广义算子半群的ShishaMond型概率逼近问题

通讯作者，Email：cc9089@163.com.，仓定帮，刘海生，葛世刚（华北科技学院基础部，中国 北京101601）

摘要给出了广义算子半群的连续修正模的定义，基于此对广义算子半群的概率逼近问题进行了研究.在不同的概率分布形式下，给出了广义算子半群ShishaMond型概率逼近形式和速度估计.

关键词广义算子半群;连续修正模;概率逼近

中图分类号O177.2文献标识码A文章编号10002537（2015）06008805

ShishaMond Probabilistic Approximation for Generalized Operator Semigroups

CHEN Cang*， CANG Dingbang， LIU Haisheng， Ge Shigang

（Basic Department， North China Institute of Science and Technology， Beijing 101601， China）

AbstractDefinition of continuous modified modulus is presented in this work and then used to address the problem of probabilistic approximation for generalized operator semigroups. The ShishaMond probabilistic approximation formulas and convergent rates are given under different forms of probability distributions as well.

Key wordsgeneralized operator semigroups; continuous modified modulus; probabilistic approximation

自1942年，为了解决偏微分方程的初值问题，以Hille与Yosida为代表的一些数学家提出了Banach空间上强连续C0半群理论.此后，算子半群理论得到了不断的充实与发展.根据不同应用背景，C半群、积分半群等理论不断被提出[15]，在解决偏微分方程领域起着非常重要的作用.分布参数控制系统、现代航天技术等工程领域中引人注目的问题的数学模型均为其有力的背景.

广义分布参数系统，即对时间的偏导数项的系数算子不一定可逆的系统，是由广义偏微分方程、广义积分方程或无限维空间中广义抽象微分方程所描述的系统的总称.由于其具有强有力的物理背景，如复合材料的温度分布问题、电磁耦合超导线路中的电压分布问题等，近年来得到了广泛的研究[15].文献[1]研究了下面的齐次与非齐次的广义分布系统

Bdxdt=Ax

x（0）=x0  ， Bdxdt=Ax+f（x）

x（0）=x0，

的求解问题，其中B是有界线性算子，A为线性闭算子.通过研究发现上面的问题要想通过Laplace变换和卷积公式进行计算存在困难，由此提出了广义预解式和广义算子半群的概念，从而为研究上述广义系统的适定性提供了新的方法.

半群的概率表示形式是半群理论研究的重要内容[615]，本文对广义算子半群的概率逼近问题进行了研究，以较为简单的形式给出了广义算子半群概率逼近形式和速度估计.

湖南师范大学自然科学学报第38卷第6期陈藏等：广义算子半群的ShishaMond型概率逼近问题1定义与引理

定义1[1] 设E是Banach空间上的有界线性算子，A是闭线性算子，称ρ（B，A）={λ：λ∈C，（λB-A）-1是Banach空间上的线性算子}为算子A的广义预解集，ρ（B，A）的余集称为A的B广义谱集，记为σ（B，A）.对λ∈ρ（B，A），称R（λB，A）=（λB-A）-1为A的B广义预解式.

定义2[1] 设X是Banach空间，B（X）是X上的有界线性算子全体，设单参数算子{T（t）}t≥0∈B（X），B是一个有界线性算子，若T（t+s）=T（t）BT（s），t，s≥0，则称{T（t）}t≥0是由E引导的广义算子半群，简称广义算子半群.

定义3[1] 设A是X中的闭稠定线性算子，{T（t）}t≥0是强连续有界线性算子，且存在M>0，η∈R，使得T（t）≤Meηt成立，E是一个有界线性算子，若下面的式子成立：

（λB-A）-1=R（λB，A）=∫∞0e-λtT（t）dt，λ∈C，Reλ>ω0，

此时{T（t）}t≥0称为由B引导的以A为生成元的指数有界的广义算子半群.

定义4设b>0，{T（t）}t≥0为由B引导的以A为生成元的指数有界的广义算子半群，记

w（τ，t，x）=sup{B（（T（t）-T（s））x：s，t∈[0，b]，t-s<τ}，

称w（τ，t，x）为广义算子半群{T（t）}t≥0的B连续修正模.

