例谈循序渐进的教学设计

邱海燕

【摘 要】数学课堂教学设计一般尊崇从易到难、从特殊到一般、从具体到抽象、从感性到理性的设计原则，具备良好的设计是课堂教学成果的基本，本文从几个原则出发谈谈课堂教学设计的循序渐进.

【关键词】课堂教学;数学;循序渐进;理性;感性;具体;抽象;特殊;一般

数学课堂教学的设计是数学教学的基本，它将抽象的数学知识、形式化的数学结果以通俗易懂的方式传递给学生，这与教材和书籍大不一样（书籍中的数学知识是线性的排列着），合理的数学教学需要将抽象的数学知识传授的有趣和有效（章建跃语）。

数学教学设计如何实施是比较符合当下课程教学理念呢？在近年来课堂教学中，愈来愈多的教学演变为返璞归真型，不再像新课程实施之初般“凡探究言必称讨论、凡讨论必需热热闹闹”的伪探究，而在课堂教学中却比较忽视了合理的、符合学生认知心理的设计，笔者以前常常听到这样的公开课，对场面的追求非常细致，却忽视对教学原本的设计，即以循序渐进原则分解数学知识、以符合学生认知心理过程的设计教学才是贴合课程理念的要求的。

1.从特殊到一般

特殊到一般的设计原则是数学教学中运用最为普遍的设计方式，这一方式比较符合中学生（尤其是高中生）。从心理学认知理论来说，中学生的认知首先缘自特定的模型，这种特定的模型需要简洁、直观，并且从多次模型认知中总结了一定的经验，进而得到更为一般性的规律。这种设计方式有比较多的教学设计运用，如：函数概念教学中的从特殊的数集间关系归纳出函数形式化的概念结果，如运用物理学中功的概念类比去思考向量数量积的一般性结论等等。

案例1：函数y=Asin（ωx+φ）的图像及应用。

基本知识部分从用五点法画y=Asin（ωx+φ）一个周期内的简图、函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin（ωx+φ）的图象的步骤、函数图像的对称性等三方面对本节知识进行了详尽的阐述;基本技能部分给出了两个题型：（1）函数y=Asin（ωx+φ）的图像及变换;（2）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，分别从形和数两方面进行分析。

设计1：已知函数y=2sin（2x+）。（1）求它的振幅、周期、初相;（2）用“五点法”作出它的一个周期内的图像;（3）说明y=2sin（2x+）的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变换得到。

设计意图：安排本例题，目的是对本节的概念内容进行简单的回顾与介绍，并对图形变换的两种方式在具体问题上实施了强有力的复习。

设计2：把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是__________。

设计意图：本题是浙江省2012年文科高考试题第6题，难度适中，贴近考生实际水平，它一方面从函数解析式角度出发，另一方面，从图像、周期、最值的综合角度分析，得出正确答案，起到很好的复习作用。

设计3：y=cos2x+1的对称中心？

设计意图：见惯了对称中心在x轴上的图像，提出这样一个反思，一方面考查了对称中心的知识，更重要的是丰富了知识面，完善了考点知识。

设计4：设函数f（x）=cosωx（ω>0），将y=f（x）的图像向右平移■个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于___________。

设计意图：本题看似考查图像，实则考查函数周期，需学生深入挖掘题意，找到“图像与原图像重合”的实际意义是■为周期的整数倍这一突破口，对培养学生分析问题的能力、数学应用的能力起到一定的作用，使知识得到升华。

设计4：总结函数演变成问题一般性的伸缩变换途径。

小结：本段教学在例题安排上成递进式，难度逐步提升，题目的意义也在不断的深化，从概念上升到应用，再从应用上升到内涵，从特殊问题到一般性结论的总结，力争做到循序渐进，由表及里，最终实现教学的终极目标——学生掌握本段知识内容。

2.从具体到抽象

高中数学形式化的知识还是较多的，比如说抽象函数是函数教学中的难点和重点。很多学生对于抽象函数的表现形式无法理解，更谈不上解决问题了。抽象函数等抽象数学知识如何教学？这样的课堂教学能否有效设计是关键。笔者认为，以具体的数学问题模型去感受抽象的数学进而得到抽象的数学知识，是教学设计的又一合理原则。

案例2：抽象函数图像中心对称的教学设计。

设计1：什么是函数图像的对称中心？

函数图像对称中心定义：如果一个函数的图像绕某一点旋转180度，旋转后的图像能和原图像完全重合，那么这个图像叫做中心对称图形。而这个中心点，叫做此函数的对称中心。

事实上，若某函数为奇函数，则原点（0，0）必为其对称中心，例如：

（1）函数f（x）=图像的对称中心为（0，0）;

（2）函数f（x）=sinx图像的对称中心为（kπ，0）k∈Z。

设计2：怎么求函数图像的对称中心？

（1）代数法（利用推论）

推论：（2013年上海市春季高考数学试卷）

“函数y=f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”。

例1：求一元三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图像的对称中心

解：利用

（2）几何法（利用函数图像的几何特性找到对称中心）

例1解法二：

由一般三次函数的图像特征（特殊情况也成立）：

可知：其对称中心位于图像上，且横坐标为两极值点横坐标和的一半，而f′（x）=3ax2+3bx+c（a≠0），，故其对称中心为

设计3：图像有对称中心的函数有何性质？

性质一：已知定义在D上的函数f（x），其图像关于点（a，b）中心对称，则？坌x∈D，恒有f（2a-x）+f（x）=2b成立。

性质二：已知定义在D上的函数f（x），其图像关于点（a，0）和（b，0）（a≠b）中心对称，则f（x）为周期函数，周期为2|a-b|。

设计4：应用一：求函数f（x）=++图像的对称中心。

解：因为f（x-2）=++为奇函数，所以由推论得：f（x）图像的对称中心为（-2，0）。

应用二：（2009年普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅰ数学（理）11题）

函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则_______。

①是偶函数 ②是奇函数 ③f（x+2）=f（x） ④f（x+3）是奇函数。

解：由推论知f（x）关于点（1，0）和（-1，0）中心对称，故由性质二，可得函数f（x）为周期函数，周期为4，故f（x+3）=f（x+3-4）=f（x-1）为奇函数。

小结：通过类比对函数图像对称中心的研究，我们可以用同样的思路和方法，去研究函数图像的对称轴问题，这两个问题是关于函数性质中的重要问题，也是高考的重要内容之一，这里的教学设计由教师自主完成，体现了循序渐进的教学教学步骤，从具体到抽象的设计原则，符合数学教学的实际。

3.从感性到理性

感性到理性是数学教学设计的常用原则，高中数学知识往往较为抽象，不太能让学生理解一步到位，这里比较多的使用手段即从感性中去深化知识的本质。

总之，数学教学的设计是一门学问，教师需要通过一线教学经验的积累和多听、多想、多思考，即可从教材的枯燥线性知识中提炼教学精华的实施。

【参考文献】

[1]普通高中数学课程标准[S].人民教育出版社，2002

[2]陈雪松.函数的教学实践及反思[J].数学教学，2012.10

[3]李广修.追求非功利化的数学教学[J].中学数学月刊，2014.2

（作者单位：江苏省泰兴中学）