具有收获项和Hassell－varley 功能反应的捕食时标系统多重周期解

王 晖

( 内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽028000)

同理可得:

1 记号与机型引理

近年来，为整合统一微分方程和差分方程，人们对时标动力学方程有了一些研究成果［1－2］．1990 年德国数学家Stefan Hilger 在他的博士论文中建立了时标理论，其目的是为了整合和统一连续分析和离散分析［3－5］．目前在时间测度上研究捕食系统周期解已得到不少结果［6－8］．然而，目前关于时标动力学方程多周期解的研究成果还很少．特别地，关于具有多收获项的时标动力学系统多重周期解的相关结果就更少了［9］．很多学者对具有不同类型功能性反应的捕食者－食饵系统进行了深入的研究，但对于Hassell－varley 型功能反应的研究尚不多见［10－11］．具有Hassell－varley 型功能反应的捕食者－食饵系统的一般形式为:

其中γ 称为Hassell－varley 系数，该模型反映了形成群体的捕食者之间的相互关系．对于某些构成群体的陆地捕食者，可设，而对于某些构成群体的水生捕食者，设更合适些．若γ=1，即捕食者没有形成群体，则该模型变为比率型捕食者－食饵系统．

受上述文献［9，11］的启发，本文考虑在时间测度上研究具有Hassell－varley 型功能反应和收获项的捕食系统:

多周期解的存在性问题，其中ai(t)，bi(t)，ci(t)，hi(t)(i=1，2)，m(t)是连续的有界严格正ω 周期函数，T为任一时标，γ∈(0，1］．

当T=Z时，系统(1)变为离散的捕食系统(3):

为了方便叙述，先引入Ganiness 和Mawhin 的重合度理论中的延拓定理．

设X，Z是赋范向量空间，L:DomL⊂X→Z为线性映射，N:X→Z为连续映射．如果dimKerL=codimImL＜+∞，且ImL为Z中的闭子集，则称L为指标为零的Fredholm 映射．如果L是指标为零的Fredholm 映射且存在连续投影P:X→X及Q:Z→Z，使得ImP=KerL，KerQ=ImL，x=KerL⊕KerP和Z=ImL⊕ImQ，那么L的限制LP是DomL∩KerP到ImL上的一一映射，故LP可逆．设其逆映射为KP:ImL→DomL∩KerP．设Ω 为X中的有界开集，若与都是紧的，则称N在Ω上是L－紧的．由于ImQ和KerL同构，故存在同构映射J:ImQ→KerL．

引理1［12］(Mawhin 严拓定理) 若Ω⊂X是一个有界开集，且L是指标为零的Fredholm 映射，N:X→Z在上是－紧的．假设:

(a)对任意的λ∈(0，1)，当x∈∂Ω∩DomL时，Lx≠λNx;

(b)对任意的x∈∂Ω∩KerL时，QNx≠0;

(c)degJQN，Ω∩KerL，0

{

}≠0．

那么算子方程Lx=Nx在Ω∩DomL内至少存在一个解．

引理2［12］设t1，t2∈Iω，t∈T，若g是T→R的ω－周期函数，则:，那么对于函数

引理3［13］令x≥0，y≥0，z≥0 且，有下列的结论成立:

1)函数f(x，y，z)和g(x，y，z)关于变量x∈(0，+∞)分别是单调增加和单调减少的;

2)函数f(x，y，z)和g(x，y，z)关于变量y∈(0，+∞)分别是单调减少和单调增加的;

3)函数f(x，y，z)和g(x，y，z)关于变量z∈(0，+∞)分别是单调减少和单调增加的．

其中g∈Crd(T)是周期为ω 的实函数．

2 多周期解的存在性

容易看出lω是Banach 空间，令，不难得出和都是的闭线性子空间

定理1 假设下列条件:

成立，那么系统(1)至少存在4 个ω－周期正解．

证明 令X=Z=lω，定义

映射．不难发现P，Q是连续投影且使得ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I－Q)，并且L的逆映射KP:ImL→KerP∩DomL是存在的，即:

设Ω 是X中的有界开集，显然QN和KP(I－Q)N都是连续的．因为X是Banach 空间，所以由Arzala－ascoli 定理，容易证明在Ω 上是紧的，而且是有界的，因此N在Ω 上是L－紧的．

考虑算子方程Lx=λNx，λ∈(0，1)，即:

对系统(4)从k到k+ω 积分，得:

由式(5)～(6)得:

由于x=(x1(t)，x2(t))∈X，故存在ξi，ηi∈Iω，使得:

由式(5)可得:

从而得

由式(7)和(9)得:

由式(6)可得:

从而有

由式(8)和(12)，得:

由式(5)可得:

从而有

解得

由式(7)和(16)可得:

由式(5)，(11)和(13)可得:

从而有:

从而得:

从而有:

由式(8)和(21)可得:

再由式(6)可得:

从而有:

由式(8)和(23)可得:

由此可得:

从而得:

其中:

根据引理3［13］不难验证

由式(16)，(17)和(19)可知，对任意的t∈Iω，有:

由式(21)，(22)和(24)可知，对任意的t∈Iω，有:

显然Ωi(i=1，2，3，4)是X中的有界开集，且Ωi∩Ωj=φ，i≠j，i=j=1，2，3，4，则Ωi(i=1，2，3，4)满足引理1［12］中条件(a)．

下面证明引理1［12］中条件(b)成立．也就是说，当x∈∂Ωi∩KerL=∂Ωi∩R2(i=1，2，3，4)，x=(x1，x2)T是R2中的常值向量，那么QNx≠0．如若不然，不防设x∈∂Ωi∩KerL=∂Ωi∩R2(i=1，2，3)，此时x=(x1，x2)T是R2中的常值向量，且当x∈∂Ωi(i=1，2，3，4)时，有:

类似式(25)～(28)的证明，不难得到:

于是可得:x∈Ω1∩R2或x∈Ω2∩R2或x∈Ω3∩R2或x∈Ω4∩R2．这与x∈Ωi∩R2(i=1，2，3，4)相矛盾，因此引理1［12］中的条件(b)成立．

定义映射Φ:DomL×［0，1］→X:

当条件(H1)，(H2)成立时，代数方程:

其中:

由引理3［13］不难验证:

同理可得:

至此验证了引理1［12］中的全部条件．因此系统(1)至少有4 个周期正解．

［1］ Bohner M，Peterson A．Dynamic equations on time scales:anintroduction with application［M］．Boston:Birkhauser，2001．

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