浅谈高中数学函数解析式的求法

2015-12-08金昌欢

人间 2015年33期

关键词：元法赋值解析

金昌欢

(江西省新建区第一中学，江西南昌 330100)

浅谈高中数学函数解析式的求法

金昌欢

(江西省新建区第一中学，江西南昌 330100)

函数的解析式即把两个变量的函数关系，用一个等式来表示。函数解析式的求法既是高中数学的一个重要组成部分，又是高考重点考察的内容之一。常见的高中函数解析式的求法大概分为待定系数法、换元法、配凑法、代入法、构造方程法、赋值法、递推法这七种解题方法。不同的解题方法适用于不同类型的函数解析式求法的题目。因此我们应该通过系统性的总结来把高中数学函数解析式不同条件下的的求法进行分类汇总，以便学生能够更好的归纳总结高中函数解析式的求法，并学以致用。本文从高中函数解析式的多样的解题思路对于解题的意义和高中函数解析式的几种常见的求法两方面入手，并结合一些经典的例题，对高中函数解析式的求法进行系统归纳的总结，希望总结成果能对广大教师的教学起到一定的参考作用。

高中数学；函数解析式；求法；待定系数法；换元法；配凑法；赋值法

一、高中函数解析式的多样的解题思路对于解题的意义

(一)不同的函数题目类型选择不同的解题方法可以节约解题时间，提高解题效率。

高中函数作为高中数学的核心内容，其出题方法是多样化的。在一道高中函数解析式类型的题目中，可能存在很多解题方法，但他们的解题结果都是殊途同归的，然而单从解题过程来看，不同的解题方法解题过程是不一样的，有繁有简。并且高考数学考试的时间是有限的、固定的，每一分每一秒都是十分宝贵的，如何在有限的考试时间内发挥最大的效益，是每位教师、每位学生值得深思的问题。因此，在多样化的解题方法中，根据题目的类型选择合适的解题方法、简洁的解题思路显得尤为重要，这样既可以保质保量的完成题目，又能节省解题时间，从整体上提高了做题的效率，这样一来就有可能在高考中脱颖而出，取得好成绩。

(二)高中函数解析式的多样的解题思路可以提高学生的自主学习探究能力和合作交流能力。

多样的解题思路可以让学生学会从不同的角度去看待问题，促使学生形成多样化解决问题的意识。并且在学习多样化的解题方法时，学生势必会通过自己的独立思考而获得一些解决问题的方法，也正因如此，使得学生的自主学习能力和自主探究能力不断提升。同时，学生通过对各自解题方法进行比较、讨论，使解题方法更为完善，这样一来又促进了学生与学生之间、学生与教师之间的合作交流能力的提升。

二、不同求高中函数解析式题型下的应用的不同方法

(一)待定系数法。

待定系数法，是一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。在已知函数类型或函数解析式的构造时，使用待定系数法是最为简捷的方法。

(二)换元法。

换元法是通过引进新的变量，它可以把分散的已知条件联系起来，把隐含的条件显露出来，亦或是可以把条件和结论联系起来。换元法可以将陌生的内容变为熟悉的形式，将复杂计算和推证简单化。换元法一般是用在已知表达式f[g(x)]的解析式，欲求f(x)解析式类型的题目上。大致方法就是令g(x)=t，并反解出x，然后把x带入f[g(x)]中，求出f(t)，从而求出f(x)。

例如已知函数f(x-1)=x2-x,求f(x+1)。

分析：因为本题符合已知表达式f[g(x)]的解析式，欲求f(x)解析式类型的题目，因此可以使用换元法

令t=x-1,那么x=t+1，

因为t=x-1,f(x-1)=f(t).x2-x=(t+1)2-(t+1)

所以f(t)=(t+1)2-(t+1)

要求f(x+1),把t换成x+1

即f(x+1)=((x+1)+1)2-((x+1)+1),

f(x+1)=(x+2)2-(x+2)

这样类型的题目，使用换元法，可以使得解题思维更为清晰，使学生高考这样紧张的环境下，在解题时不出现头脑混乱的现象，从而提高解题效率。

(三)配凑法。

配凑法是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配凑找到已知和未知的联系，从而化繁为简。配凑法一般是用在已知符合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式类型的题目上。在解题时需要注意的一点是所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

(四)赋值法。

人们在解数学题时，往往采用逻辑推理的方法，一步一步地寻求必要条件，进行推理，最后得出结论。这是一种常用的方法。然而有些问题具有特殊性，能根据其具体情况，合理巧妙的对某些未知数进行赋值，特别是赋予一些特殊值，如0、1、-1、等，这样往往能使问题快速巧妙的得到解决。这种方法适用于当题中给出的变量较多，且含有“任意”等条件时这样的题目。

例如已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1，若x2N+，试求f(x)的表达式。

分析：因为本题中已经说到“任意”条件，且给出的变量较多，因此可以巧妙的使用赋值的方法。

因此可以令y=1 f(x+1)=f(x)+2x+4

所以f(2)=f(1)+2×1+4

f(3)=f(2)+2×2+4

f(4)=f(3)+2×3+4

依此规律：

f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4

左边相加=右边相加

所以f(x)=x2+3x-3(x∈N+)

由此可见使用赋值法可以快速巧妙的将题目解答出来，但需要注意的是，赋值法不是万能的，我们需要结合题目的实际情况进行使用，盲目使用就相当于做无用功。