关于任意相依随机序列的若干强大数定律



关于任意相依随机序列的若干强大数定律

崔影,程成,范爱华

（安徽工业大学数理科学与工程学院,安徽马鞍山243032）

摘要：设是一列任意相依随机变量序列，且。利用慢变化函数的性质以及矩方法，再借助于Borel-Cantelli引理与概率论极限理论中的纯分析方法，得到了任意相依但不同分布的随机变量序列普遍成立的强大数定律成立的充分条件，推广了已有的结果。

关键词：强大数定律；尾概率一致有界；慢变化函数

强大数定律是经典极限理论的一个重要课题，长期以来一直受到研究者关注。如文献[1-2]研究关于独立同分布随机序列的极限定理。文献[3]中将信息论中经典的关于独立同分布随机序列的渐进均分性定理以及经典的中心极限定理推广到滑动平均的情形。文献[4]在前人研究的基础上总结了关于独立同分布随机序列的强大数定律成立的几种经典结论。对独立相同分布的随机变量序列的极限定理当推著名的Kolmogorov[5]以及Marcinkiewicz[6]强大数定律，对同分布但未必独立的随机序列成立的最普遍的结果是Petrov[7]于1973年得到的。文献[8]研究了任意随机序列的强极限定理，作为推论，得到了一类鞅差序列的强大数定律，一类随机序列公平比的强极限定理，以及任意随机序列部分和估计定理。文献[9]研究了可交换随机变量序列的极限定理，得到了可交换随机变量序列的随机强大数律及加权和定理。文献[10]研究了任意B值随机变量序列的强收敛性，得到了若干强极限定理和强大数定律。杨光等[11]给出了相依序列无规则性的若干强极限定理。近期汪忠志等[12]给出了任意相依离散随机序列滑动平均的强偏差定理。

1预备知识

本文利用慢变化函数的性质以及矩方法，再借助于Borel-Cantelli引理与概率论极限理论中的纯分析方法，探究任意相依但不同分布的随机变量序列普遍成立的强大数定律成立的若干充分条件，推广了文献[13]的结果。

定义2[14 ]设是一随机变量序列，X0为非负实值随机变量，称尾概率一致有界于X0,若存在正常数C,使得

引理1[14 ]设X是随机变量，且P(| | X≥t)≤P(X0≥t),∀t>0，其中X0为非负实值随机变量。对∀q>0,有

其中I[.]是示性函数。

2　主要结论

其中L: [1,∞ )→(0,+∞ )是非减慢变化函数。若

则

注在证明定理1之前，注意到如果(4)成立，则

成立，从而

由此可以推出

于是由式(4)可得

证明由条件(2)知bn→+∞,又因为

由Borel-Cantelli引理知

注意到

又

由Kronecker's引理可知只须证

在引理1中取q=1,t=bn,有

又由

故若证

只须证

由

由式(2)可知,∀0

由式(8)，(4)得

从而

对0

则

证明由式(10)知bn→+∞,令b0=0，类似定理1的证明，只须证明

又有

从而

证明由马尔可夫不等式，有

于是

根据定理1，若证

只须证

又

则由

得

从而

则

参考文献：

[1] Chatterji S D.Ageneral strong law[J]. Inventions Mathematicae, 1970, 9:235-245.

[2] Jajte R. On the strong law of large numbers[J]. The Annals of Probability, 2003, 31:409-412.

[3]简旭，吴玉，范爱华.关于独立同分布随机序列的若干极限定理[J].安徽工业大学学报(自然科学版), 2014, 31(2):209-211.

[4] Stout W F.Almost Sure Convergence[M]. New York:Academic Press, 1974:158-164.

[5] Kolmogorov A. Sur la loi forte des grands nombres[J]. Comptes Rendus de IAcademie des Science Serie I, 1930, 191:910-912.

[6] Marcinkiewicz J, Zygmund A. Sur les fonctions indépendantes[J]. Fundamenta Mathematicae, 1937, 29:60-90.

[7] Petrov V V. The order of growth of dependent random variables[J]. Tero Veroyatnost I Primenen, 1973, 18:358-361.

[8]杨卫国，刘文.关于任意随机序列的强收敛性[J].数学物理学报，2003(5):565-572.

[9]赵月旭.可交换随机变量序列的随机极限定理[J].数学研究与评论，2004(4):670-674.

[10]张丽娜.任意B值随机变量序列的强收敛性[J].数学杂志，2002(3):297-300.

[11]杨光，陈文波.相依序列无规则性的若干强偏差定理[J].安徽工业大学学报(自然科学版)，2013, 30(2):182-186.

[12]汪忠志，杨卫国.关于随机序列滑动平均的若干强偏差定理[J].系统科学与数学，2011, 28(5):702-707.

[13] Rosalsky A , Stoica G. On the strong law of large numbers for identically distributed random variables irrespective of their joint distributions[J]. Statistics Probability Letters, 2010, 80:1265-1270.

[14]刘京军,甘师信.随机变量序列加权和的强收敛性[J].数学学报，1998, 41(4):823-832.

责任编辑：丁吉海

On Some Strong Law of Large Numbers for Arbitrarily Dependent Random Sequences

CUI Ying, CHENG Cheng, FANAihua

(School of Mathematics & Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology, Ma'anshan 243032, China )

Abstract:Letbe a sequence of arbitrarily dependent random variables with. By using the properties of slowly varying function and the method of moment, further by means of Borel-Cantelli lemma and the pure analysis method of probability limit theory, some sufficient conditions on strong law of large numbers for arbitrarily dependent but not identically distributed random variables are obtained, some classical results are generalized.

Key words:strong law of large numbers; uniformly bounded tail probability; slowly vary function

通信作者：范爱华(1964-)，女，安徽安庆人，教授，研究方向为概率论极限理论。

作者简介：崔影(1987-)，女，安徽阜阳人，硕士生，研究方向为概率论及其应用。

基金项目：安徽省自然科学基金项目(1408085MA04)；安徽工业大学青年教师科研基金(QZ201314)；安徽工业大学研究生创新基金项目(2013093)

收稿日期：2014-10-27

文章编号：1671-7872(2015)-03-0293-05

doi：10.3969/j.issn.1671-7872.2015.03.018

文献标志码：A

中图分类号：O211.4；O236