏萍 陶有田

(巢湖学院应用数学学院，安徽 巢湖 238000）

研究了一类七次系统三次幂零奇点的中心判定问题。利用Mathematica软件进行计算并化简，推导出该七次微分系统原点的前9个拟Lyapunov常数，并在此基础上进一步分析讨论，从而得出原点成为中心的充要条件。

七次系统；幂零奇点；中心；拟Lyapunov常数

讨论一类特殊的七次微分自治系统

的中心判定问题。其中，原点为三次幂零奇点。由文献[1]，系统(1）的原点为中心或焦点。

由文献[3]，对系统(1）可待定形式级数M(x，y）=y2+x4+o(r4）与正整数s使得成立。另由文献[3]中的递推公式

在Mathematica上计算并化简得

因为s是正整数，故可得系统(1）原点的前两个拟Lyapunov常数

以下取s=1，并在Mathematica软件上进一步计算可以得到：

定理1 系统(1）在原点的前9个拟Lyapunov常数分别为：

由λi=0(i=1，2，…，9）时，可得

或

故由式(7）与(8），得

定理2 系统(1）的原点前9个拟Lyapunov常数全部为零，即：

条件(9）与(10）其中之一成立。

(i）当式(9）成立时，系统(1）可化为

此时，

因此由对称原理，系统(1）的向量场对称于x轴，并且原点为中心。

(ii）当式(10）成立时，系统(1）可化为

此时，

因此由对称原理，系统(1）的向量场对称于y轴，并且原点为中心。

根据以上分析得：

定理3 系统(1）的原点成为中心的充要条件是原点的前9个拟Lyapunov常数全部为零，即条件(9）与(10）其中之一成立。

[1]Amelikin.B.B.，Lukashivich.H.A.&Sadovski.A.P.Nonlinear Oscillations in Second Systems[M].BGY Lenin∶B.I.Press，1982.

[2]刘一戎，李继彬.平面向量场的若干经典问题[M].北京：科学出版社，2010.

[3]Alvarez.M.J.&Gasull.A.Cenerating limits cycles from a nilpotent critical point via normal forms[J].J.Math.Anal.Appl.，2006∶271-287.

[4]Liu，Y.R.Theory of center-focus in a class of high order singular points and infinity[J].Sci.in China，2001，（1）∶37-48.

[5]Zhang Qi&Liu Yirong.A cubic polynomial system with seven limit cycles at infinity[J].Applied Mathematics and Computation，2006，（1）∶319-329.

[6]赵倩倩.一类原点为幂零奇点的七次系统的中心判定[J].科技信息，2012，（3）∶301-302.

[7]卜珏萍.一类七次系统三次幂零奇点的中心判定[J].大庆师范学院学报，2014，（6）∶33-35.

ON THE CRITERION OF THE CENTER FOR NILPOTENT SINGULAR POINTS IN A CLASS OF SEVEN-ORDER SYSTEM

BU Jue-ping TAO You-tian
（School of Applied Mathematics，Chaohu College，Chaohu Anhui 238000）

The criterion of the center for three-order nilpotent singular points in a class of seven-order system is studied in this paper.The software，Mathematica，is used to calculate and simplify to derive the first nine quasi-Lyapunov constants of the origin of this differential system.Based on this，we have further discussion and analysis to obtain the necessary and sufficient conditions which make the origin center.

seven-order system；Nilpotent singular point；center；quasi-Lyapunov constant

O175

A

1672-2868（2015）06-0007-03

责任编辑：陈 侃

2015-10-17

巢湖学院院级自然科学研究项目(项目编号：XLY-201401）；巢湖学院院级自然科学研究项目(项目编号：XLY-201502）；安徽省高校优秀青年人才支持计划重点项目(项目编号：gxyqZD2016285）

卜珏萍(1985-），女，安徽巢湖人。巢湖学院应用数学学院，讲师。研究方向：微分方程定性理论与分支问题。