浅议教师如何进行类比教学的研究

张小刚

【摘 要】类比思想是中学数学教学中一种较为常见的数学思想，类比教学恰成为中学数学教学常常使用的一种教学手段。本文以圆和椭圆的类比研究为例，谈一谈利用类比思想挖掘数学教学的研究.

【关键词】类比思想;数学;圆;椭圆;类比教学

数学思想一直是中学数学教学的魁宝，是数学教学三重境界的最高境界。从新课程实施更多的自主学习、积极建构的理念来说，数学思想成为指导学生进一步前进的阶梯.笔者认为，数学思想有不同的种类区分，对于学生而言比较重要的思想如数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等在初中后期教学阶段已经开始积极渗透，这些对于学生解决数学问题有着较为重要的作用，可以称之为知识型思想方法。

另一方面来说，数学思想方法还有下面这些，如特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等，这些思想方法明显比上述知识型的思想方法来得更为高端。为什么这么说？笔者以为，知识型的思想方法固然重要，但其依旧只解决了就题论题的层面，无法给予学生更多的学习能力上的提高，而特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等思想方法却在更高的层面引领学生进行思维的开发，比如：从特殊到一般的思想可以帮助学生认识抽象问题的具体解决，可以采用先尝试特殊进而总结归纳一般的探索之路;类比思想可以用来将未知范畴内的问题通过已经所掌握知识比较解决，这是一种思想、意识形态上的提高.因此，本文将从类比思想的视角去审视教学的一些探索，以圆与椭圆的类比进行尝试，与大家交流。

1.圆和椭圆类比伸缩的认识

众所周知椭圆 + =1（a>b>0）可以看作是圆x2+y2=a2在纵向均匀压缩为原来的 倍，横向不变得到的——这就是“纵向伸缩变换”。（本文研究的椭圆均为焦点在x轴，焦点在y轴的类似）记：已知圆上点P（x，y）变换成P′（x′，y′），纵向变换为f：x=x′y= y′，显然这是一个一一映射（可逆的），且由于P，P′横坐标相等，因此PP′连线必垂直x轴。同理：有横向伸缩变换。

2.圆和椭圆类比伸缩的性质

性质1：f将直线变换为直线，且变换后直线斜率为原来直线斜率的 倍。

简证：设原直线斜为y=kx+m，经过变换后直线为 y′=kx′+m，即斜率k′= k。

说明：由此可知，变换前后两直线平行性保持不变。

性质2：f将分线段AB为定比λ的点P变换成分线段A′B′为同一分比的点P′。

说明：由定比分点公式可知证明易，不赘述.此性质说明变换前后同一直线上的点分线段所成的比是不会改变的。

性质3：一个面积为的三角形经变换后的三角形面积S′= S。

简证：设△A1A2A3三个顶点坐标分别为Ai（xi，yi），则xi=xi′，yi=yi′（i=1，2，3），所以：

S′= x1  y1 1x2  y2 1x3  y3 1= · x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= S。

说明：此性质可以推广到多边形的面积，即变换前后两个多边形面积之比为 = 。

3.圆和椭圆类比伸缩的运用

例1：已知椭圆 + =1（a>b>0），A，B分别为椭圆左右顶点，P为椭圆上任意异于A，B的点.求证：KAP·KBP是定值。

图1

证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图1，已知圆中KAP·KBP=-1，由性质1得：kAP·kBP= KAP· KBP=- 。（本性质可以再椭圆中进行证明，但是运算量比通过伸缩变换证明稍显复杂一些。）

例2：已知椭圆 + =1（a>b>0），P为椭圆上任意异于椭圆顶点的点，过P作倾斜角互补的两直线PA，PB交椭圆于A，B两点，求证：只要P点给定，则kAB为定值。

证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图2，经过同样的伸缩变换，圆中

图2

两直线斜率KPA+KPB=0，在圆中作P关于x轴对称点D（恰在圆O上），则∠APD=∠BPD，故 = ，连接AB，OD，易知OD⊥AB，显然KAB=- ，只要P点给定，即可知KAB为定值，由性质1，椭圆中kAB= KAB为定值。

