基于NSCT和DFRFT的数字水印算法研究

胡绍海，赵思澄，郑 蕾

（1.北京交通大学 计算机与信息技术学院，北京 100044；2.大连海事大学 信息科学技术学院，辽宁 大连 116026）

随着互联网技术的发展，数字媒体的复制、传播和拷贝变得更为简单，也给人们带来了关于数字媒体的盗版以及伪造的担忧。数字水印技术是一种可以有效解决该类问题的技术手段。目前，数字水印研究主要集中在变换域嵌入方式中，包括离散小波变换、离散余弦变换、离散傅里叶变换和分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）等[1]。由于FRFT主要研究图像的整体信息，缺乏对图像的边缘、轮廓和纹理等几何特征信息的把握，为了更好地处理这些细节信息，人们提出了基于多尺度几何变换的水印算法。多尺度几何变换是一类变换的统称，这些变换可以更优地逼近图像，其中使用最为广泛的是轮廓波（Contourlet）和剪切波（Shearlet）。轮廓波变换是由塔形方向滤波器组把图像分解成各个尺度上的方向子带，然后将分布在同方向上的奇异点合并为一个系数，从而更好地逼近图像[2]。但是轮廓波变换不具有移不变性，会导致图像处理中出现伪吉布斯现象。因此有学者提出了非下采样轮廓波变换（Nonsample Contourlet Transform，NSCT），NSCT是在轮廓波变换基础上提出的一种新的多尺度几何变换方法，具有平移不变特性，保留了轮廓波变换的优点，也加强了轮廓波变换的方向选择性。

由于NSCT主要处理边缘及纹理信息，具有较大的局限性，而离散分数阶傅里叶变换（Discrete Fractional Fourier Transform，DFRFT）又能把握图像整体信息，故本文结合两种方法的特点，提出了一种将NSCT与DFRFR相结合的水印嵌入算法。首先对宿主图像经过NSCT分解得到低频分量和高频分量，然后对低频分量进行DFRFT分解，将Logistic置乱后的水印图像嵌入到DFRFT变换系数中完成数字水印的嵌入，最后经过逆离散分数阶傅里叶变换（Inverse Discrete Frac⁃Tional Fourier Transform，DFRFT）和逆非下采样轮廓波变换（Inverse Nonsample Contourlet Transform，NSCT）得到嵌入有水印的图像。

1 水印图像的Logistic置乱算法

水印图像不能直接嵌入到宿主图像中，一般先进行置乱处理，然后再嵌入到宿主图像中，这样能提高水印算法的安全性和鲁棒性。根据混沌序列的特点，采用Logistic映射进行水印图像的置乱处理。

Logistic映射的定义为[3]

式中：0≤μ≤4为分支参数；xn∈(0,1)是序列值，当满足3.569≤ μ≤ 4时进入混沌状态。即由初值x0在Logistic映射的作用下所产生的序列{xn;n=0,1,2,…}是非周期的、不收敛的，并且对初值非常敏感。

水印图像I的大小为64×64，如图1a所示。给定参数 μ与初值x0，经式（1）计算可得到一组序列，设定舍去参数n，从xn开始取64×64个序列值并将其转换成64×64的矩阵G 。用式2计算G 可得像素扰乱矩阵G1，G1(i,j)∈(0,255)。对原图像I中的每个像素的值I(i,j)与G1(i,j)按位进行异或运算，得到置乱后的水印图像I1，如图1b所示。可以看出，对水印进行Logistic置乱处理后使原图像失去可读性，改变了图像的统计特性，极大地增加水印的安全性。

图1 水印置乱效果

2 非下采样轮廓波变换NSCT

轮廓波变换首先采用拉普拉斯金字塔（Laplacian Pyra⁃mid，LP）对图像进行多尺度几何变换，然后利用方向滤波器组（Directional Filter Bank，DFB）将在相同方向的奇异点重构成一个系数，将图像分解为高频分量和低频分量。根据多采样率理论，对滤波后的图像进行隔行隔列的采样会产生频谱混叠现象，因此轮廓波变换后得到的高频分量和低频分量都存在频谱混叠现象。

L.Cunha将非下采样塔式分解（Nonsubsampled Pyramid，NSP）和非下采样滤波器组（Nonsubsampled Directional Filter Bank，NSDFB）相结合，提出了非下采样轮廓波变换（NSCT）[4]，NSCT消除轮廓波变换的频谱混叠现象，具有平移不变性，同时，增强了方向选择性。如图2a所示，NSCT首先通过NSP将图像分解为低频分量和高频分量，再利用NSDFB将高频分量和低频分量分解为多方向子带，就可以得到图像的多尺度、多方向分解，图2b是NSCT分解示意图。

图2 NSCT变换结构图及频域分解

3 分数阶傅里叶变换FRFT

近年来，分数阶傅里叶变换（FRFT）作为一种新的时频工具逐渐引起了人们的关注，它是一种对传统傅里叶变换的推广。函数x(t)的 p阶FRFT可定义为[5]