定义5设X为随机变量，*X（t）=E[etX]，X的生成函数为X（t）=E[tX]，取X=∑Nk=1Yk，{Yk}∞k=1是随机变量Y的独立同分布列，且与N独立，且有

*X（t）=N（*Y（t））.

引理1若{T（t）}t≥0称为由E引导的以A为生成元的指数有界的广义算子半群，则T（t）Ex-x=A∫t0T（s）xds，t≥0.

证x∈D（A），Reλ>ω0有

λ∫∞0e-λtxdt=x=λBR（λB，A）x-AR（λB，A）x=λ∫∞0e-λtBT（t）xdt-∫∞0e-λtT（t）Axdt=

λ∫∞0e-λtBT（t）xdt-λ∫∞0e-λt∫t0AT（t）xdsdt，

再根据Laplace变换的唯一性可知BT（t）x-x=∫t0AT（s）xds.

引理2{T（t）}t≥0为由B引导的以A为生成元的指数有界的广义算子半群，有

‖B（S（t）x-S（t0））x‖≤M‖B‖eηt0w（x，0，τ）.

证由于t0=0时，上式明显成立，不妨设t0>0，当X且|t-t0|≤τ时，有

‖B（S（t）x-S（t0））x‖≤‖BS（t0）‖B（S（t-t0）-S（0））x‖≤M‖B‖eηt0w（x，0，τ），

其中η≥0，证毕.

引理3设Y是非负N且期望E（X）=t≥0，方差E[（X-t）2]σ2（t），{T（t）}t≥0为由B引导的以A为生成元的指数有界的广义算子半群，*X（ω）=E[eωX]<+∞，则对每个x∈X和λ>0有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤M‖B‖eηtmin（1+λ-1，1+λ2）ω（x，t，λσ（t））.

证根据连续模的定义和（1）式，对每个x∈Xc和δ>0，有

‖BT（X）x-BT（t）x‖≤M‖B‖eωtω（x，t，|X-t|）≤

M‖B‖eωtω（x，t，δ）min（1+δ-1|X-t|，1+δ-2|X-t|2）.

由于*X（ω）<+∞，所以算子值随机变量T（X），在广义Pettis积分意义下，期望E[TS（X）]∈B（X），且对每个x∈X，有E[BT（X）]x=BT[E（X）x]，因而由Schwartz不等式，对τ>0有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖=‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤E（‖BT（X）x-BT（t）x‖）≤

Meωtω（x，0，τ）min（1+τ-1σ（t），1+τ-2σ2（t））.

特别取τ=λσ（t）（λ>0），由上式得到所需的估计式.

直接计算得到，对h>0，t∈（-∞，+∞），有∫|t|0（1+[τh]dτ）≤12h（|t|+h2）2因而，对h>0，有 ∫x1（1+[|u-t|h]）du≤12h（|X-t|+h2）2.

引理4在引理2条件下，对每个x∈D（A）和λ>0，有

‖E[T（X）]x-T（t）x‖≤Meωtmin（1+12λ-1，18λ-1（2+λ）2）σ（t）ω（Ax，0，λσ（t））.

证由于x∈D（A）c必有x∈D（A），所以对X，t≥0有

BT（X）x-BT（t）x=∫XtT（u）Axdu，

BT（X）x-BT（t）x=（X-t）T（t）Ax+∫Xt[T（u）Ax-T（t）Ax]du.

由此由连续模定义，对τ>0有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤E（|∫Xt‖BT（u）Ax-BT（t）Ax‖du|））≤

Meωtω（Ax，0，τ）E（∫Xt（1+[|u-t|τ]）du.

一方面利用不等式[|u-t|τ]≤|u-t|τ，另一方面对τ>0，有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤Meωtω（Ax，0，τ）min{σ（t）（1+σ（t）2τ），12τ（σ（t）+τ2）2}.

特别取τ=λσ（t）（λ>0），由上式导出，对每个x∈D（A）和λ>0，有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤Meωtmin（1+12λ-1，18λ-1（2+λ）2）σ（t）ω（Ax，0，λσ（t）），

证毕.