注： 高三复习卷中时常出现为定点，求kAB为定值的试题，笔者将试题改编为只要P点坐标可知的任意点，均可求证kAB为定值.可以想象，任意的点P代数计算较繁琐，利用椭圆和圆的伸缩变换达到了简化计算的效果。

例3：点P（x0，y0）在椭圆 + =1（a>b>0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ（0<β< ），直线l2与直线l1： + =1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ。

求证：点是椭圆 + =1与直线l1的唯一交点。（安徽高考数学09年理科20）

分析：问题的实质就是证明直线l1是椭圆在点P的切线方程。由过圆x2+y2=a2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=a2，可知利用伸缩变换得到直线l1： + =1即为过点P的椭圆切线。

证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，则过圆上点Q（X0，Y0）（Q为P的一一对应点）的切线方程为：X0x+Y0y=a2，又伸缩变换f：X=xY= y，代入得x0x+ y0 y=a2，整理得： + =1即为直线l1的方程.因此，l1就是椭圆在点P的切线方程。证毕。

例4 求椭圆 + =1（a>b>0）内接n边形面积的最大值.

解析：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图3，可知在圆中：

图3

记∠AiOAi+1=θ（1≤i≤n-1），∠AnOA1=θn，且 θi=2π，S=SA A …A = a2（ sinθi）…（*），因为f（θ）=sinθ在（0，π）上为凸函数，由琴声不等式（*）≤ a2（n·sin ）= a2·sin （当且仅当θ1=θ2=…θn= 等号成立），由性质3，椭圆中内接n边形面积S′= ·S≤ ·sin ，即为椭圆中内接n边形面积最大值。

4.类比教学探索的思考

上述运用类比性质进行的圆和椭圆问题的探索，是笔者教学中一些数学问题积累的总结。通过研究，笔者发现椭圆是圆的更为一般化的形态和情形。用一个形象的比喻来说，对于圆的研究是最基本、最为对称的图形深入思考，犹如三角函数中最基本的函数模型，那么类比研究经过伸缩变换的三角函数模型恰如椭圆般的图形，这种变换关系存在于数学知识的很多知识之中。

本文所阐述的是圆和椭圆的类比伸缩教学研究，其实从更高的角度而言，笔者思考了一个问题：从圆锥曲线第二定义的角度来说，椭圆、双曲线、抛物线本质是一个统一体，只不过是其到定点的距离与到定直线距离比值不同的曲线形态，那么圆既然可以类比到椭圆，那么圆应该也可以突破更高的限制（诸如曲线不需要封闭之类特性），类比得到相对应的双曲线、抛物线中去，得到相应的数学性质和更高的研究突破能力，值得有兴趣的教师做进一步的思考。

通过类比教学研究，笔者也有几点不成熟的思考与大家交流：

（1）上述几个例题，有少数来自学生的提出和探索，笔者觉得学生对于感兴趣的数学问题研究兴趣和热情远远在教师之上。教师的作用更在于进行良好的引导，给予这样的学生更宽松的学习环境，既提高了学生学习的兴趣，也有助于学生研究问题能力的提高。

（2）意识类的思想方法教学要更注重在教学中的渗透，尤其是特殊与一般、类比思想、转化与化归思想等等。这些思想看似无形， 却每时每刻出现在学生待解决的数学问题中，通过引导学生利用学过的指数类比解决未知范畴内的知识，这正是努力培养学生自主探索和积极建构的有效途径，而且从一定程度上对于教师的专业化水平提高有较为明显的帮助。

【参考文献】

[1]杨结东.深化分析培养能力[J].数学通报，2010.9

[2]张琴竽.活用伸缩变换巧解椭圆问题[J].中国数学教育（高中版），2009.10

[3]刘瑞美.对2009年高考中一道圆锥曲线问题的探究[J].中学数学杂志（高中版），2009.6

（作者单位：江苏省泰兴中学）