一类时滞SIQRS网络病毒传播模型的稳定性和Hopf分支＊

尹 发，张子振，王丽叶

（安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽 蚌埠，233030）

引言

近年来，基于网络病毒的传播与传染疾病的传播相似性，有不少研究学者提出了不同的计算机网络病毒传播模型，研究计算机网络病毒的传播行为．文献［1］研究了一类改进的SIR网络病毒传播模型的稳定性，并给出产生分岔的充分条件．文献［2］和文献［3］分别研究了一类具有直接免疫的SIR和SIRS网络病毒传播模型．考虑到网络病毒的潜伏期，文献［4］则在SIR网络病毒传播模型的基础上，提出了一类SEIR网络病毒传播模型，并研究了模型的有病毒平衡点的稳定性．但是，以上网络病毒传播模型并未考虑到时滞因素．考虑到网络病毒的潜伏期时滞，文献［5］提出并研究了一下具有隔离策略的时滞SIQR网络病毒传播模型：

其中，S（t），I（t），Q（t）和R（t）分别表示易感状态、感染状态、隔离状态和恢复状态节点在时刻t的数量．b，p，β，d，α1，α2，γ，δ和ε为系统（1）的参数，均具有和文献［5］相同的物理含义．τ为网络病毒的潜伏期时滞．文献［5］研究了系统（1）的全局吸引性和持续性，得到了一些有益的结果．显然，系统（1）是假设处于恢复状态的节点对网络病毒具有永久的免疫力，这与现实中的网络世界是不相符的．基于此，并考虑到恢复状态的节点对网络病毒的临时免疫期时滞，本文提出下列具有临时免疫期时滞的SIQRS网络病毒传播模型：

其中，η为恢复状态节点向易感节点的转化率，τ为恢复状态节点的临时免疫期时滞．

1 有病毒平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性

系统（2）在有病毒平衡点D＊处的线性化系统为

其中

系统（3）的特征方程为：

其中：

当τ＝0时，方程（4）变为

其中：

A0＊＝A0＋B0，A1＊＝A1＋B1，

A2＊＝A2＋B2，A3＊＝A3＋B3．

根据A3，B3的表达式可以得到A3＋B3＝3d＋α2＋ε＋η＋βI＊＞0．因此，如果条件（H1）（其中，条件（H1）即：方程（6）～（8））成立，则系统（2）的有病毒平衡点D＊是局部渐近稳定的．

当τ＞0时，令λ＝iω（ω＞0）为方程（4）的一个根．则可以得到：

进而，得到

其中，

令ω2＝v，则方程（10）变为

关于方程（11）根的分布，类似于文献［6］中的讨论．根据文献［6］中的讨论结果，并考虑到如果系统（2）的所有参数值给定，那么方程（11）的根很容易由Matlab软件计算得到．因此，为了给出本文主要结果，做出下列假设：

（H2）：方程（11）至少存在一个正实根．

如果条件（H2）成立，即方程（11）至少存在一个正实根，则方程（11）至少存在一个正实根v0使得方程（4）存在一对纯虚根对于ω0，根据方程（9）可以得到相应的时滞临界值

因此，

对方程（4）左右两边同时求λ关于τ的导数，可以得到

因此，

因此，如果条件（H3），即，f′（v＊）≠0，成立，则根据文献［7］中所介绍的Hopf分支定理可以得到下列结论．

定理1 如果条件（H1）～（H3）成立，则当τ∈［0，τ0）时，系统（2）的有病毒平衡点D＊（S＊，I＊，Q＊，R＊）是渐近稳定的；当τ＝τ0时，系统（2）在有病毒平衡点D＊（S＊，I＊，Q＊，R＊）处产生Hopf分支，并在τ＝τ0附近产生一簇周期解．

2 仿真示例

令b＝10，d＝0．01，p＝0．2，α1＝0．01，α2＝0．02，β＝0．1，γ＝0．5，δ＝0．1，ε＝0．1，η＝0．5．可以得到系统（2）的一个仿真示例：

利用Matlab软件经过计算可以得到，R0＝160．657 8＞1并得到系统（12）的唯一有病毒平衡点D＊（6．2，182．238 3，140．183 3，210．073 5），并且可以验证条件（H1）是成立的．进而，有ω0＝1．002 9，τ0＝9．667 2．根据定理1可知，当τ∈（0，9．667 2）时，系统（12）是渐近稳定的，当τ＞τ0＝9．667 2时则系统（12）失去稳定性，并产生Hopf分支．仿真效果如图1～4所示．

图1 当τ＝8．35∈（0，9．667 2）时，系统（12）SIQ相图

图2 当τ＝8．35∈（0，9．667 2）时，系统（12）IQR相图

图3 当τ＝12．25＞τ0＝9．667 2时，系统（12）SIQ相图

图4 当τ＝12．25＞τ0＝9．667 2时，系统（12）IQR相图

3 结论

基于文献［5］中所提出的SIQR网络病毒传播模型，并考虑到网络中恢复状态节点对病毒的临时免疫期，本文提出了一类具有临时免疫期时滞的SIQRS网络病毒传播模型．首先给出有病毒平衡点存在的条件，进而以恢复状态节点的临时免疫期时滞为分支参数，通过分析相应特征方程根的分布，讨论了有病毒平衡点局部渐近稳定性和Hopf分支的存在性，得到有病毒平衡点局部渐近稳定性和Hopf分支存在的充分条件．最后，给出一个仿真示例对所得理论分析结果的正确性进行了验证．Hopf分支的发生，将不利于控制网络病毒传播有效措施的制定．因此，应该采取有效措施对系统（2）Hopf分支的产生进行控制．

［1］Piqueira J．R．C，Araujo V．O．A modified epidemiological model for co mputer vir uses［J］．Applied Mathematics and Co mputation，2009，213（2）：355－360．

［2］肖丽，包骏杰，冯丽萍．一种新的计算机病毒模型的稳定性分析［J］．湘潭大学自然科学学报，2012，34（2）：94－96．

［3］叶晓梦，杨小帆．基于两阶段免疫接种的SIRS计算机病毒传播模型［J］．计算机应用，2013，33（3）：739－742．

［4］Peng M，He X，Huang J．J，Dong T．Modelling computer virus and its dynamics［J］．Mathematical Problems in Engineering，vol．2013，Article ID 842614，5 pages．

［5］杨斌．具有时滞的SIQR计算机病毒模型分析［J］．重庆工商大学学报（自然科学版），2013，30（9）：70－73．

［6］Li X．L，Wei J．J．On the zer os of a fourth degree exponential polyno mial with applications to a neural net wor k model with delays［J］．Chaos，Solitons and Fractals，2005，26（2）：519－526．

［7］Hassard B．D，Kazarinoff N．D，Wan Y．H．Theory and Applications of Hopf Bif urcation［M］．Cambridge University Press，Cambridge（1981）．