设N≥0是E（N）=η≥0的整数值随机变量，Y是E（Y）=γ的非负随机变量，且ησ2（Y）+γ2σ2（N）>0，又设{Yk}∞k=1是与Y同分布的独立随机变量序列，记X=∑Nk=1Yk，则有E（X）=ηγ和σ2（X）=ησ2（Y）+γ2σ2（N）.再设{Xk}+∞k-1是与X同分布的独立随机变量序列，记Sn=∑nk=1Xk.

引理5{T（t）}t≥0为由B引导的以A为生成元的指数有界的广义算子半群则在广义Pettis积分意义下，期望E[BT（Snn）]存在，并且有E[BT（Snn）]={N[E（BT（Yn））]}n.

证E[BT（1n∑nk=1Xk）]=En[BT（Xn）]=En[BT（1n∑Nk=1Yk）]=

{∑∞i=0E[BT（1n∑Nk=1Yk）|N=i]P{N=i}}n=

{∑∞i=0E[BT（1n∑ik=1Yk）|N=i]P{N=i}}n={∑∞i=0Ei[BT（Yn）]P{N=i}}n=

{∑∞i=0Ei[BT（Yn）]P{N=i}}n={N[B[T（Yn）]]}n.

2主要结论

由引理3，4和5可以得到如下定理1.

定理1设对某个δ1>0，有N（δ1）<+∞，又对某个δ2>0，有*Y（δ2）<+∞，{T（t）}t≥0为由B引导的以A为生成元的指数有界的广义算子半群，则对每个η≥0、γ>0及充分大n，有如下估计：

（1）对每个x∈X和λ>0，有

‖{N[E（BT（Yn））]}nx-BT（ηγ）x‖≤Meωηγmin（1+λ-1，1+λ-2）ω（x，0，ησ2（Y）+γ2σ2（N）n）;

（2）对每个x∈D（A）和λ>0，有

‖{N[E（BT（Yn））]}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（2λ+12λ，（2+λ）28λ）ησ2（Y）+γ2σ2（N）nω（Ax，0，ησ2（Y）+γ2σ2（N）n）;

（3）特别在（2）中取λ=ησ2（Y）+γ2σ2（N）得到对每个x∈X，有

‖{N[E（BT（Yn））]}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+ησ2（Y）+γ2σ2（N），1+ησ2（Y）+γ2σ2（N））ω（x，0，1n）;

（4）对每个x∈D（A），有

‖{Nη[E（BT（Yγn））]}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+ησ2（Y）+γ2σ2（N）2，（2ησ2（Y）+γ2σ2（N）+1）28）1nω（Ax，0，1n）.

推论1设N≥0是服从E（N）=η≥0的两点分布随机变量， Y=γ是常数，对x∈X有：

‖{[（1-η）I+BT（γn）η]}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+γη（1-η），1+γ2η（1-η））ω（x，0，1n）.

推论2设N≥0是服从E（N）=η≥0的Polya分布随机变量， Y=γ是常数，对x∈X有

‖{[（1+αη）I-αηBT（γn）η]}-nαx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+γη（1-η），1+γ2η（1-η））ω（x，0，1n）.

推论3设N≥0是服从E（N）=η≥0的Poisson分布的随机变量， Y=γ是常数，对x∈X有

‖enη[BT（γn）-I]x-BT（ηγ）x‖≤Meωηγmin（1+γη（1+αη），1+γ2（η（1+αη）））ω（x，0，1n）.

推论4设N≥0是服从E（N）=η≥0的指数分布的值随机变量， Y=γ是常数，对x∈X有

‖{nγBR（nηγB，A）}nx-BT（ηγ）x‖≤Meωηγmin（1+γη，1+γ2η2）ω（x，0，1n）.

推论5设N≥0是服从E（N）=η≥0的两点的值随机变量， Y是服从E（Y）=γ的指数分布，，对x∈X有

‖{nBR（nηB，A）+（1-I）η}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+ηγ2+γ2η（1-η），1+ηγ2+γ2η（1-η））ω（x，0，1n）.

最后指出，当B≡I时，文中的所有估计式，相应地导出（C0）类算子半群概率表示式的ShishaMond型估计.

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