各组合模型在GPS高程拟合中的应用研究

卢献健，晏红波，梁月吉，任 超

(1.桂林理工大学测绘地理信息学院，广西桂林541004;2.广西空间信息与测绘重点实验室，广西桂林541004)

一、引 言

GPS高程拟合精度在实际工程应用中尤为重要，拟合模型有多种形式，常用的高程异常拟合方法有多项式曲面拟合、多面函数法拟合、神经网络拟合、最小二乘法拟合、主成分估计法拟合等。在GPS高程拟合中，不同的模型对高程的预测精度都不一样，且不同模型对同一高程点的预测结果也不一样，每一种模型都存在自身的优缺点，使得预测结果达不到全局最优。本文主要对将最优非负变权模型引入到GPS高程拟合中的可行性进行研究，并与最优加权组合模型、BP神经网络组合模型进行比较。算例结果表明，最优非负变权模型以动态的权值不断更新拟合模型，预测结果和预测精度都优于单一模型、最优加权组合模型和BP神经网络模型，在GPS高程拟合中具有一定的意义。

二、组合模型的建立

1.最优加权组合模型

最优加权组合模型的建立如下［1-2］:

设构建3个单模型yj(j=1，2，3)，组成高程拟合模型Y3=ψ(y1，y2，y3)。设组合模型中各模型的权重向量，并取此时，组合模型的形式为

若某个单模型的拟合残差为

则各模型可构成拟合残差矩阵

通过对误差平方和在最小二乘原理下求解数学规划得到组合模型的最优权重。其目标函数和约束条件为

令R=1 1…[]1T，得

对式(5)用Laplace乘子法求解，得

则最优权重向量为

目标函数的最小值为

2.BP神经网络组合模型

神经网络方法是基于模仿人类大脑的结构和功能的一种新型信息处理算法。BP神经网络是神经网络算法中的一种，由Rumelhart等于1986年创立，它是基于多层前向神经采用误差反方向传播的学习算法进行权值调整，以得到拟合精度较高的神经网络［3-5］。

BP网络的设计一般分为输入转换层、输入层、隐含层、输出层、输出转换层，以及各层节点、传输函数、训练函数等。对于本次多因子的高程异常值网络计算步骤如下:

(1)学习和测试样本的确定

考虑到水位、温度等大坝影响因子，建立大坝变形与影响因子之间的相关性，将变形影响因子纳入到BP神经网络中进行训练，选取前15期数据作为学习训练样本，目标输出样本为大坝实际变形值，将最后15期的数据作为测试样本。

(2)学习样本的归一化

由于大坝变形数据样本(温度、水压和估计值)的单位和量纲都不相同，并且为消除输入变量的绝对值相差过大，避免神经元“过拟合”现象，经过归一化的数据对模型边缘点有更强的泛化能力［5］，因此在进行网络训练前，必须对样本进行归一化处理，公式如下［6］:

式中，y 为原始的样输入数据;xmin、xmax、ymin、ymax是样本中各输入对应的最大值和最小值;y为归一化后的样本。

3.最优非负变权组合预测模型的建立

最优非负变权组合模型的建立如下［6-8］:

设某高程异常值为Yt，用以上3种单项预测模型对其进行建模拟合，其拟合值为Yit，表示第i种单一模型对第t高程异常点的拟合值，其中i=1，2，3，t=1，2，…，n。令

设eit、et分别为第i种单一模型和组合模型在

第t个高程异常点的拟合误差，则

得出

则由以上公式可确定最优非负变权系数的规划模式

本文主要以预测误差平方和最小为目标，通过规划方法求解各高程拟合值的权系数。

三、精度评定

为综合评定模型的精度，本文采用均方误差、平均绝对值误差、平均绝对百分比误差进行最优非负变权组合模型在高程异常值预测中的评定［9］。

1)均方误差(MSE)为

2)平均绝对误差(MAE)为

3)平均绝对百分比误差(MAPE)为

四、算例分析

本文以文献［10］中最小二乘拟合估计、主成分估计、半参数估计3种单一模型的预测结果为试验数据，见表1(3种单一模型本文不作详细介绍)，采用最优加权组合模型、BP神经网络组合模型、最优非负变权组合模型进行异常值预测。经Matlab编程计算，得出各组合模型运算的结果见表2，各模型的精度对比分析结果见表3。

表1 单一模型的预测值结果与实际值对比 mm

表2 各组合模型的预测值结果与实际值对比 mm

表3 各模型精度对比 mm

由表1和表2可知，最优非负变权组合模型比最小二乘拟合估计、主成分估计、半参数估计的预测值接近于实际值，预测效果最好。从表2看出，3种组合模型中，最优加权组合模型和BP神经网络组合模型在一定程度上综合了单一模型的预测精度，显然在某些高程异常值的预测精度低于单一模型，而最优非负变权组合模型预测精度更高。通过表3综合精度对比分析，最优非负变权组合模型的三误差达到最小。

各组合模型预测值和实际大坝变形值的对比如图1所示，各组合模型的残差如图2所示。

图1 各模型预测值和实际高程异常值对比

图2 各组合模型的残差图

由图1可以看出，3个组合模型的预测值和实际值相差不是很大，最优加权组合模型比BP神经网络模型预测效果好，而最优非负变权组合模型的预测效果最佳，和实际值都非常接近。由于最优非负变权组合采用动态变权的方式，克服了单一模型存在的局限性，综合了各模型的优点，故其预测精度基本达到全局最优。从图2分析，基于非负变权组合模型的残差曲线图呈一条直线分布，几乎接近于零，这进一步表明了最优非负变权组合模型的优越性。综上可见，最优非负变权组合模型无论在预测效果还是预测精度都优于单一模型、最优加权组合模型和BP神经网络组合模型，在GPS高程拟合中具有一定的意义。

五、结 论

本文将最优非负变权组合模型引入到高程异常值中，通过与单一模型、最优加权组合模型、BP神经网络组合模型对比，得出以下结论:最优非负变权组合模型在GPS高程异常值拟合中的应用是可行的，其预测精度与单一模型、最优加权组合模型、BP神经网络组合模型的预测结果对比，更具优越性;该模型充分结合了各单一模型的优点，克服了单一模型在预测中出现不稳定性问题，并通过权重的改变来提高预测精度，故其模型的综合精度远优于单一模型，预测结果基本达到全局最优。

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