式中：Kp(u,t)为FRFT的核函数；p为变换阶数，且 p≠2n（n为整数）；α表示FRFT在时频域平面内的旋转角度，α=pπ/2。当变换阶次p=1时，FRFT就是传统傅里叶变换，因此，可将FRFT看作是傅里叶变换的一种广义表示。

针对图像处理的相关问题，需要将一维FRFT扩张到二维FRFT的范围，而对于离散信号，则需要采用离散形式的FRFT。因此，图像需要采用二维离散分数阶傅里叶变换（DFRFT）进行处理，二维DFRFT的正变换和逆变换为

式中：K(p,q,m,n)二维变换核，参数α、β代表在二维空间中的分数阶序列。

4 水印嵌入和提取算法

由于NSCT分解主要集中于处理边缘以及纹理信息，而DFRFT可把握图像整体信息，故本文结合NSCT和FRFT的优点来进行水印的嵌入和提取。在嵌入水印时，若直接采用FRFT来进行嵌入，则不能很好地表示图像的方向信息，也无法体现图像中的边缘轮廓信息，而NSCT是一种具有多尺度、多方向以及平移不变性的变换，因此，将NSCT和FRFT相结合，可以有效利用各自的优点，从而对图像的旋转、缩放及滤波攻击时具有更好的鲁棒性。

4.1 水印嵌入

NSCT去掉了轮廓波变换中下采样过程，图像每级分解得到的高频分量和低频分量的尺寸与原图像尺寸相等。假设宿主图像S的大小为M×N，水印图像W的大小为N×N。宿主图像经过NSCT分解后，低频分量包含了图像的主要能量，抗干扰能力较强，稳定性也较好；而高频分量包含了图像的纹理和边缘信息，但这些信息容易被外来噪声破坏。为了嵌入水印具有更好的不可见性和鲁棒性，本文算法将水印信息嵌入到NSCT分解的低频分量中，水印嵌入算法方框图如图3所示，其步骤为：1）对宿主图像S进行NSCT分解，得到低频分量L和高频分量；2）对低频分量L进行DFRFT变换，得到变换后的结果FRL；3）对水印图像W进行Logistic置乱加密，将加密后的图像嵌入到FRL中，嵌入的强度系数为k（0＜k＜1），嵌入公式为 FRLS=FRL+k×W ；4）对嵌入后的结果FRLS做IDFRFT变换，得到变换后的结果LS；5）将LS与高频部分进行NSCT逆变换，则可以得到嵌入水印后的图像S'。

图3 水印嵌入方框图

4.2 水印提取

水印提取是水印嵌入的逆过程，其步骤为：1）对嵌入水印的图像S'进行NSCT分解，可得到低频分量L'和高频分量；2）将低频分量 L'进行DFRFT，得到变换后的结果 FRL'；3）按照公式WL=(FRL'-FRL)/k计算置乱的水印WL；4）对置乱的水印WL进行Logistic逆变换，即可得到提取出的水印W'。

5 实验结果及分析

图4 水印嵌入

对数字水印进行抗攻击测试，分别对含水印图像做JPEG压缩、添加噪声、剪切、旋转、滤波等攻击实验，图5为攻击后的水印图像。然后针对攻击后的图像再进行水印提取，观察提取出水印的效果，图6为水印提取的结果。

图5 攻击后的图像

图6 水印提取结果

用嵌入水印后图像的峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）和归一化相似系数（Normalized Similarity Coef⁃ficient，NC）来分别衡量嵌入水印后宿主图像的变化以及提取的水印和原始水印的相似度。算法实验结果如表1所示，文献[7]算法实验结果如表2所示。从表1可以看出，本文提出的水印算法可以有效地抵抗各类攻击，如JPEG缩放、剪切、滤波、噪声等攻击，攻击后提取的水印内容仍可以较为清晰地分辨水印图像，但算法对于旋转攻击抵抗效果不好。比较表1和表2结果可以看出，本文算法在水印的抗攻击性方面比文献[7]更好，嵌入的水印具有更强的鲁棒性与抗攻击性。

表1 灰度图像的攻击实验

表2 文献[7]的攻击实验结果

6 结论

NSCT是一种具有多尺度、多方向性质的变换，它能较好地分析图像的细节信息。FRFT可以同时兼顾图像的时频域，且能够把握图像的整体信息，但难以分析图像的局部特征。因此，本文结合NSCT和FRFT的优点，提出了一种将NSCT和FRFT相结合的数字水印算法，同时添加了混沌置乱算法，实验结果表明，能增强水印的鲁棒性以及安全性，并能抵抗常见图像攻击。

[1] 杨守义，姬留杰，穆晓敏.基于FRFT的数字水印算法分析[J].计算机应用与软件，2009，26（1）：1-2.

[2] 刘帅奇，胡绍海，肖扬.基于小波-Contourlet变换与Cycle Spin⁃ning相结合的SAR图像去噪[J].信号处理，2011，27（6）：837-842.

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[5] OZAKTAS M H，ARIKAN O.Digital computation of the fractional fourier transform[J].IEEE Trans.Signal Processing，1996，44（9）：2141-2149.

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[7] 徐振启.基于混沌的数字图像水印算法研究[D].郑州：解放军信息工程大学，2007.